И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов

И.И.Гихман, А.В. Скороход ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Книга предназначена для первоначального изучения теории случайных процессов на строгой математической основе. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом теории вероятностей. Необходимые сведения из теории меры приведены без доказательств. В книге рассмотрены общие положения теории, включая аксиоматику теории вероятностей и основные классы случайных процессов.

Первая глава посвящена более элементарному изложению теории. Книга рассчитана на студентов и аспирантов университетов, а также на специалистов-нематема'и-ков, желающих ознакомиться с основными математическими методами теории случайных процессов. Второе издание книги существенно переработано. ОГЛАВЛЕНИЕ Изпредисловия к первому изданию 5 Предисловие ко второму изданию 10 Глава 1.

Случайные процессы в широком смысле 11 8 1. Определения 11 8 2. Гауссовы случайные функции 22 8 3. Процессы с независимыми приращениями 31 8 4. Марковские процессы в широком смысле 42 8 5. Процессы, стационарные в широком смысле 71 Глава П. Аксиоматика теории вероятностей. 88 8 1. Аксиомы теории вероятностей и основные определения 88 8 2. Построение вероятностных пространств 105 8 3. Условные вероятности 114 8 4. Независимость 124 Глава П1. Случайные последовательности 132 8 1.Мартингалы 132 8 2. Ряды независимых случайных величин 146 8 3.

Эргодические теоремы 151 8 4. Процесс восстановления 163 ~ 5. Цепи Маркова 178 8 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний 191 Глава ГК Случайные функции 214 8 1. Определение случайной функции 220 8 2. Сепарабельные случайные функции 220 з 3. Измеримые случайные функции 225 8 4. Критерии отсутствия разрывов второго рода 228 8 5.

Непрерывные процессы 233 8 6. Субмартингалы непрерывного аргумента 243 Глава'Ч. Линейные преобразования случайных процессов 247 8 1. Гильбертовы случайные функции 247 8 2. Стохастические меры и интегралы 259 8 3. Интегральные представления случайных функций ~ 4. Линейные преобразования 9 5. Физически осуществимые фильтры з 6. Прогноз и фильтрация стационарных процессов Глава У1. Процессы с независимыми приращениями з 1. Случайные блуждания на прямой з 2. Скачкообразный процесс с независимыми приращениями. Обобщенный процесс Пуассона 9 3. Непрерывные процессы.

Винеровский процесс з 4. Строение общих процессов с независимыми приращениями з 5. Свойства выборочных функций Глава УП. Скачкообразные марковские процессы ~ 1. Общее определение марковского процесса 9 2. Общие скачкообразные марковские процессы 9 3. Однородные процессы со счетным множеством состояний з 4. Процесс рождения и гибели 8 5. Ветвящиеся процессы Глава 'ЛП. Диффузионные процессы 8 1.

Стохастический интеграл Ито 9 2. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений з 3. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по начальным данным 5 4. Метод дифференциальных уравнений з 5. Граничные задачи для диффузионных процессов 9 6.

Абсолютная непрерывность мер, отвечающих диффузионным процессам Глава 1Х. Предельные теоремы для случайных процессов 9 1. Слабая сходимость распределений в метрическом пространстве 9 2. Предельные теоремы для непрерывных процессов з 3. Сходимость сумм независимых случайных величин к процессу броуновского движения ~ 4.

Сходимость последовательностей цепей Маркова к диффузионному процессу ~ 5. Пространство функций без разрывов второго рода 8 6. Сходимость сумм одинаково распределенных независимых случайных величин к однородному процессу с независимыми приращениями Примечания Литература Обозначения Предметный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Безгранично делимые распределения 34 269 274 284 297 314 314 329 344 355 369 383 383 395 406 422 431 449 451 469 488 493 501 514 515 521 525 539 547 553 559 565 566 Вероятностное пространство 91 Верхняя функция для процесса 375 Возвратные состояния 194 Дифференцирование (с.

к.) процессов 254 Закон больших чисел 252 — «повторного логарифма» 380 — «О или 1» 129 Импульсная переходная функция 249 Интегрирование функций 249 Ковариация 248 Корреляционные функции 18 — — взаимные 19 Марковский момент времени 135 Мартингал 102 Метод Винера в теории прогноза 302 — Яглома в теории прогноза 305 Момент первого выхода из области 493 Неравенство Гельдера 102 †д субмартингалов 137 †1 — Иенсена 101 †Колмогоро 138 — Минковского 102 Нижняя функция для процесса 375 Операторы, порождаемые вероятностями перехода 94 Плотности мер, соответствующих диффузионным процессам 508 Плотность мер 501 Подклассы периодического класса сообщающихся состояний 202 Поток и-алгебр 132 Пределы мартингалов (субмартингалов) 142 †1 Процесс броуновского движения 32 — винеровский 346 — марковский 383 — — в широком смысле 44 — — — — — диффузионный 67 — — — — — с конечным или счетным числом состояний 49 — — — — — скачкообразный 54 — — — — — слабо дифференцируемый 65 — — однородный со счетным числом состояний 407 — — скачкообразный 398 — — — регулярный 400 — — ступенчатый 394 — с независимыми приращениями 31, 62 — Пуассона 34 — — обобщенный 41 — рождения и гибели 422 Процессы ветвящиеся 431 — стационарные 71 — — в широком смысле 72 Равномерная интегрируемость 109 Разложение процесса в ортогональный ряд 256 Распределение величины- и момента перескока случайного блуждания 328 — — — — — обобщенного процесса Пуассона 344 — максимума винеровского процесса 351 — — и минимума винеровского процесса 352 — — случайного блуждания 326 Разложение момента первого выхода из области 493 Распределение Юла — Фарри 431 Регулярные условные вероятности 119 Сепарабельная случайная функция 220 Слабая компактность мер 516 — сходимость мер 516 Случайная функция 214 Случайный элемент 93 — — в широком смысле 13 Состояния возвратные 194 — мгновенные 411 — нулевые 203 — положительные 203 — регулярные 411 Спектральная плотность 79 — функция 79 Спектральное разложение стационарного процесса 272 Стохастическая мера 262 — непрерывность 21 Стохастический интеграл 261 — — Ито 461 Стохастическое дифференциальное уравнение 469 Строгая марковость 190, 392 Субмартингал 132 Супермартингал 132 Сходимость по вероятности 90 — с вероятностью 198 †средн квадратическая 248 Теорема Биркхофа — Хинчина 154 — Бореля — Кантелли 128 — Гирсанова 502 — Колмогорова о построении вероятностных пространств 109 — — — трех рядах 148 Теорема теории восстановления основная 173 — — — элементарная 166 — Хинчина о стационарных процессах 79 Уравнение восстановления 165 Уравнения Колмогорова 49 — — для диффузионных процессов 68, 69, 489 — — — скачкообразных процессов 57, 58 — — — слабо дифференцируемых процессов бб — — — процессов с независимыми приращениями 65 — — — — со счетным числом состояний 53, 413, 418 Усиленный закон больших чисел 161 Условия непрерывности случайного процесса 238 — отсутствия у случайного процесса разрывов второго рода 233 — перемешивания 161 Фильтр 278 Формула Ито 460 Цепь Маркова 186 — — апериодическая 200 — — неприводимая 193 Цилиндрические множества 110 Частотная характеристика 276 Эргодическая теорема для цепей Маркова 203 Эргодические преобразования 159 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Книга рассчитана иа лиц, усвоивших общий курс теории вероятностей и приступивших к изучению теории случайных процессов.

Авторы надеются, что она будет полезной для студентов и аспирантов университетов, а также для специалистов-не- математиков, желающих ознакомиться с основными методами и результатами теории в строгом, но не самом общем и исчерпывающем изложении. Авторы не ставили своей целью осветить все разделы теории, и некоторые вопросы и методы, хорошо освещенные в имеющейся на русском языке литературе, не затрагивались в настоящей книге (полугрупповая теория процессов Маркова, эргодические свойства процессов Маркова, обобщенные случайные процессы). Теория случайных процессов выделилась из теории вероятностей сравнительно недавно. Она еще настолько тесно связана с другими разделами теории вероятностей, что границу, отделяющую теорию случайных процессов от этих разделов, часто трудно точно определить.

Так, например, с теорией суммирования независимых случайных величин теория случайных процессов связана разделом, изучающим процессы с независимыми приращениями, а с математической статистикой — через статистические задачи теории случайигях процессов. Охарактеризуем основные (с нашей точки зрения) задачи в теории случайных процессов. Е Первой задачей теории случайных процессов является построение математической модели, допускающей строгое (формальное) определение случайного процесса, а также исследование общих свойств этой модели. 2.

Другой задачей является классификация случайных процессов. Очевидно, что всякая классификация носит отчасти нз пгвдисловия к пвгвомх нздхнию произвольный характер; поэтому нужно исходить из определенных принципов, указывающих хотя бы «направление», в котором ведется классификация, Существующая классификация в теории случайных процессов заключается в выделении из всей совокупности случайных процессов некоторых классов, допускающих более или менее конструктивное описание. Каждый класс характеризуется тем свойством, что достаточно дополнительно задать лишь конечное число функциональных характеристик, чтобы выделить нз всего класса отдельный случайный процесс.

Иногда рассматривают классы процессов, допускающих единообразное решение определенного набора задач. При рассмотрении таких классов, как правило, не интересуются различием между случайными процессами, если только у них совпадают характеристики, нужные для решения этих задач. Можно отметить следующие широкие классы процессов: 1) процессы с независимыми приращениями, 2) марковские процессы, 3) гауссовы процессы, 4) стационарные в узком смысле, 5) стационарные в широком смысле гроцессы (к пос; сдппм можно отнести и процессы со стационарными приращениями).