И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 6

В общем случае имеет место соотношение тй, .... ~ (О, ..., 0,) = Я Пг(о, о ), (16) структура которого может быть описана следующим образом. Записываем точки Оь ..., О, в последовательность, причем Оь пишем подряд 1„раз. Написанную последовательность разбиваем на произвольные пары. Тогда произведение в правои ~асти формулы (16) берется по всем парам этого разбиения, а сумма берется по всем разбиениям (пары, отличающиеся перестановкой элементов, считаются за одну).

Это утверждение непосредственно вытекает из формулы (15). То обстоятельство, что гауссовы случайные функции играют важную роль в практических задачах, часто можно объясничь следующим образом. При широких условиях сумма большого числа независимых и малых по величине случайных функций приближенно является гауссовой случайной функцией, независимо от теоретико-вероятностной природы отдельных слагае. мых. Это так называемая теорема о нормальной корреляции, являющаяся многомерным обобщением центральной предельной теоремы. О п р е д е л е н и е. Последовательность случайньчх функций (в широком смысле) $,(0), В еи 6, п = 1, 2, ..., называют слабо сходящейся к яо(0), О еи 8, если для любых з, 0; (О, ~ 9, з = 1, 2, ) совместное распределение серии случайных величин Д„(0~), ..., $„(0,)) при и-ь оо слабо сходится к распределению величин (со(01), ° эо(88) ).

Теорема 5. Пусть дана последовательность сумм с, учайных функций т1,(0)= — х, а„о(0), 0~0, п=1,2, о-! и вьтолнены следующие условия: 1) при фиксированном п случайные велссчиньч а„(0,), а„о(Оо), ..., а„„(0 ) взаимно независимы прсс любых 81, Ом ..., О и обладают моментами второсо порядка, причем 'оч Ма„(8) = О, Ма-„'„(О) = Ь' (0) ФЯ ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИГИМ!1МИ ПРИРАЩЕНИЯМИ а1 2) при и -Р ьь коррел»цион»и» функция Й„(01, Оэ) = = М 11)„(01), 1)„(ОА)) сходится к некоторому пределу ((сп Р„(ОН 0,)=Л(О„О,); л-+ Э) суммьс т(л(9) = ~ аль (0) при каждом О удовлетворячот А-1 условию Линдеберга: при любом т > 0 'лл — х'с(ПРА(О, х)- О, 1 " А-11лс>лг л где П,А(0, х) — функция распределения случайной вглиииньс аль(0), л1 В,'= ~ Ь А(0) =Р,(0, О). Тогда случайная функция тс„(0) при п- со слабо сходится к гауссовой случайной функции с математическим ожиданием 0 и корреляционной функцией сг(01, Оэ).

Приведенная теорема непосредственно вытекает из центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных векторов. При этом ее условия могут быть ослаблены. $ 3. Процессы с независимыми приращениями Собственно говоря, именно с изучения процессов с независимыми приращениями возникла теория случайных процессов.

Сначала изучался винеровскил процесс (или процесс броуновского движения), а затем и более общие процессы с независимыми приращениями. Задача состояла в полном описании этого класса процессов и в изучении его свойсгв, В настоящем параграфе будут приведены примеры процессов с независимыми приращениями и найдено общее выоажение для характеристических функций конечномерных распределений стохастически непрерывных процессов с независимымн приращениями.

Пусть Т вЂ” конечный отрезок Т = (О, а) или Т = (О, ьь), О п р е д е л е н и е. Случайный процесс (Е(Г), С е= Т) со значениями в йс" называется процессом с независилсыми прирасценилми, если длЯ любых п, 0 ( 1, ( сэ (... ( Сл, слгчайные векторьс й(0), Е(11) — й(0),, С(с„) — Е(с„,) взаимно независим ьс. Вектор $(0) называется начальным состоянием (значением) процесса, а его распределение — начальным распределением СЛУЧАННЫЕ ПРОЦЕССЫ Е ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ.

! з2 процесса. Чтобы задать процесс с независимыми приращениями в широком смысле, достаточно задать начальное распределение Рз(В) = Р(е(О)~ В) и набор распределений Р([, И, В) ([) О, И ) О, В ее 6з), где 6" — о.-алгебра борелевских множеств Яз и Р([, И, В) — распределение вектора е([+ И) — е([), Р([, И, В) = Р(з(1-)- И) — ф(() ~ В). Действительно, если зти распределения даны, то любые совместные распределения векторов $([[), $(гз), ..., $((„) однозначно определяются формулой = ~ Ройуо) ~ Р(О [[~ Ф[) ~ Р(~ь ~г ([ дуг) ва в;у, в; [д,+уа Р((„О ~„— ~„[, [(У„).

(1) ал (У0+ " + "Р) Здесь  — г обозначает множество (хл х = у — г, у ~ В). Что касается начального распределения Рз(В), то оно может быть произвольным. С другой стороны, нельзя гарантировать, что произвольно заданному семейству распределений Р(г, И, В) соответствует некоторый процесс с независимыми приращениями. Чтобы последнее имело место, необходимо и достаточно, чтобы Р([, И, В) обладало следующим свойством: при любом и и любых ((ь. (), [=(о '~[~ ...

((и=(+И, Р([,И,В) является распределением суммы независимых случайных векторов $ь ..., $„, где ВА имеет распределение Р([А „[А — [А, В). Действительно, если зто условие выполнено, то семейство распределений (!) удовлетворяет условиям согласованности.

Процесс с независимыми приращениями называют однородным, если распределение вектора е(г + И) — 3([) не зависит от [, т. е. Р(~, И, В) = Р(И, В). Для однородных процессов прцводимые ниже соотношения и формулы имеют более простой вид. Во многих вопросах, не умаляя общности, можно считать, что В(0) ж О. В дальнейшем мы часто будем считать зто предположение выполненным. Приведем сначала несколько примеров процессов с независимыми приращениями. Процесс броуновского движения. Так называется процесс с независимыми приращениями, для которого распределение Р(й И, В) является гауссовым. Как известно, если наблюдать в микроскоп с очень сильным увеличением маленькую крупинку коллоидного размера, погруженную в жидкость, то оказывается, что такая частица находится в постоянном движении и ее путь представляет собой АЗ1 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ зз очень сложную ломаную линию с хаотически направленными звеньями.

Это явление объясняется столкновениями молекул жидкости с коллоидной частицей. Коллоидная частица имеет относительно большие размеры ио сравнению с молекулами жидкости и испытываег в одну секунду огромное число соударений с ними. Результат каждого столкновения частицы с молекулами проследить невозможно.

Видимое движение частицы называется броуновским движением. В первом приближении можно считать, что смешения частицы под влиянием столкновения с молекулами среды независимы между собою, и рассматривать броуновское движение как процесс с независимыми приращениями. Так как отдельное смешение мало, то можно предположить, что к их сумме применима центральная предельная теорема теории вероятностей, и считать броуновское движение гауссоаым процессом. Сделаем несколько замечаний о корреляционной функции процесса с независимыми приращениями, обладающего конечными моментами второго порядка.

Пусть В(0) = О. Положим а (~) = Мз (~), В (г) = М Ь (г) — а (Г)) (з (г) — а (г)]'. или Я (1, з) = В (т! и (1, з)). (2) Отметим еще, что М (Ьт (з) — Ьа (з)) (Лй (з) — Ьа (з))* = =В(1) — Й(1, з) — )('(з, 1)+ В(з) = В(() — В(з). (3) В частности, отсюда следует, что матрица В(1) — В(з) симметрична и неотрицательно определена. Для однородных процессов функции а(г) и В(1) удовлетворяют следующим функциональным уравнениям: а(г, + Ц) =а(1~)+ а(У,), В Д + С,) = В (М + В а. (4) (5) Соотношение (5) является непосредственным следствием (3) н однородности процесса, а равенство (4) легко проверяется: а(Р, + Е,) = М(5(~, + Уз) — $(С,)) + М$(~з) =а(Й)+ аЯ.

В(~) является симметрической неотрицательно определенной матрнцей. Если з ~ 1, то (34(з)= $(() — 5(з), Ла(з) = а(г)— — а(з) ) К (~, з) = М (~ (1) — а (1)) (з (з) — а (з)!" = = В (з) + М Л', (з)("- (з) — а (з))* = В (з), слмчлпныв пгоцвссы в шнпоком смысля [гл. г Если предположить, что функция а(!) ограничена, то, как из.

вестно, решения функционального уравнения (4) имеют вид а(!) = а[, где а — некоторый постоянный вектор. Из неотрицательной определенности матрицы В(!) в свою очередь выте. кает, что решения уравнения (5) имеют вид В(!) = Вй Итак, для однородного процесса $(!) с независимыми приращениями и конечными моментами второго порядка (я(0) = 0) М~(!)=а[, )г(1, з)=Вш[п([, з).

(6) В частности, одномерный однородный процесс броуновского движения определяется двумя параметрами т н о. При атом Ма(!) = и(, ьЦ(!) = и й При гл = О, а = 1 процесс броунов- ского движения называют винеровскил процессом. В многомер. ном случае винеровским процессом называют однородный гаус. сов процесс с независимыми приращениями, для которого й(О)=О, М~(!)=о, М~(!Д*(!)=!1, где 1 — единичная матрица.

Процесс Пуассона. Стохастическн непрерывный процесс с независимыми приращениями называют процессом Пуассона, если для любых з, ! ) 0 (з ~ !) распределение величины $(!) — 5(з) является пуассоновскнм. Пусть а(0) = О. Тогда ве- личина $(!) принимает целочисленные значения и Р(й(!)=т)= [а [гйм е ", причем М$(!) = а(!). Ко тогда т! [а [!) — а [а)1 — м ш -а ми Если процесс а(!) однороден, то в силу монотонности функции а(!) а(!) =а! и а~ (! — зг" РФ (я (!) я (з) — ш) е-ап-м з ~ ! ш 0 В общем случае из стохастической непрерывности процесса $(!) следует непрерывность функции а(!). Действительно, так как я(!)-~$(з) по вероятности при ! (, з, то Мешцо-~ Ме'"цп и характеристическая функция ~,(и) величины $(!) непрерывна по й С другой стороны, ср,(и) = ехр (а(1) (еш — 1) ) и барс(и) непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна функция а(!).

Безгранично делнмые распределения. Распределение С[ в Я" называют безгранично делпмыл, если для любого целого и С[ является и-кратной сверткой некоторого распределении С[~: 0=0:", а З1 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ аь Таким образом, если для любого целого и случайный вектор $ допускает представление е = $Р1+ $ г+ .. + $Р, где (й,ь, й = 1,, п) — независимые одинаково распределенные случайные векторы, то распределение вектора $ бегранично делимо.