И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 8

Я. Хинчина [2]. Теорем а 5. Предположил, что распределения последовательности случайнь!х векторов ~„=$„!+Е„,+ ... +~„„, и= =1, 2, ..., где с„!, ..., $„— независимые (при даннсм и) случайные векторьс, удовлетворяющие условию 1пп гпах Р(] «ль [> з) =0 Чз > О, лм ! ! ~»Кл! слабо сходятся к некоторому пределу, Тогда предельное распределение оезгранично делимо. Доказательство в одномерном случае можно найти, например, в монографиях Б. В. Гиеденко н А. Н.

Колмогорова [Ц и В. В. Петрова [Ц. Переход к много!зерно»»у случаю не вызы. вает затруднений. Из теоремы 5 вытекает следующая формула для характери. стической функции ф(1, и) стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями $(1) (~(0) = 0); ф (1, и) = ехр 1(а (1), и) — — (Ь (1) и, и) + 1 .!.[['"' — 1 — ' ] * п«,л)[ !20! яг а характеристическая функция приращения $(1) — ~(з), 0 ~ з ( 1, может быть записана в виде <р(з, 1; и) = ехр(д(1, и) — д(з, и)). (21) 5 4. Марковские процессы в широком смысле В основе понятия марковского процесса лежит идея о процессах «без последействия».

Представим себе систему (частицу), которая может находиться в разных состояниях. Возможные состояния системы образуют некоторое множество Х, называемое фазовым пространством. Примем, что система эволюционирует во времени. Ее состояние в момент времени 1 обозначим через хь Если х! я В, где В с Х, то будем говорить, что система в момент времени 1 находится во множестве В.

Предположим, что эволюция системы имеет стохастический характер, т. е. состояние системы в момент времени 1, вообще говоря, не определяется однозначно через состояния системы в моменты Э 41 млгковскив пгоцяссы в шигоком смысля 43 времени, предшествующие я, где я ( 1, а является случайным и описывается определенными теоретико-вероятностными законами. Обозначим через Р(я, х, 1, В) вероятность события х, ян ен В(я ( 1) при условии, что х, = х. Функцию Р(я, х, 1, В) называют вероятностью перехода рассматриваемой системы.

Под системой без последействия понимают систему, для которой вероятность попадания в момент времени 1 во множество В при полностью известном движении системы до момента времени я(я ( 1) по-прежнему равна Р(я, х, 1, В) и, таким образом, зависит только от состояния системы в последний известный момент времени. Полная формализация этого определения будет дана в гл. ЧП, сейчас же будет приведено простое, но достаточное для ряда задач определение этого понятия.

Обозначим через Р (я, х, и, у, 1, В) условную вероятность события х~ ен В при гипотезах х, = х, х„= р (я ( и 1). В соответствии с общими свойствами условных вероятностей имеет место равенство Р(я, х, 1, В) = ~ Р(я, х, и, у, 1, В) Р(я, х, и, ду).

(1) х Для системы без последействия естественно предположить, что Р(я, х, и, у, 1, В) = Р(и, у, 1, В). В этом случае равенство (1) принимает вид Р(я, х, 1, В) = ~ Р(и, у, 1, В) Р(я, х, и, Иу). (2) х Соотношение (2) называют уравнением Коллюгорова — Чепмена. Его можно положить в основу определения процесса без последействия или, как говорят чаще, марковского процесса. Пусть (Х, 6) — некоторое измеримое пространство. Функцию Р(х, В), х ен Х, В ~ 6, удовлетворяющую условиям: а) Р(х, В) при фиксированном х является мерой на 6 и Р(х, Х)= 1, б) при фиксированном В Р(х, В) является 6-измеримой функцией от х, будем называть стохастическим ядром. Эта же терминология будет применяться и в несколько бо. лее общем случае, когда аргумент х функции Р(х, В) принимает значения из некоторого измеримого пространства (Хо, 6г), отличного от (Х, 6). Пусть ! — некоторый конечный или бесконечный полуинтервал (отРезок).

Семейство стохастических ЯдеР (Ра(х, В) = .= Р(я, х, 1, В), я(1„(я,1)~ 1;ч', 1), удовлетворяющих слтчлнные пгоцвссы в шигоком смысля 1гл. 1 уравнению Колмогорова — Чепмена (2), будем называть мар- ковским семейством стохастических ядер. О п р е д е л е н и е. Марковским процессом в широком смысле называется совокупность следуюи(их объектов: а) измеримого пространства (Х, 6), б) полуинтервала ! (отрезка) действительной оси, в) марковского семейства стохастическнх ядер (Р„(х, В), з < г, (з, !) ~ТХ!), Семейство ядер Рм(х, В) = Р(з, х, г, В) называют вероятностью перехода марковского процесса, пространство (Х, 6)— фазовым пространством системы, точки множества 1 интерпретируются как моменты времени, а величина Р„(х, В) = = Р(з, х, г, В) — как условная вероятность того, что система в момент времени ! окажется во множестве В, если в момент нремени з оиа находилась в точке х фазового пространства (з ( !).

В дальнейшем будем считать, что ядро Рм(х, В) определено и при з = й А именно естественно положить, что Рн(х, В) =т,(В, х), где т(В, х) обозначает индикатор множества В: т(В, х)= 1, если х еи В и т(В, х) = 0 при х И В. Очевидно, что при таком определении ядра Р„(х, В) уравнение (2), в котором положено и = з или и = (, выполняется. Операторы, порождаемые вероятностями перехода. С вероятностями перехода можно связать два семейства операторов.

Обозначим через е~' = лТ(6) множество всех конечных мер на 6 и положим гпц = Тат, где гпц(В)= $ Р(з, у, г, В)т(йу), з(г, Вен 6, (3) Если мера т( ) — распределение системы в момент времени з, гп(В) = Р (х,, еи В), то формула (3) является «формулой полной вероятности», а тп( ) — распределение системы в момент времени г, гпо(В) = Р (х, ен В). Таким образом, оператор Т7, выражает распределение рассматриваемой системы в ее фазовом пространстве в момент времени ! через распределение в момент времени з, з ( й Очевидно, что Т(, является оператором, отображаюшим лТ в М. Из формулы Колмогорова — Чепмена вытекает простой закон композиции операторов Т(,.

Пусть з ( и ( й Воспользовавшись уравнением (2) и возможностью изменения порядка интегрирования в кратных МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ интегралах, получим равенства тм(В) = ~ т(ВК) ~ Р(и, у, ~, В) Р(з, х, и, с(у) = = ~ (~ Р (з, х, и, ду) т(дх)1 Р (и„у, (, В) = ~ т„,(Ыу) Р (и, у, (, В). х 'чх х Таким образом, Тм ТЫТР (3 < и < () Следовательно, семейство операторов Т(, как функция от иитервала (з, 4), является определенным образом направленной мультипликативпой функцией интервала. При этом под направленностью мультипликативной функции интервала следует понимать один из двух возможных порядков расположения сомножителей, отвечающих данному разбиению интервала на части. Второе семейство операторов, которое сейчас будет введено, действует в пространстве всех ограниченных 6-измеримых функций.

Обозначим его через Я(6), а совокупность всех неотрицательных функций этого пространства — через Я(6)+. Положим (и = Т4, если 1м(х) = ~1(у) Р(з, х, ~, Ф). функция (и(х) имеет, очевидно, следующий теоретико-вероятностный смысл. Она равна математическому ожиданию случайной величины Дх,) прн гипотезе, что в момент времени з (з < 1) система была в состоянии к (х, = х). Из 6-измеримости вероятности перехода по х вытекает 6-измеримость функции Ги(х), Далее, введем в Я(6) норму !! г !( = Епр()(х) (. Очевидно, !)~.~(! < (! 7(~ Таким образом, операторы Т,с преобразуют Я(6) и Я(6)+ в себя.

Воспользовавшись формулой Колмогорова — Чепмена и перестановкой порядка интегрирования, получим при з < ,<и<г' )м(х) = ~ ( (у) Р (з, х, г, у) = ~ г (у) ~ Р (з, х, и, дг) Р (и, г, ~, ау) = = ~ )ы(~)Р(з, х, и, а~), илн Т„=Т,„Т„, (э<и<(). (5) Таким образом, операторы Тм также образуют операторную мультипликативную (некоммутативиую) функцию интервала, но 46 слкчхиныв пгоцвссы в шигоком смысля игл. т уже направленную иным образом, чем Т;ы Очевидно, Тм) = 1 и Т„~ = )' или Т„= 1, где Т вЂ” единичный оператор. Определен не.

Марковский процесс называется однородным, если Т = (О, оо) и ядра Рм(х, В), как функции аргументов (з, Г), зависят только от разности 4 — з: Р„(х, В)=Р1,(х, В) (() з). Для однородных марковских процессов уравнение Колмогорона — Чепмена принимает вид Р„,,(х, В)= ~ Р„(х, ду)Р,(у, В), и>0, о) О. (6) Семейство ядер (Р~(х, В), т ь О) также называют вероятностью перехода однородного марковского процесса.

В однородном случае операторы Т~+,,„Т...+~ ие зависят от з и вместо двупараметрических семейств операторов (Т;„ 4) з > 0), (Тм, 0 < з < ~) целесообразно рассматривать одно. параметрические семейства (Т(, т..вО), (Ть т > 0), определяемые с помощью формул ТТт(В) = ~ Р~ (х, В) т (дх), ТД (х) = ~ ~ (у) Рь (х, ду). Формулы композиции (4) и (5) принимают следующий вид: Ти+и = ТиТи Ти+о = ТиТн.

Оии означают, что семейства операторов (Ть 1 > 0), (Тб Г>0) образуют в соответствующих пространствах полугруппу опера. торов. Уравнения Колмогорова. Среди наиболее важных задач теории марковских процессов в шнроком смысле можно назвать следующие: а) выделение наиболее важных классов (моделей) марковских процессов, обладающих специфическими свойствами, и их описание в терминах свойств вероятностей перехода; б) конструктивное описание вероятностей перехода, соответствующих данному классу марковских процессов; в) исследование асимптотических (предельных) свойств вероятностей перехода тех или иных классов марковских процессов. Разумеется, приведенные формулировки являются весьма общими и неопределенными, а намеченная программа исследований — очень широкой. В настоящем параграфе приводится лишь ряд предварительных результатов. Первым шагом на пути классификации марковских процессов явяяется их классификация по фазовому пространству.