И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов, страница 4

Две случайные величины $, Ч с конечными моментами второго порядка, удовлетворяющие условию Р6, ч М [(ь Мь) (Ч МЧ)1 О называются некоррелированными. В общем случае коэффициент корреляции пары случайных величин является мерой линейной связи между ними, т. е.

коэффициент корреляции показывает, с какой точностью одна из случайных величин может быть линейно выражена через вторую. Часто рассматривают комплекснозначиыс случайные функции ь(0). Их можно представить в виде ь(0) = $(0)+ (Ч(9) и рассматривать как двумерные векторные случайные функция. Для комплекснозначной функции соотношение ь(0)~ Ы2(6) означает, что М[((0)[2< сс, О е= В, т. е, что з(0)е- :.У2(В) и и (О) е= Я 2 (В). Корреляционная функция комплексной случайной функции определяется равенством Л(вь 0,) = МК(О,) — М~(0,)) [~(О,) — МДО,)[), где черта над скобкой обозначает переход к комплексно сопряженной величине, Отметим некоторые свойства корреляционных функций: 1) Й(0, О) ) О, причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда ь(0) с вероятностью ! постоянна; к(Оп 02) =г(0„0,); [Л(ем О,) [2~а(Оп 0,))((0„0,); (11) (12) 2) 3) Функция л2(О) называется средним эничением, а )с(Оь 02)— корреляционной функцией.

При 0~ = 02 = 0 корреляционная функция дает дисперсию оз(0) величины $(9), Р(0, 0) = пз(0). Величину О ) и (8~ 921 Н (81 82) и(8,) о(Е,) ЗИ(Е„В,) Ц(вь 8,) опьадвления 19 4) каковы бы ни были н, О!, Ом ..., О„и комплексные числа )!1, Л,...,)!, (13) й!ч й!чз " $!чг Ф $2Ч! ь2Ч2 ' ' -2Чт (~ — ) Ьч! Ьч! "° йтчг Положим тн(8) = М~(8) =(М~!(8), М~з(8), ..., М~,(8)), я (е„в,) - я„(в„е,))ц.. = М ([~(8,) — л1(8!)] [~(ез) — т(вз)) ) = -(М Ц~,(Е,) — ш,(Е,Щ,(В,):!н,(8,)[))ь. ь, „. ~ Р(е,,е,)),Х,Р.О. ьь ! Первые два утверждения очевидны; 3) получается как след- ствие неравенства Коши — Буняковского (М!$ч))з =М[$[зМ[Ч)а. Для доказательства 4) достаточно заметить, что Л л л ~ К(вь Вь)Д!Х,,=М Х ~(8,)~(В,Р!Л,=М~ 2"„~(Е,)Х,1)8. ня ! ьь-! 1 ! Отметим, что свойства 1), 2) и 3) являются следствием свой- ства 4).

Функция Й(8!, Оз), заданная на 9 и удовлетворяющая свой- ству 4), называется положительно определеннь!м ядром на 9. Если даны две случайные функции ~!(8) и цз(8), принадле- жащие Я'з(9), то для характеристики степени линейной связи между ними вводят взаимную корреляционную функцию. Определение. Взаимной корреляционной функцией слу- чайньт функций Ь!(8) и Ьз(0) (а=2т(6)) называется функция Л,, (в„в,) =М[~,(о,) — М~, (0,)[[~з(8,) — М~,(оз)), Пусть задана последовательность комплекснозначных слу- чайных функций ~,(е), ~,(о), ..., ~,(о) ~,(в) = ы; (в), ! = 1, 2, ..., Условимся рассматривать ее как одну г-мерную комплексную случайную функцию ~(8)=Д!(8),~ (8),, ~.(8)) 8~6 Если я и ч — два вектора я=В!Ь ",Ы, ч=(ч! чм ч,)* то будем обозначать 'через яч' матрицу во слрч»нные процессы в широком смысля !гл / Функция т(0) является г-мерной комплекснозначной векторной функцией.

Она носит название среднего значения векторной случайной функции г,(0). Матрица /с(Оь О») называется корреляционной матрицей г,(0), Свойствам 1) — 4) корреляционных функций соответствуют следующие свойства корреляционной матрицы случайной функции: !) Р(О, О) является неотрицательно определенной матрицей г г 1г ///»(0,0)Лф» — — М 2:/.Д(0)~ «~0; (14) /,»-~ /-! 2) Д(О„О,)'=Л(О„О,), (15) где знак " обозначает переход к комплексно сопряженной матрице; З) 1Л/, (О„О,) Ре Л/ (О„О,)Л„~(0,, О,), /, й=1, ...,; (Бб) 4) для любых и, Оп ..., О„и последовательности комплексных векторов Аь А»,..., А.

~„(Л(9н О») А», А/) вб. (17) /,» 1 Последнее условие эквивалентно следующему: 4') для произвольной последовательности матриц Л„ ..., Л„ матрица ~ ЛР(0/, 0,)Л", неотрицательно определенная. Свойства 1) и 2) очевидны. Для доказательства свойства 3) воспользуемся неравенством Коши — Буняковского для математического ожидания: ) г/»(О„О) )» =~ и К/(0) —,(0)) К,(О) -.,(0))) ('~ < г„ (О„ О,М (О,, О,). Чтобы доказать свойство 4), положим А» —— (а»ь ..., а»,). Тогда л л г (/'(О/, 0„)Аы А/) = ~ й, /тр (О/, О»)а»,а/ —— /, »-/ /,»-~ р,л-~ л г — М~Х Х Кр(0/) — тр(0/))а„~ Р:О.

~/-~ р-~ Понятия непрерывности, измеримости и другие понятия анализа непосредственно к случайным функциям в широком смыгле неприменимы. В принципе возможно для этих понятий найти опгецвлвния 2! ч и эквиваленты, гыражаемые через конечномерные распределения случайной функции. В настоящее время более распространен иной подход к по троению анализа случайных функций, принятый и в настоящей книге (гл. 1Ч).

Упомянем здесь об одном понятии, выражаемом через распределения пар $(0!), $(Оз). Пусть $(0) — векторная функция со значениями в Я", 6— метрическое пространство с метрикой г(0!, О,). Определение. Случайная функция С(0), 0~6, называется стохастически непрсрь!вной в точке Оы если Че ) О Р(~~(Оь) — ~(0)! > е) — нО при г(0„0)-+О.

Если $(0) стохастически непрерывна в каждой точке некоторого множества Вс:8, то ее называют стохастически непрерывной на В. Если случайная функция стохастически непрерывна ка некотором множестве, то зто вовсе не означает, что ее реализации непрерывны на В. В этом легко убедиться на простых примерах (см. 0 3). Определение. ЕслиприУ- оо зцр Р(10(0)1) й!) — О, е з то случайную 4узкцию з(0) называют стохастически ограниченной на В. Теорем а 1. Если 6 — компакт, случайная функция ~(0) стохастичвски непрерывна на 8, то ЦО) стохастичгски ограничена на !О.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть з — произвольно малое положительное число. Для каждой точки О ен 0 построим сферу 5а с центром в точке О такую, что Р((1(О) — 1(0') ~>1) ( — ', ЪО'~5,. Из множества всех сфер 5з выберем конечное покрытие5,... ..., 5 множества е!. Пусть а — наибольший радиус сфер 5з, ..., 5ь . Тогда | $(0) ~<~ Я(0) — й(0!) !+ )пгх!%(0!) !, где 8! — центр сферы 5з, в которую попадает точка О. Таким р образом, при Ж ) 2 Р (1 й(8) ! ) й!) ( Р ~ ~ $(8) — $(01) ~ > — ~ + Р ( гпах (~(8!) ~ ) — ~ ( » (— + Р и!ах ! ~ (8!) 1) — „ ~ ~к! ~л слтчхиные пеоцессы в шиеоком смысле 1ГЛ. Г Величина шах ~ е(0~) ~ с вероятностью 1 конечна. Поэтому при М 1 достаточно большом, Ф>Фь(е), имеем Р~ гпах ~ $(01) ! > — ~<— Фз е 1~/<л 21 2 и Р(!$(0) ! > У) < е. Ю О п р е д е л е н и е.

Случайную функцию е(О) называют равномерно стохастически непрерывной на 6, если для произвольного е > 0 можно найти такое б > О, что Р ( ! $ (8) — $ (О') ! > е) < е для всех О и 9', для которых т(0, О') < б. Т е о р е м а 2, Если 9 — компакт, случайная функция Е(9) стохастически непрерывна на О, то $(0) равномерно стохастически непрерывна на 8. Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы такое е>0 и для любого п пара точек В„, В„', для которых г(0„, 0„') < < — и Р(~~(0„) — $(0„') ~ > е) >е. Из компактности В следует, 1 что можно выбрать подпоследовательность индексов пь так, чтобы О„ н 9'„ сходились к некоторому пределу Оь. Тогда е < Р ( ! $ (9„) — К (О'„„) ~ > е) » <Р ~ ( ЦО„) — е (9,) ) > 2 ( + + Р~~~(9,) — 2(9„)1> е1.

В силу стохастнческой непрерывности е(9) правая часть последнего неравенства -ь0 при А -ь0. Мы пришли к противоре. чню, н тем самым теорема доказана. 4 2. Гауссовы случайные функции Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Приведем прежде всего определение и основные свойства многомерного гауссова распределения.

Определение. Случайный вектор $ =(Еь ~, ..., ~„) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде г <пь ю- — <яч, ю 1 ~р(и) =Ме"" м=е где т = (ть ть ..., т„), и = (и„им ..., и,) — векторы, Л— неотрицательно определенная вещественная сим четрическая матрица, )( =(гс,), 1, й = 1, 2, ..., и. Эдесь (оц р) обозначает ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ скалярное произведение векторов сс и б, так что (т, и)= ~, т»и», Яи, и) = ~, гс»и!и». »-с ь»с Следующая теорема служит формальным оправданием данного определения. Т е о р е м а 1.

Для того чтобьс функция ф (и) = ехр(с (т, и) — — (сси, и)) — = сюйс = ипн дч ! д с~„, (2) дсч дл дл» !.,-- = — "М» = — тст» — гс» Из этих формул следует, что матрица Я вещественна, симмет- рична и неотрицательно определена: Г л (Ди, и) = М ~~~'., ($г — тс)ис) = О(й, и) ~)О. (4~ с с Если ранг матрицы сс равен г(( и), то с помощью надлежащей замены переменных ис — — ~ ас»о» ее можно привести к главным »-с осям. т Г л л ()(и, и) = ~' )с»о»» = М ~ ~' ~ (лес — тс) ас»о»/ л Таким образом, Х (йс — тс)ас»=0 при й = г+1, ..., и с вес с роятностью 1. Этн соотношения показывают, что с вероятностью 1 между компонентами вектора $ существуют п — г линейно была характеристической функцией распределения некоторого и-мерного случайного вектора $, необходимо и достаточно, чтобы вещественная матрица !с была неотрицательно определенной и симметрической. Ранг матрицы )с равен размерности надпространства, в котором можно сосредоточить распределение вектора $.