Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 144

Поскольку, однако, сверхтекучее движение не переносит тепла, тепловое равновесие (при котором температуры гелия в обоих сосудах сравниваются) установится лишь значительно позднее. Условие механического равновесия легко написать, воспользовавшись тем, что установление этого равновесия происходит согласно предыдушему при постоянных энтропиях з1 и их гелия в обоих сосудах. Если и, и и, — внутренние энергии единицы массы гелия прн температурах Т, и Т„ то условие механического равновесия (условие минимума энергии), осуществляемого сверхтекучим перетеканием жидкости, будет ') Весьма слабый термомеханический эффект должен, строго говоря, иметь место н в обычных жидкостях; аномальным у гелия П является большая величина этого эффекта. Термомеханический эффект в обычных жидкостях представляет собой необратимое явление типа термоэлектрического эффекта Пельтье (фактически такой эффект наблюдается в разреженных газах; см.

Х, задача 1 к $ 14). Такого рода эффект должен существовать и в гелии 11, но в этом случае он перекрывается значительно превосходящим его описанным ниже другим вффектом, спеинфическим для гелия П и не имеющим ничего общего с необратимыми явлениями тияа эффекта Пельтье.

уРАВнвния ГипРОпинАмики свеРхтвку~!вн жидкости 71! % 139! (рь рх — давления в обоих сосудах). В дальнейшем мы будем понимать под химическим потенциалом р не термодинамический потенциал, отнесенный к одной частице (атому), как это обычно принято, а термодинамический потенциал, отнесенный к единице массы гелия; оба определения отличаются лишь постоянным множителем — массой атома гелия. Если давления рь р, малы, то, разлагая по их степеням и помня, что (др/др)г есть удельный объем (слабо зависящий от температуры), получаем: — =!А(0, Т1! — Н(0, Тх)= зс(т, Ьр Р где Ар = рх — р1.

Если мала также и разность температур 1АТ = Тх — Ть то, разлагая по степеням Ьт и замечая, что (д!А/дт)Р = — з, получим следующее соотношение: Дг =!' вр (138,3) (Н. Еопс(оп, 1939). Поскояьку з ) О, то и Ьр/Ьт ) О. 9 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамических уравнений, которые описывают движение гелия 11 макроскопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложенным выше представлениям речь идет о составлении уравнений движения, описываю1цегося в каждой точке не одной, как в обычной гидродинамике, а двумя скоростями ч, и у„.

Оказывается, что искомая система уравнений может быть получена вполне однозначным образом, исходя из одних только требований, налагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми законами сохранения (причем используются такжесвойства движения, выражаемые уравнениями (137,1) и (137,2)), Следует иметь в виду, что фактически гелий 11 теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Ввиду этого явления критических скоростей уравнения гидродинамнки сверхтекучего гелия обладают реальным'физическим 'где 1У' — число атомов в ! г гелия. Но производная (дв/дМ), есть химический потенциал !А.

Поэтому .мы получаем условие равновесия в виде р(рн т,) = р(р,, т,) (138,2) гндэодннлмикд свивхтвкччеи жидкости !гл, хтт 7!2 потоков, связанных соответственно с сверхтекучим и нормаль- ным движениями. Коэффициенты р, и р. можно назвать сверх- текучей и нормальной плотностями жидкости. Их сумма равна истинной плотности р гелия П: (! 39,2) 9=рз+ рп. Величины р, и р. являются, разумеется, функциями температуры; р„обращается в нуль при абсолютном нуле, когда гелий 11 «целиком сверхтекуч»э), а р, обращается в нуль в л-точке, когда жидкость становится «целиком нормальной».

Плотность р и поток ! должны удовлетворять уравнению не- прерывности — + с(!ч! =О, др ся (139,3) выражающему закон сохранения массы. Закон сохранения им- пульса представляется уравнением вида + Знга О сгг дха (139 „4) где П;„— тензор плотности потока импульса. ') Существование предельной скорости сверхтекучего движения следует уже кэ микроскопической теории — конкретная форма энергетического спектра элементарных возбуждений в гелии 11 првводнт к нарушению условия гверхтекучести Ландау при больших скоростях (см !Х й 23) Фактвчесли наблюдающиеся критические скороста, однако, гораздо меньше этого предельного значения, причем зависят от конкретных условий течения (так, для течения по тонким капиллярам нли щелям онн больше, чем для движений в больших объемах) Физическая природа этих явлений состоит в возникновении кваитоваиных вихревых колец; такого же рода вихревые нити (но пря молинейные) вознниают при вращении жидкого гелия в цилиндрическом сосуде (см.

1Х $ 29). В этой главе эти явления не рассматриваются ') Если гелий 11 содержит примесь постороннего вещества (таковым фактически может являться изозоп зНе), то р„остается отличным от нуля и при абсолютном нуле. смыслом лишь для не слишком больших скоростей ч, и ч„'). Тем не менее мы проведем сначала вывод этих уравнений„не делая никаких предположений о скоростях ч, и ч., так как прн пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возможность последовательного вывода уравнений, исходя из законов сохранения. Переход к физически интересному случаю малых скоростей будет произведен в получающихся окончательных уравнениях. Обозначим посредством 1 плотность потока массы жидкости; эта величина является в то же время импульсом единицы ее объема (ср.

примечание на стр. 27б). Напишем ) в виде суммы ) Рзчз + Ряил (139,1) тгхвнения гидгодинамики свегхтектчеи жидкости т!З э ~м! Мы не будем рассматривать пока диссипативных процессов в жидкости; тогда движение обратимо и должна сохраняться также и энтропия жидкости. Имея в виду, что поток энтропии равен рзт„, напишем уравнение сохранения энтропии в виде — + 6!т (рзч„) О. д (рю (139,6) !( уравнениям (!39,3) — (Г39,6) должно еще быть добавлено уравнение, определяющее производную по времени от скорости т,.

Это уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы обеспечить сохранение со временем потенциальности движения: это значит, что производная ч, должна выражаться в виде градиента некоторого скаляра. Мы напишем это уравнение в видс де, Г~ щ (139,6) где р — некоторый скаляр. Уравнения (139,4) и (139,6) приобретут реальный смысл, разумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока не определенных величин Пм и р.

Для этой цели надо использовать закон сохранения энергии и соображения, основанные на принципе относительности Галилеи. Именно, необходимо, чтобы гидродинамические уравнения (139,3 — 6) автоматически приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражающегося уравнением вида — +6!та=О, дЕ ш (! 39,7) где Š— энергия единицы объема жидкости и 4! — плотность потока энергии. Принцип же относительности Галилея дает возможность определить зависимость всех величин от одной из скоростей (ч.) при заданном значении относительной скорости т — т, обоих одновременно происходящих в жидкости движений.

Введем наряду с исходной системой координат К еще и другую систему, Ка, в которой скорость сверхтекучего движечня данного элемента жидкости равна нулю. Система К0 движется относительно системы К со скоростью, равной скорости т, сверхтекучего движения в исходной системе. Значения всех величин в системе К связаны с нх значениями в системе Кэ (которые мы отличаем индексом нуль) следующими известными из гидноднндмикд свнпхтикччин жидкости ~гл.

хчг ты механики формулами преобразования '): !зп,', 1=РЧз+1оз Е= 2 +)отз+Ее ! Р"з е, 41= 1, й + )ечз+ Ео)чгз+ й Зо+ (Пзчз)+ ()о Пи = Р "згозз + пзг!ое + пзз!ез + 11си (139,8) где р — химический потенциал (термодинамический потенциал единицы массы). Первые два члена соответствуют обычному термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном (здесь — равном единице) объеме, а последний член выражает тот факт, что производная от энергии по импульсу есть скорость движения.

ИмпУльс )о (плотность потока массы в системе Ко) есть, очевидно, просто )О = Рз (Чз — Чз) (первая из формул (139,8) при этом совпадает с (139,1)). Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. В уравнение сохранения энергии (!39,7) подставляем Е и ь) из (139,8), ') Эти формулы являются непосредственным следствием приипипа отио. сительности Галилея и потому справедливы вне зависимости от того, о какой именно коннретной системе идет речь. Их можно вывести, рассмотрев, например, обычз|ую жидкость Тан в обычной гидродинзмине теизор плотности потока импульса есть Пм =- рогоз+ рбм.

Скорость жидкзктн ч в системе К связана со сноростью ча в системе Кз посредством ч = зз + н, где н — скорость системы Кз относительно системы К. Подстановка в Пм дает Пге — Рбге+ РОЗГЗЗЗ+ Р"зг"е+ Ригзое+ Ра,не Введя Пззз = рбм+ Рсьпзз н 1» рчз, получим указанную в тексте формулу преобразования для теизора Пм. Остальные формулы получаются аналогич ным образом, (здесь (Поч,) обозначает вектор с компонентами П„ап,з), В системе К, данный элемент жидкости совершает лищь одно движение — нормальное движениесо скоростью ч.— ч,.Поэтому все относЯщиесЯ к этой системе величины )с, Ео Яо, По;я могУт зависеть лишь от разности ч, — чз, а не от каждой из скоростей ч„, ч, в отдельности; в частности, векторы )е и ()о должны быть направлены вдоль вектора ч — чз Таким образом, формулы (139,8) определяют зависимость искомых величин от ч, при заданном ч.

— и,. Энергия Е,, рассматриваемая как функция от Р, з и импульса )оединицы объема жидкости,удовлетворяеттермодинамическому соотношению г)Ео = )з с(р + уг((рз) + (ч„— ч,)4,„ уРАВнения ГидРОдинАмики ЕВеРхтекучей жидкости 7!$ з !Зм причем производная дЕ9/д! выражается через производные от р, рз и !9 согласно (139,9). После этого все производные по времени (Р, у, н др.) исключаем с помощью гидродинамических уравнений (!39,3 — 6). Довольно громоздкие вычисления приводят, после значительных сокращений, к следующему результату: — П99А — + пз — П,ы+ Р б!ч ч, — те Чр+ рпте(АУЧ) ел + длм д "А *А + бга (т» (ТРЕ + Рлр)) + (Рл — Рз) ег Ч (Ф вЂ” Н) = <~19 Яй здесь фигурирующий в (139,6) скаляр временно обозначен через ~р (вместо ц), и для сокращения записи обозначено 9у = ул — у;, кроме того, введено обозначение Р— Ел+ ТРУ + Пр+ Р„(У.— Ул)9, (139,10) смысл которого выяснится ниже.

Это уравнение сохранения энергии должно удовлетворяться тождественно. При этом 09, П9, у должны зависеть лишь от термодинамических переменных и от скорости ту, но не от каких-либо градиентов этих величин (поскольку мы не рассматриваем диссипативных процессов). Эти условия определяют выбор выражений для (!9, П9, 99 однозначным образом. Прежде всего, надо положить Ч= ц, т. е. фигурирующий в уравнении (139,6) скаляр совпадает с химическим потенциалом жидкости, определенным согласно (139,9) (именно поэтому мы заранее обозначили его буквой и). Для остальных же величин надо положитьс (Ь=(ТРЕ+ Рлр) Ач+ Р„ш99ч, Пом = Рбм+ Рпш9шь Подставив теперь этн выражения в формулы (139,6), получим следуюгцие окончательные выражения для плотности потока энергии и тензора плотности потока импульса: «1= !х)А + л ) ! + РЗЧ» + Рпчп (Чл Чл Ул), (139,1!) Пы Р и Р «+ Рлп гп А+ Рбы.