Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 147

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в которой р' и ут пропорциональны множителю е-Ра()-"гк) (скорость звука обозначаем здесь посредством и). В качестве условия совместности обоих уравнений получаем уравнение и ' — и (к — + — — )+ — =О 4 д(а, Р) а Г да Рта' дрч Рка' д(Т р) ~дТ Рк дру ри З мц вдспнострднениа эвкид в сннрхтиквчин жидкости 725 Вблизи !ь-точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между сл и с„нельзя, Чтобы получить формулу для ит в этом случае, следует опустить второй член в квадратной скобке в (141,7) (содержащий р,) и член и4, который в этом случае мал (так как и, стремится к нулю), Кроме того, можно положить р„ж р.

В результате получим: ит= ~/ 'р*. (14!,9) Для скорости же и, получается формула (141,8), где под др/др следует понимать (др/др)„т. е. обычная формула для скорости звука. По поводу формулы (141,9) следует заметить, что она применима лишь при достагочцо низких частотах — тем более низких, чем ближе жидкость находится к Х-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примечании на стр.

717) вблизи Х-точки неограниченно возрастает время релаксации т параметра порядка; формула (141,9), не учитывающая дисперсии и поглощения звука, справедлива лишь при условии отт ~!. Что касается скорости иь то вблизи )ь-точки появляется дополнительное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка— в соответствии с общими утверждениями в 2 81. При самых низких температурах, когда почти все элементарные возбуждения в жидкости являются фононами, величины р„с, з связаны друг с другом соотношениями ') еТ ра = — Р Зи 1 с=За, а р, ж р.

Подставив эти выражения в формулу (141,8) для ие,, найдем: мт = м~/ч/8. уч = Пмм р ='*Ьпг, Т = Спг. (141,10) ') Их легко получить вз формул длн термодинамнческня величин гелин И, приведенных в !Х йй 22, 23. Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости ц, и ие стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отношение стремится к ьГЗ. Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии П рассмотрим плоскую звуковую волну (Е. М. Лифшиц, 1944).

В такой волне скорости о„о„и переменные части Т', р' температуры и давления пропорциональны друг другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно гидРодинАмикА сваРхтакучви жидкости 726 игл. хуг я 3 Ьз — —,' ',, з (из — ит) здесь б = — — — — температурный коэффициент расширения ! др р дТ 1 ввиду его малости величины, содержащие (), малы по сравнению с соответствуюшими величинами, не содержащими 13. Мы видим, что в звуковой волне первого типа у„ж у„т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая массы движутся вместе.

Естественно, что эти волны соответствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях. В волне же второго типа имеем у„= — — 'у„т. е. полная р» плотность потока вещества ) =Р,У,+ Р„У, ж О. Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая н нормальная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объема остается неподвижным н суммарный потоп вещества отсутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости.

Между обоими видамн волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул (141,! 1), В звуковой волне обычного звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне второго звука относительная амплитуда колебаний температуры велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго звука представляют собой своеобразные незатухающие температурные волны').

В приближении, в котором тепловым расширением пренебрегается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто температурные колебания (с ) = 0), а волны первого звука — колебания давления (с У, =У,). Соответственно нх уравнения движения полностью разделяются: в уравнении (141,6) пишем з'= сТ'/Т и получаем: -д,г- и'ЯлТ, (141,12) ') Опн яе нмеют, разумеется, ничего общего с затухающими «темпера. турпымя аоляамн» в обычной теплопроводящей среде (4 52). Простое вычисление с помошью уравнений (141,1 — 6), произведенное с должной степенью точности, дает 2 т рр "гиз .а, =1+— Ь,=риы с,= р,з (из — ит) р рр и~из 2 2 ия пз + з з сз р„зр„(из — из) 3 % ми рхспрострхнкние звркх в свкрхтекрчеи жидкости а в уравнении (141,5) полагаем р'= — р' и получаем: др (141, 13) С описанными свойствами звуковых волн в гелии П тесно свя заи и вопрос о различных способах их возбуждения (Е, М.

»Таф. шиц, 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для получения второго звука в том смысле, что интенсивность излучаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интенсивностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии П возможны, однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излучаемого второго звука оказывается здесь большой по сравнению с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду указанного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см.

задачи 1 и 2). При распространении волны второго звука большой амплитуды его профиль постепенно деформируется в результате эффектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возникновению разрывов — как и для обычного звука в обычной гидродинамике (ср. Я 101,!02). Рассмотрим эти явления для одномерной бегущей волны второго звука (И. М.

Халатников, 1952) В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, о„о„) могут быть выражены в виде функций от одного параметра, в качестве которого может быть выбрана, например, одна из самих этих величин (3 101). Скорость (/ перемещения точки профиля волны равна производной с(х/й, взятой при определенном значении этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением д/дГ= = — 1/д/дх.

Вместо скоростей о, и о„будет удобнее пользоваться величинами о = !/р и и = о — о,; выбираем такую систему координат, в которой скорость о в данной точке профиля волны равна нулю, Гидродинамические уравнения (139,3 — б) (с П, Г», р, з из формул (139,!2 — 15)) приводят к следующей системе урав— У вЂ” ар' — Ур' — Р" ви'+ ро'=О, (141,14) др др р р' + 2 Р'Р" ви' — (Уро' = О, (14 1,! 5) Р— р(/ — + и — (р з)[Т + зи — р + [р з — (/и — ! и = О, дз д 1 др»» Г др» т дг дг ' [ др дг! (141,! 6) ~ — рз+ (/и р" ~~Т' + [1+ Сир — р" 1р'+ [р„(/ — ~"~' в]и'— — [Ур+ вр„[ о' = О. (141,17) ГидродинАмикА сзеРхтекучеи жидкости !Гл.

хч! т28 Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а также все члены, содержащие коэффициент теплового расширения; штрих означает везде дифференцирование по параметру '). В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р н р мала по сравнению с амплитудами Т и пц поэтому можно опустить также и члены, содержащие грр', гро'. Для определения (7 достаточно рассмотреть уравнение (141,16) и разность уравнений (141,15) и (141,17).

Условие совместности получающихся таким образом двух линейных уравнений для Т' и гр' приводит к квадратному уравнению р 0 — — игр!ь — — 2з — 1 — р 55=0, а да Г 4Р5Рл да дРл 1 дт ( р дт дт ) откуда Здесь иа — местное значение скорости второгозвука, меняющееся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением ЬТ температуры от ее равновесного значения. Разлагая иа по степеням бТ, получим даа длт рлвт иа = иаа + — бТ = иа5 + — — гр, дТ дТ ра где иав — равновесное значение иа.

Окончательно получим р,аТ д лаос 3 (7 =и + гр — !п —. рс дТ Т (141,!8) При достаточно сильном искажении профиля волны в ней возникают разрывы (ср. Э 102) — в данном случае температурные разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей 0 с обеих сторон разрыва, т. е. равна ы, +ма р 5Т д иа55 а с„+ ' — — !и —, 2 рс дТ Т (141,!9) где шь ше — значения гр на обеих сторонах разрыва. Коэффициент при ш в выражении (141,18) может быть как положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого точки с ббльшими значениями ш либо опережают, либо отстают от точек с меньшими значениями гр, а разрыв соответственно возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в противоположность обычному звуку, где ударная волна возникает всегда на переднем фронте).

') А не переменную часть «олеблющнхси величин, как ато было выше в атон параграфе! распространении элика в свврхтвкьчви жидкости $34!1 729' Задачи 1. Оирелелить отношеяне интенсивностей излучения первого и второго звуков плоскостью, совершающей колебания в перпендикулярном к себе иавравлении. Решен и е. Ищем скорости в, (наиравленные ио яормальиой к илоскостн оси к) в иервой и второй излучаемых волнах соответственно в виде е„=А,сова(г — х/и,), о,т А совы(г — х)га ).

На иоверхиости колеблющейся илоскостн скорости э, и и должны быть равными скорости ее колебаний (которую обозначим посредством весов ы1). Это дает уравнения А~ + Ат = оо а~А~ + атАт ие (коэффицеиты аь ат — из (141,11)). Средняя (по времени) илотиость энергии в звуковой волне в гелен П равна Реве + Рвов ' " (Р* + Рэа )1 поток энергии (интенсивность) получается последующим умножением на соответствующую скорость звука а.