Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 146

М. Теория сверхтекучести. — Мз Наука, 1971, гл. ХП1. Эти уравиеиия стаиовятся иепримеипмыми при очеиь вязких температурах, когда возиикает квантовое вырождение алемеитариых возбуждений, связанных с атомами примеси. где с — массовая концентрация Не' в смеси, а ! — плотность его гндродинамического потока. Однако, требования, налагаемые законами сохранения и галилеевой инвариантностью оказываются достаточными для установления вида всех уравнений лишь если известно выражение потока !.

Оно дается утверждением о том, что примесь (Не') принимает участие только в нормальном движении, т. е. 1 = рс»„'). гиднодинлмикл свеохтякнчяи жидкости (гл. хчт уравнение Т( — ",' +ич(рзч„)) =- 4(ч((йв+Рвт«Ф (П'чв))+Ф 41«(рвтч) Пг» д"' (140,4) (здесь снова цг = ч„— ч,), Линейные по градиентам выражения величин П', Я', Ф', обеспечивающие возрастание энтропии, имеют вид '): /до в доч й П'» = — т( рд(-+ — "-й- — — б!» 41« «„)— дкг ' 3 — Ь!»(! 61« (рвиг) — Ьг»~х Ич ч„, (140,5) Ф = ~э б(ч 'р,иг) + ~4 б(ч ч„, (140,6) 4)!' = — ф'рвтч + (П'ч„) — и ФТ (! 40,7) ( г в П!» выделена комбинация производных от ч, с равным нулю следом — подобно тому, как это делается в обычной гидродинамике).

Прн этом согласно принципу Онсагера должно быть ~! =14, (140,8) так что остается всего 5 независимых кинетических коэффициентов'). Наконец, подставив выражения (140,5 — 7) в уравнение (140,4), после простых преобразований приведем его к виду т( — !+ 6!ч (рач„— Т ФТУ =а (140,9) где чх вт' ф~+ — — 5 б!» 61«чв) + з,дк дк -1- 2~! Ыч ч, бгч р,чч+ ья(б!ч ч„)'+ ьэ(б(ч р,чт)э+-р- (ФТ)в. (140,10) Это уравнение — аналог общего уравнения переноса тепла обычной гидродинамики (49,5)э). Если правая сторона определяет скорость возрастания энтропии жидкости и должна быть суще- в) Здесь учитывается также и условие, что вращение нормальной части жидкости как целого (т, (Пг)) не должно приводить к диссинации (ср.

$151. э) Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, иэлагавшимсп в $59). Обратим лишь виийаяие иа то, что !~ — коэффициент при б(т(рвнг) в П'. а в правую часть уравнения (!40,4) этот член в П' входит умноженным иа б(тт; наоборот, !в — коэффнпиеит при сйтт в Ф', которое входит в правую часть ((40Л) умноженным иа б(т(рвы!. в) Все сказанное в конце 449 об определении энтропии в термодинзми.

чески слабо неравновесном состоянии остаетси в силе и здесь. % гю] диссипатинные процессы В спеРхтекучеп жидкОсти 72! ственно положительной величиной. Отсюда следует, что все коэффициенты ть ьг ьт, йз. х положительны, причем сверх того Гзг(ГДз. Коэффициент ц «первой вязкости», связанный с нормальным движением, аналогичен вязкости обычной жидкости, а коэффициент х формально аналогичен теплопроводности обычной жидкости; коэффициентов же «второй вязкости» имеется теперь три (~г, ~„ ьз) вместо одного в обычной гидродинамике. По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сделать еще следующее замечание.

Днссипируемая в жидкости энергия разумеется, инвариантна относительно галилеевого пре. образования системы отсчета. Производные от скорости этому требованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей хи = у,— у,. Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов термодинамических величин и скоростей, но и от самой мг. Как уже было отмечено в 9 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения (140,5 — 6) содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лишь наибольшие из них'). Задача Разделить узавнения для нормального и сверхтекучего движений в несжимаемой сверхтекучей жидкости (принимаются постоянными не толькополная плотность р, но н р, н р„ по отдельности).

Решение. Диссипативные члены в энтропийном уравнении являются малымн величинами второго порядка и могут быть в данном случае опущены; тогда и з = сопы, а из уравнений (139,3) в (139,5) имеем 6)тт, б!и = О. В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линейный по градиентам скорости член, связанный с вязкостью нормального движения; г дпиг доил х 1, дх» дх )' Подставив это выражение (вместе с Пгз из (!39,12)), получим уравнение дтз див р, — + р, — + рз (тзу) та + ря (тяу) чя -Чр + Ч б!т т, д( д( я ') Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в днссипативнык потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что н самые кинетические коэффициенты будет, вообще говоря, функцкями от ы); например, в Чг' появятся члены вида к тг и югюьдиы/дхг.

Полное число независимых кияеткческих коэффициентов, описывающих диссипацию в гелин П, оказыается при этом равным 13 (А. С!агй, !963). См. об этом в книге С. Путгерлана, Гидродинамике сверхтекучей жидкости, Прилогкение Ч(, Мир, 1978 [5. У. Рицегтип, Зирегцим Ьуйгобупаш!сз, Ыоггп Ноцапб Риы!чйгпя Со, 1974]. Отметим в этой связи, что в (!40,5 — 6) написаны члены с «Пир*те, поскольку кменно эта комбинзция производных возникает естествеииыч образом в точном уравнении (1405 — 6).

С принятой точностью было бы правильнее пвсать в (140,5 — 6) р, дш м. гиЙРодинАмикА снеРхтекнчен жидкости <гл. хм< бел и ар Р«+ Рл (т«Р) ч»+ лР+ лР= —.7Р+ Чд<ч т д< 2 д< л где нведен потенпнал сверхтекучего двнження согласно т, = тф, н учтено, что (ч, 7) т, = ро /2.

поскольку бы т, = О, то потенциал ф, удовлетворяет х< уравкенню Лапласа Ьф~ = О. Введем в качестве двух вспомогательных вели- чнн лдавлення» нормального н сверхтекучего двнженнй Р, н р, согласно равенству р = Рл+ р + рн где рл — давление на бесконечности, а р, опре- деляется обычной для ндеальной жнлксстн формулой 3 дфл Р,и, Р = Р о< Уравненне для скорости т. принимает тогда внд дтл 1 — + (т» р) тл = — — рр«+ — атл, д< Р« Рл формально совпадаюшнй с уравнением Навье — Стокса для жидкости с плотностью Р, н вязкостью т).

Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия П сводится к двум задачач обычной гндродннамнкн для идеальной н для внзкой жидкостей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с граничным условием для нормальной производной дф,/дл, как в обычной задаче о потенцнальном обтеканнн пдеальной жидкостью. Нормальное двнженне определяется уравнением Нзвье — Стокса с таким же граннчным условнем для т„(прн отсутствии теплообмена между стенкой н жидкостью), как в обычной задаче об обтекаяян вязкой жндкостью.

Распределенне давления опРеделЯетсЯ затем как сУмма Рю+ Р + Ре Для определения же распределения температуры пишем в уравнении (139,6) (с н нз (139,14) ) т, =- 7ф. н ннтегрнруя находим т "л Р« аф, М(р. Т)+ — — — (тл — т,)т+ — =сопя<. 2 2р д< Изменения температуры н давления в несжнмаемой жидкости малы, н с точностью до членов первого порядка пишем: 1 М вЂ” М, = — з (Т вЂ” То) + — (Р— Ро) Р (Тм рл — температура н давление на беснонечностн). Подстанляя ато выра- жение в написанный интегРал УРавненна н вводЯ Р» н Рм полУчим: т — т,- — ~» Р < в» Рл (тл — т )т1 Рз Е Рл Рл 2 й 141.

Распространение звука в сверхтекучей жидкости Применим уравнения гидродинамики гелия П к распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давление, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12 — 14) пренебрегаем квадра- РАспРОстРАнение 3ВукА В сВеРхтекучеи жидкости Тяа % Рп) (14 1,2) (141,3) Дифференцируя (141,1) по времени и подставляя (141,3), получаем: д'р (141,5) Согласно термодинамическому соотношению Нр = — я ОТ+ г(р/р имеем: Ч)э =ряЧТ+ рЧр.

Подставляя сюда Чр из (141,3) и Чр из (141,4), получим: р„— (т„— У,)+ряЧТ= О. д " д( Применяем к этому уравнению операцию б!у, а для Йу(ч,— у„) подставляем выражение дя Йрк(у — у ) = — —, р,в д! ' следующее из равенства — = — — — — = — яй!У У + — б!У) = — г(!У(т — У ). дя ! д(ря) я др я ° яр~ д( р д( рд( " р р В результате получаем уравнение дРА р яг — =- — ЬТ. ды рл (! 41,6) Уравнения (!41,5) и (141,6) определяют распространение звука в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравнений — два, видно, что существуют две скорости распространения звука, Напишем Я, Р, р, Т в виде я=я+я' р рр+р~ и т д где буквы со штрихом представляют собой малые изменения соответствующих величин в звуковой волне, а величины с индексом нуль (который мы нинсе для краткости опускаем) — их тичными по скорости членами, а в уравнении (139,5) можно вы- нести в члене б!У(рят„) энтропию ря из-под знака г(!У (поскольку этот член уже содержит малую величину у.).

Таким образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид — + б(т)=О, др д! —— д( — + ряп(тч О, д( я) — + Чр = О, д1 д) +Ч О (141,4) ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕИ ЖИДКОСТИ (гл. хч! 724 постоянные равновесные значения. Тогда можно написатьс р+ т~' др, др др з= — р+ — 'Т да, дт др дг и уравнения (141,5) и (!41,б) принимают вид др д'р', др д'Т' да дтр' да д'Т' р,аг др + — — =о, — — '- -+ — — '- — 'дт'=о. др дР дТ д(г др д( дТ дм р (где д(з, р)/д(Т,р) обозначает якобиан преобразования от з, р к Т, р).

Путем простого преобразования с использованием термодинамических соотношений этому уравнению можно придать вид ик((а ) + Р )+ *с 1а~) =О (141,7) (с,— теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и') уравнение определяет две скорости распространения звука в гелии И. При р, = О один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука иа=(др/др),.

Фактически теплоемкости ср и с, гелия 11 при температурах, не слишком близких к Л-точке, близки друг к другу (ввиду малости коэффициента теплового расширения). Согласно известной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости. Обозначив общее значение с, и с, посредством с, а общее зна- чение (др/др)г н (др/др), просто как др/др, получим из урав- нения (141,7) следующие выражения для скоростей звука: (141,8) Одна из них, и), почти постоянна, а другая, ит, сильно зависит от температуры, обращаясь вместе с р, в нуль в Л-точке'). ') О распрогтрааеннк внука а гмесвк жидкого *Не с 'Не — ск главу Х1Н указанной ва стр 719 кнвгн И. А(. Халаткнкова.