Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Условие термодинэмцческога равновесия, определяющее чнс ла частиц в такой среде состоит в равенстве нулю всех химических потенциалов. Тогда е — Та+ р = О, т, е, ш = Тп, а согласно термодинамическому выражению дифференциала тепловой функции (при заданном — единичном— объеме и нулевых химических потенциалах) дш = Тда+др, комбинируя обе формулы, получим: др аду'). Уравнение (134,5) (в котором еще не использовалось уравнение непрерывности) приводит к уравнению адиабатичносги в форме (!34,8).
Уравнение же (134,9) принимает вид э дТи, дТ дк дх' ') При ультрарелятнвистском уравнении состояния р = е/3 из написанных формул легко иайтн, что еоа Т', а оо Т', т. е. те же законы, которые справедливы для черного излучения (см. Ч % 63), — как и следовало ожидать. й ]ЭО] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОЛИНАМНЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 699 пгзлятивистскля гиднолиилмика !гл, хк нли, после подстановки значений компонент 4-скорости: ц!у!(У! = цтуз/Уа мм ! 2 2 Ц!~Ц~У! = Ю2Ц2У2 (135,1) (135,2) (135,3) где у, =(1 — и!!/Сз) '", у,=(1 — пт!с') '2, а У, =!!и, и У,=1/и, — объемы, отнесенные к одной частице '). Из (135,1) и (!35,2) находим ! — (Рт Р!) Са/(гц! У! — и/2У2) (!35,4) Далее, переписываем условие (135,3) с учетом (135,1) в виде и!2У2у2 и 2У2у2 ! ! ! Путем простых алгебраических преобразований (из (135,1) выражаем у', и уа через !2, а затем подставляем !2 из (135,4)), получим следующее релятивистское уравнение ударной адиабаты (адцабага Тауба): + (Р Р ) (ц/!У~!+ и!2У~~) = О.
(135,5) Приведем также выражения для скоростей газа по обе стороны поверхности разрыва, которые можно получить путем элементарных преобразований нз условий (135,2 — 3)'): — — '+~' 1' (1356) с (е! — е,)(е, + Р!) ~ ' с ~ (ек — е,)(ек + Л!) 1 !) В нерелятнвнстском пределе опоеделенныа согласно (155,!) поток числа частиц отличается множнтелем 1/и от плотностн потока массы, обоаначавп!е!)ся через ! в й 85.
Множителем кч отличаются тзк>ке определенные здесь н в $85 объемы )г. к) прн преобразованнях удобно сделать подстановку о/с=1ьгр, т = сь |р. ф 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике строится аналогично нерелятивистской теории (А. Н, Таиб, 1948), Как и в ф 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе координат, в которой она покоится, а газ движется перпендикулярно ей (вдоль оси х' — = х) со стороны 1 на сторону 2. Условия непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и потока энергии гласят: [цк] [ццк] — !) ]Ткк] [и!(цк) 2 ! Р] () с [Так! с [ц!цацк] 1) й 1зз) упАРные ВОлны В РелятиВистскОИ ГипРОпинАмике 701 Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва согласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна 1 (Р Р1) (~~ е1) )1~з ! — Р,эз)сз 1 (е, + р,) (е, + р,) 3 В нерелятивистском пределе, если положить е ж лзсзи=глсз/у и пренебречь Р по сравнению с е, формулы (135,4), (135,6 — 7) переходят в формулы (85,4), (85,6 — 7) (с учетом указанной в примечании разницы в определениях 1 и У здесь и в $85)'), Для ультрарелятивистского же уравнения состояния р =и/3 из (135,6) имеем (135 8 с ~3(зе,+е) ' с 13(Зе,+е)З (отметим, что и1оз = сз/3).
При увеличении интенсивности ударной волны (е,— о)О1 стремится к скорости света, а оз — к с73. Подобно тому, как в гл. !Х мы изображали ударную адиабату графиком в плоскости Р", р, так естественными переменными для изображения релятивистской ударной адиабаты являются п1уз, рс'1 в этих координатах /з определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки адиабаты ! в произвольную точку 2. Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сделано в $86 в иерелятивистском случае (О.
М. Халатников, 1954). Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления: 13 ~) узт ( ст ) 1 Р— Р1) . (135,9) Поскольку должно быть оз ) О1, томы видим, что ударная волна является волной сжатия, если ( з, ) > О.
(135,!О) Это условие представляет собой релятивистское обобщение условия (86,2) нерелятивистской гидродинамики '). При Р, ) р1 ') Для предельного перехода от уравнения адиабаты (135,5) к нерелятивисткому уравнению (35,10) такое приближение недостаточно; надо положить ш = игаса + и1иа + р (е — нерелятивистская внутренняя энергия, отнесенная к единице массы) н, разделив уравнение (!35,5) на сз, перейти к пределу с -ь со ') Используя термодниамнческое соотношение для тепловой функции, отнесенной к одной частице, с((ш(г) = ус(р (прн о'т' = совы), найдем, что условие (135,10) эквивалентно неравенству В иерелятнвистском пределе правая сторона заменяетси нулем.
(гл. хп РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА из (135,4) и (135,5) следует, что гпаУт < гп,Ур гааУа ) гп,Уз) отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае Уя ( Уь— объем У должен уменьшиться даже сильнее, чем вУ возрастает. Скорости о~ и па ударной волны слабой интенсивности в первом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука: поскольку изменение энтропии — величина третьего порядка, то выражения (135,6) при рг-+.рь еа-ье, переходят в производную (134,14)'). Рассуждения, вполне аналогичные произведенным в 4 86, показывают, что в следующем приближении п1 ~ и„ па ( их. Таким образом, направление изменения величин в релятивистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (прп условии (135,10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивистском случае.
Обобщение этого результата на ударные волны произвольной интенсивности оказывается возможным произвести способом, вполне аналогичным примененному в $87 а). Подчеркнем в то же время, что неравенства п~ ) и1 и пя ( их справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских) ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было термодинамических условий — как следствие требования эволюционности. Напомним, что при выводе этих условий (9 88) был существен только знак скоростей и~о распространения звуковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к неподвижной поверхности разрыва.
Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями (и ~ п)/(1 ~ пи/сл), знак которых определяется только их числителями, так что все проведенные в $88 рассуждения остаются в силе. $ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды Установление релятивистских гидродинамических уравнений при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности) сводится к вопросу об определении вида соответствующих дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе плотности потока вещества.
Обозначая эти члены ') йыражеяпе же (135,4) переходит в проязводпую — счг(р/и'(вУт))ь С помощью термодпяампческпх выражеяяа и(еУ) = — риУ, з((мУ) = Улр (прк аУ = сопя() легко убедяться. что ата производная, умпожеппая па 1'-,, равна, как и следовало, и 1Д! — и,).
а) См. Таогпе К5. — Аз1горц 7., 1973, ч. 179, р. 897. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ тоз 4 136) СООтВЕтСтВЕННО КаК тся И Уь НаПИШЕМ: Т~А = рйы + ши,их+ ти„ и, = пи~ + ч,. (136,1) (136,2) Уравнения движения по-прежнему содержатся в дт~ дл' — =О, —, =О. дх дх' Прежде всего, однако, возникает вопрос о более точном определении самого понятия скорости и'. В релятивистской механике всякий поток энергии неизбежно связан также и с потоком массы.
Поэтому при наличии, например, теплового потока определение скорости по потоку массы (как в нерелятивистгкой гидродинамике) теряет непосредственный смысл. Мы определим здесь скорость условием, чтобы в собственной системе отсчета каждого данного элемента жидкости его импульс был равен пулю, а его энергия выражалась через другие термодинамические величины теми же формулами, как и при отсутствии диссипативных процессов. Это значит, что в указанной системе отсчета должны обращаться в нуль компоненты т,з и тз тензора т,А, поскольку в этой системе и и' = О, то имеем в ней ( а потому и в любой другой системе) тензорное соотношение т их =О.
(136,3) Аналогичное соотношение тли' = О (136,4) должно выполняться и для вектора Уь поскольку в собственной системе отсчета компонента пв 4-вектора потока частиц ки должна, по определению, совпадать с плотностью числа частиц и. Искомый вид тензора т;А и вектора у; можно установить, исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подобно тому как в $134 из этих уравнений получалось для идеальной жидкости условие постоянства энтропии), Путем простых преобразований с использованием уравнения непрерывности легко получить следующее уравнение: , дг", д дт', дт~ и' — '=Т вЂ”,(ои') — р —, +и' —,' =О, дх дх' дх дх где р — релятивистский химический потенциал вещества: пр = = ш — То, и использовано термодинамическое соотношение для его дифференциала: д„= — (р — — (Т. ! д (136,5) п П РвлятивистскАя ГидРОдинАмикА ~ГЛ ХУ 704 —,.
~пи' — — у'~ = — у' —,. — + — — „. (136,6) дх' Т дх' Т Т дх Стоящее слева выражение должно представлять собой 4-дивергенцию потока энтропии, а выражение справа — возрастание энтропии вследствие диссипативных процессов. Таким образом, 4-вектор плотности потока энтропии есть и = — пи — — у, Р т (136,7) а тлх и у' должны выражаться линейно через градиенты скорости и термодинамических величин так, чтобы обеспечить существенную положительность правой стороны уравнения (136,6). Это условие вместе с условиями (136,3 — 4) однозначно определяет вид симметричного 4-тензора т;А и 4-вектора уп / ди, ди ~ ди ~ ди„ А ХГА —— — с71~ — + —,. — и„и —, — и;и —,)— дх дх' дх дх' 2 хда~ — с~~ — — 71) —,(д;А — и,и„), (136,8) (136,9) Здесь ть ь — два коэффициента вязкости, а и — коэффициент теплопроводности, выбранные в соответствии с их нерелятивистским определением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
