Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 145

(139,12) Выражение (139,!2) имеет вид, являющийся естественным обобщением ~рормулы П„регоА+ Рбм обычной гидродинамики. При этом величину р, определенную согласно (139,10), естественно рассматривать как давление жидкости; в полностью покоящейся жидкости выражение (139,10) совпадает, разумеется, с обычным определением, так как Ф = Рр становится обыч.

гиднодиндмикд свенхтекэчпи жидкости 716 (гл хщ д)х — з с(Т + — с(р — — иг с(тп. ! Рз Р Р (! 39,13) Отсюда видно, что первые два члена разложения )х по степеням чп имеют вид 2 (139,14) где в правой стороне равенства стоят обычные химический по- ') Обычное термодинамнческое определение давления как средней силы, действующей на единичную плошадку, относится к неподвижной среде. В обычной гидродинамике тем не менее не возникает вопроса об определенна понятия давления (если не учитываются диссипативные пропессы), так как всегда можно перейти к системе координат, в которой данный элемент объема жидкости покоится.

В гидродинамике же сверхтекучей жидкости надлежащим выбором системы координат можно исключить лишь одно нз двух одновременно происходящих движений, н потому обычное определение давления вообще не может быть применено. Отметим также, что выражение (139,10) соответствует и определению давления как производной р — д(Ез)г)(д))т от полной энергии жидкости при заданных ее полной массе р'т', полной энтропии рз)г и полном импульсе относительного движения ртчК ным термодинамическим потенциалом единицы объема жидкости '). Уравнения (139,3 — 6) с определениями ) и Пм согласно (139,1), (139,12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений.

Эта система очень сложна прежде всего тем, что входящие в уравнения величины р„ рю )з, з являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но квадрата относительной скорости обоих движений шх =(уя — пз)х. Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого; эта величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в ноль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т.

Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически интересном случае не слишком больших скоростей (малой величиной предполагается отношение скоростей к скорости второго звука— $ 141). Прежде всего, в этом случае можно пренебречь зависимостью р, и р от тп; выражение (139,1) для потока 1 представляет собой при этом по существу первые члены разложения этой величины по степеням ч. и уи Разложение по степеням скоростей надо произвести и для остальных термодинамических величин, входящих в уравнения.

Дифференцируя выражение (139,10) и используя (139,9), получим следующее выражение для дифференциала химического потенциала: й ~зч! ' к»авнвния гиднодинамики свннхтнкэчеп жидкости 717 (139,15) Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям включительно (учет же в 1 зависимости .р, н р„от газ привел бы к членам третьего порядка малости) '). Введение в гидродинамические уравнения членов, учитывающих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет произведено в следующем параграфе.

Но уже здесь сформулируем граничные условия к этим уравнениям. Прежде всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхности компонента потока массы ). Для выяснения граничных условий, налагаемых на мю надо вспомнить, что нормальное движение есть в действительности движение «газа» элементарных тепловых возбуждений в нем. При движении вдоль твердой поверхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что должно быть описано макроскопически как «прилипание» нормальной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это имеет место для обычных вязких жидкостей.

Другими словами, на твердой поверхности должна обращаться в нуль тангенцнальная компонента скорости у„. Что касается перпендикулярной к стенке компоненты тю то надо иметь в виду, что кванты возбуждения могут поглощаться или испускаться твердым телом — это соответствует просто теплопередаче между жидкостью и твердым телом. Поэтому пер- ') Следует отметить, что система гидродинамическнх уравнений, в которой р.

рассматривается как заданная функция р и Т, может стать непригодной вблизи. Х-точки Леле в том, что при приближении к этой точке (как и ко всякой точке фазового перехода второго рода) неограниченно возрастают время релаксации для установления равновесного значения параметра ппрядка и корреляционный радиус его флуктуаций; в сверхтекучем же «Не роль параметра порядка играет коиденсатная волновая функция, квадрат модуля которой определяет о; (см. 1У Я 26, 28; о релаксации в сверхтекучей жидкости — см. Х 6 103). Гндродинамнческие уравнения с заданной функцией р,(р, Т) применимы лишь до тех пор, пока характерные расстояния н времена движения велики по сравнению соответственно с корреляционным радиусом и временем релаксации.

В противном случае полная система уравнений движения должна включать в себя также я уравнения, определяющие р,. См. Гинзбург и Л. Собянин А. А. — УФН, !976, т. 120, с. !63; д. (.ом. Тешр. Рьуз!са, !962, ч. 49, р. 607. тенциал Р(р, Т) и плотность р(р, Т) неподвижной жидкости. Дифференцируя зто выражение по температуре н давлению, найдем соответствующие разложения для энтропии и плотности: з(р, Т, ча) жз(р, Т)+ — — Р", р(р, Т, чн) - "р(р, Т)+ Р 2 др р 7!8 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕИ ЖИДКОСТИ !гл. Кч~ пендикулярная к стенке компонента скорости ч не должна непременно обращаться в нуль; граничное условие требует лишь непрерывности перпендикулярной к стенке компоненты потока тепла.

Температура же испытывает на границе скачок, пропорциональный тепловому потоку: ЬТ= Кд, с коэффициентом пропорциональности, зависящим от свойств как жидкости, так и твердого тела. Появление этого скачка связано с особенностями теплопередачи в гелии П. Все теплосопротивление между твердым телом и жидкостью сконцентрировано в пристеночном слов жидкости, поскольку конвективное распространение тепла в объеме жидкости практически не связано с каким бы то ни было теплосопротивлением; в результате весь перепад температуры, вызывающий появление теплового потока, происходит практически у самой поверхности.

Интересным свойством описанных граничных условий является то, что теплообмен между твердым телом и движущейся жидкостью приводит к появлению тангенциальных сил, действующих на поверхность тела. Если ось к направлена по нормали, а ось у — по касательной к поверхности, то действующая на единицу площади касательная сила равна компоненте П,„тензора потока импульса, Имея в виду, что на поверхности должно быть /, = р.о.,+ р,о„=О, находим для этой силы отличное от нуля выражение П,„= р,о, о,„+ р.о.

о,„= р о,(о»у — о»,). Вводя тепловой поток и рзТч„, можно переписать эту силу в виде (139, (6) где о — непрерывный на поверхности тепловой поток из твердого тела в жидкость. При отсутствии теплопередачи между твердой стенкой и жидкостью граничное значение перпендикулярной к стенке компоненты ч„тоже обращается в нуль. Граничные условия ! = О и ч„=О (ось к направлена по нормали к поверхности) эквивалентны условиям о„=О и ч„= О. Другими словами, в этом случае мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости для ч, и вязкой жидкости — для ч„. Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей жидкого'Не' с посторонним веществом (фактически — с изотопом Не'). Помимо уравнений, выражающих сохранение массы, импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения, полная система гидродинамичвскнх уравнений смеси должна содержать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого из двух веществ по отдельности.

Оно имеет вид — +б!ч ! О д! ч ыо1 диссипятипные процессы е сиерхтекичея жидкости 719 $140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости Для учета диссипативных процессов в уравнениях гидродинамики сверхтекучей жидкости надо (как и в обычной гидро. динамике) ввести в них дополнительные члены, линейные по пространственным производным скоростей и температуры. Вид этих членов может быть установлен однозначным образом исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии и принципом симметрии кинетических коэффициентов Оисагера (И.М. Халатников, 1952). Как и прежде, р и ! — масса и импульс единицы объема жид.

кости. Уравнение непрерывности сохраняет свой вид (139,3). В уравнения же (139,4), (139,6 — 7) надо ввести дополнительные члены, которые напишем в их правых частях; д)г дПы дПга д» г ох -е)- + ТГ ( -я- + 1а у — 7ж -ок)-+ ЕВ» б) — 41» 0 . дЕ Г (!40,!) (140,2) (140,3) Энтропийное же уравнение не имеет теперь вида уравнения сохранения (139,5); напротив, величины П', гр', 0' должны быть определены так, чтобы обеспечить возрастание энтропии.

Для этого снова подставляем в уравнение сохранения энергии (140,3) производную дЕе(д1, выраженную с помощью (139,9), после чего исключаем производные р, 1, », с помощью (139,3), (140,1 — 2). Прн этом подразумевается, что ч) и П даются уже известными выражениями (139,11 — 12); поэтому сокращаются все члены, за исключением связанных с энтропией и с диссипативными величинами П', 41', ~р'. В результате получим ') Полиыя вывод гвдродииамических уравиекия для смесей — см. книгу Хохпгкикова И.