Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 141

Уравнение непрерывности выражается просто равенством нулю 4-днвергенцнн вектора тока: — =О. д (ии') дхг (134,3) Возвратимся к уравнениям (134.1). Дифференцируя выражение (133,2), получим ду, д(юи 1 ди, др — „' =иг —,+ын' — ~ — —,=О. дх" дхэ дх дх (134,4) Умножнм это уравнение на и', т. е. спроецнруем его на направление 4-скоростн. Помня, что и~из= 1, а потому и,ди'/дхэ = О, находим — и" — и=О. (134,5) 3аменнв тождественно гпиэ = ама(ю/и) н воспользовавшись уравнением непрерывности (134,3), переписываем это уравнение в виде Согласно известному термодннамнческому соотношенню длятепловой функции имеем б — =т~ — '+ — 'ар (134,6) (Т вЂ” температура, о — энтропия, отнесенная к единице собственного объема)').

Отсюда видно, что выражение в квадратных ') Прн очень высоких температурах в веществе может происходить возникновение новых частиц, тан что полное число частиц каждого рода меняется В таких случаях под а надо понимать сохраняющуюся макроскопнческую вслнчнну, характернзу1ощую число частиц. Так, если речь идет об абра. зованнн электронных пар, пол я можно поннмать число электронов, которое осталось бы после анннгнляцнн всех пар. Удобным определением а может служить плотность числа барнонов (число антнбарвонов — если онн нмеются — считается прн этом отрннательным). К области применений ультрарслятнвпстской гндродннамнва могут относяться, однако. н задачи, в котооых вообще нельзя ввести какой-либо сохраня|ощейся мвкроскопнческой характернстпкн чнсла частиц в системе, в последнее само определяется условиями термодннамнческого равновесия (таковы задачи, связанные с множественным образованием частиц прн столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидро- динамических уравнений для таких случаев — см.

задачу 2. ') Напомним, что такое соотношеняе должно писаться для определенного колнчестна вещества (а не для определенного объема, в котором может находиться переменное число частиц). В (134,6) оно написано для тепловой функции, отнесенной к одной частнце, а !(л есть объем, пркходящнйся на одну частицу. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМНКА 1гл. хч (134,7) выражающему адиабатичность движения жидкости (с(/1(з означает дифференцирование вдоль мировой линии движения данного элемента жидкости).

С помощью уравнения непрерывности (134,3) его можно представить в эквивалентном виде — ои'=О, д дх~ (134,8) т. е. как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии ои'. Спроецируем теперь уравнение (134,1) на направление, нормальное к и'. Другими словами, составим их комбинацию ') дг~» а дг1А — — и,и — =О дх дх! (выражение в левой стороне тождественно обращается в ноль при скалярном умножении на и'). Простое вычисление приводит к уравнению , ди,.

др, др сине — „= —, — иги —. (134,9) дх дх дх Три пространственные компоненты этого уравнения представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (временная же компонента есть следствие первых трех). Уравнение (134,9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию от (2,3) к (2,9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При о/а = сопз1 имеем, согласно (134,6), др д м —,=и —,— дх дх л н уравнение (134,9) принимает вид А д Гм т д м м — — ц дх (,л ) дх' л (134,10) Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не зависят от времени), то пространственные компоненты ') Для удобства наномннм, что компоненты А-скорости (см. 11 $4): и' (у, ут)с), ю - (у, — ут/с), тле для краткости введено (в вгоа главе!) обозначение у (1 — ое!с')-и".

скобках есть производная Тд(о/и)/дхе. Опустив множитель аТ, приходим, таким образом, к уравнению д о д о гь — — = — — — =О дх л да л А 9 «а«] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ б97 (134,10) дают у(чт) (~ ч) + ст7 — =О. Умножив это уравнение скалярно на ч, после простых преобразований получим (чч) (уш/п)=0. Отсюда следует, что вдоль каждой из линий тока постоянна величина уш/п = сопз1.

(134, 11) Это — релятивистское обобщение уравнения Бернулли '). Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, легко видеть, что уравнения (!34,10) имеют решения вида н«д«« — и,= — —, в дк« (134,!2) — а ( — и«) = —, ( — иа)1 умножив это равенство скалярно на и" и раскрыв производную в правой стороне, действительно вернемся к уравнению (134,! 0), Пространственные и временная компоненты равенства (!34,12) дают: су — + — = О. «е де« о д( у — „; ч=ур, Первое из них в нерелятивистском пределе дает обычное условие потенциальности, а второе — уравнение (9,3) (с соответствующим переобозначением «р/ст- «р).

Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть липеаризованы; прн этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134,1), а ие из эквивалентных им уравнений (134,8 — 9).

Подставив выражения (133,3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений де' — = — ш«)(чч, д( (134, 13) ') При о С е имеем ы(д = «ист+ «ни«... (где м„р — нерелятивнстская тепловая функция единицы массы, обовначав«наяся в $5 как «в) и (134,1!) переходит в уравнение (5,3). где «р — функция координат и времени; эти решения — релятивистский аналог потенциальных течений нерелятивистской гидродинамики (И. М. Халатников, 1954).

Для проверки сказанного замечаем, что в виду симметрии производных дт«р/дх««)ха по индексам «' и й, имеем 898 РЕЛНТИНИСТСКАЯ ГИЛРОЛПНАМИКА !гл. хч где штрихом отмечены переменные части величин в волне. Исключив отсюда ч, найдем: —, = с'Ьр'.

дгг Наконец, написав е' =(де/др),ар', получим для р' волновое уравнение со скоростью звука ') и — с( — ) Выведем из этих уравнений условие механического равнове. сия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное поле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой вещество неподвижно (и =О, на =йгеа-ггз), все величины не зависят от времени, а смешанные компоненты метрического тензора равны нулю (Ага — — О) . Пространственные компоненты уравнения (134,15) дают тогда з 1 м дяза др нгГа изи„= — — —, =- — —, вз 2 язз д„ч ддв или 1 др 1 д — — = — — —,!и Агщ.

дк 2 дха (134,16) Это н есть искомое уравнение равновесия. В нерелятнвистском предельном случае гп = рс', Агеа = 1+ 2!р/сз (гр — ньютонов- ') Которая в этой главе будет обозначаться посредством и. з) В общем случае этн ураввення довольно сложен. Их подробная запись в раскрытом ваде (выраженном с помощью трехмерного тензора пространственной метрики — тва нз 11 $ 84) дана в статье Мемоп )7. А. — Сгеп. Ке1. Огач., 1981, ч.

!3, р. 889. Гндродннамггческне уравнения в первом посленыотонозском прнблнженнн даны в статье Саапдгазеййаг 5. — Аз!горн 3, 19бв, ч. 142, р. 1488; онн прнзедены также в княге: А)валер Ч, Торн д., ,Уилер Лж. Гравнтаиня. — Мх Мнр, 1977, 5 39, 11 [Минет С. 97., Тйогяе К 3., Нгвее!ег I. А Огач!1а))оп. — ггеетап, !973!. (индекс «ад» указывает, что производная должна быть взята для адиабатического процесса, т. е. при постоянном о/и).

Эта формула отличается от соответствующего нерелятивистскоговыражения тем, что вместо обычной плотности массы здесь стоит и/сз. Для ультрарелятивистского уравнения состояния р =е/3 скорость звука и = с/.т/3. Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т.е. а общей теории относительности. Они получаются из уравнений (134,8 — 9) просто путем замены обычных производных кова. риантными ') гни иь е= —,— иги — „, (аи)г г=0. (134,15) з др з др дх' дх ский гравитационный потенциал), и уравнение (134,16) переходит в Чр = — о туф т. е. в обычное гидростатическое уравнение. Задачи !.

Найти решение гидрадннамических уравнений, описывающее одномерную иестационарную простую волну. Р е шеи не, В простой волне все величины могут быть выражены в виде функции любой одной из ппх (см. $ !01). Написав уравнения движения в виде дТоо дтоо дуоо дуоо =О, — — — =О сд! дх ' сд! дх и считая Тоо, Тоь Т» функциями друг от друга, получим соотношение иТоо дуоо = (дтоо)о. В него нада подставить о 2 Тес еио+ Рии учитывая цри этом, чтоио — и] = 1(при вычислении удобно ввести параметр и э согласно ио = с]] гь и, = — за П).

В результате вычисления получается: а 1" и Аг!]г — = ~ — д! — де с сдш (2) (и — скорость звука). Далее, из (1) находим: дх дгоо — с— д! д Тою и, вычисляя зту производную, получим: .-],' ио,со +1(а). (3) формулы (2), (3) и определяют искомое решение. 2. Написать гидродинамические уравнения для ультрарелятнвистской среды с неопределенным числом частиц (которое само определяется условиями термодинамическаго равновесия). Р е ше н ие.