Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 143

В нерелятивистском пределе компоненты т а сводятся к компонентам трехмерного тензора вязких напряжений о' (15,3) . Чистой теплопроводности соответствует поток энергии при отсутствии потока вещества. Условие последнего, есть пи" -1- +У" =О.

При этом пространственные компоненты 4-скорости и = ча/п — величины первого порядка по градиентам; поскольку выражения (136,8 — 9) написаны лишь с точностью до величин этого порядка, компоненту и' 4-скорости надо положить равной единице: и',=1+и,иа=! + у,у9па 1. С этой же точностью надо опустить второй член в квадратных скобках в (136,9). Тогда для плотности потока энергии сТ '= — с7, на ходим: о а св ихТ' д Р— СТа = — Сюиаи = Уа = и д." Наконец, используя (136,3), перепишем это уравнение в виде 705 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ф йб1 Используя термодинамическое соотношение (136,5), переписанное в виде д —, = — — НТ+ —, и в Лр чг' получим поток энергии: (136,10) Мы видим, что а релятивистском случае тепгопроводностный поток тепла пропорционален пе просто градиенту температуры, а определенной комбинации градиентов температуры и давления (в нерелятивистском пределе и ж птс' и член с ур должен быть опущен) .

Г Л А В А ХМ ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 5 137. Основные свойства сверитекучей жидкости При температурах, близких к абсолютному нулю, в свойствах жидкости на первый план выдвигаются квантовые эф. фекты; в таких случаях говорят о квантовых жидкостях.

Фактически лишь гелий остается жидким вплоть до абсолютного нуля; все другие жидкости затвердевают значительно раньше, чем в них становятся заметными квантовые эффекты. Существуют, однако, два изотопа гелия — «Не и 'Не, отличающиеся статистикой, которой подчиняются их атомы. Ядро «Не не имеет спина, и вместе с ннм равен нулю и спин атома в делом; эти атомы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Атомы же 'Не обладают (за счет своего ядра) спином '/т и подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Это различие имеет фундаментальное значение для свойств образуемых этими веществами квантовых жидкостей; в первом случае говорят о квантовой бозе-жидкости, а во втором — о ферми-жидкости. В этой главе будет идти речь только о первой из них. При температуре 2,19 К жидкий гелий (изотоп 'Не) имеет так называемую Х-точку (фазовый переход второго рода)'), Ниже этой точки жидкий гелий (в этой фазе его называют Не И) обладает рядом замечательных свойств, из которых наиболее существенным является открытая П. Л. Капицей в 1938 г, сверхтекучесть — свойство протекать по узким капиллярам или щелям, не обнаруживая никакой вязкости.

Теория сверхтекучести была развита Л. Д. Ландау (1941). Ее микроскопическая часть изложена в другом томе этого Курса (см. 1Х глава И1). Здесь же мы остановимся лишь на макроскопической гидродинамике сверхтекучей жидкости, которая может быть построена на базе представлений микроскопической теории '). Отправным пунктом гидродинамики гелия П является следующий основной результат микроскопической теории.

При от- ') ь-точка образуют лапаю па фазовой диаграмме гелия в плоскости р, т. температура й,!9 К отвечает точке пересечеппя этой линии с лпккей оавпоеесяя жвдкостп с паром. з) Ферми. жидкость изотопа хНе тоже становится сверхтекучей, но прв гораздо более кпзквх температурах 1О-з К, Гвдродпнампка этой свепхтекучей жвдкостп более сложна ввиду более сложного характера оппсмваю. щего ее состоппке «параметра порядка» (ср.

!Х $54). й 1зп ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХТЕКУЧЕИ )КНДКОСТИ 707 личных от нуля температурах гелий 11 ведет себя так, как если бы он представлял собой смесь двух различных жидкостей. Одна нз них сверхтекуча и при движении вдоль твердой поверхности не обнаруживает никакой вязкости. Другая же ведет себя, как обычная нормальная вязкая жидкость. При этом весьма существенно, что между обеими этими движущимися «друг через друга» частями массы жидкости нет трения, т, е.

Не происходит передачи импульса от одной из них к другой. Следует, однако, самым решительным образом подчеркнуть, что рассмотрение жидкости как смеси нормальной и сверхтекучей ее частей является ие более чем способом наглядного описания явлений, происходящих в квантовой жидкости. Как и всякое описание квантовых явлений в классических терминах, оно не вполне адекватно, В действительности надо говорить, что в квантовой жидкости — гелии П вЂ” может существовать одновременно два движения, каждое из которых связано со своей эффективной массой (так что сумма обеих этих масс равна полной истинной массе жидкости). Одно из этих движений нормально, т. е.

обладает теми же свойствами, что и движение обычной вязкой жидкости; другое же — сверхтекуче. Оба эти движения происходят без передачи импульса от одного к другому. В определенном смысле можно говорить о сверхтекучей и нормальной частях массы жидкости, но это отнюдь не означает возможности реального разделения жидкости на две части '). Лишь имея в виду все эти оговорки относительно истинного характера происходя1цих в гелии 1! явлений, можно пользоваться терминами сверхтекучая часть и нормальная часть жидкости как наглядным способом краткого описания этих явлений.

Мы„ однако, будем предпочитать пользоваться более точными терминами сверхтенрчее движение и нормальное движение, не ассоциируя их с компонентами «смеси» двух «частей» жидкости. Представление о двух видах движения дает простое объяснение наблюдающимся на опыте основным свойствам течения гелия !1, Отсутствие вязкости при протекании гелия П по узкой щели объясняется тем, что'в щели имеет место сверхтекучее движение жидкости, не обнаруживающее трения; можно сказать, что нормальная часть, задерживается в сосуде, протекая через щель несравненно медленнее, со скоростью, соответствующей ее вязкости и ширине щели. Напротив, измерение вязкости гелия П ') Независимо от Ландау, качественная идея о манроскопнческом опнсанин гелия 1! с помощью разделения его плотности на две часта н введения двух полей скоростей была высказана Л.

Тнссой ((.. Тыао, 1940); зтв идея позволмла ему также предсказать существование двух видов звуковых воли в гелии И (см. ниже $ И1). Однано, ввиду ошибочности походных микроскопнческпх представленнй последовательная теория сверхтекучести (в том числе ее гндродннамнка) в работах Тиссы не была построена, гидРодинАмикА саеРхтекучеи жидкости !гл. Кш 708 по затуханию крутильных колебаний погруженного в жидкость диска должно давать отличные от нуля значения: вращение диска создает вокруг него нормальное движение жидкости, останавливающее диск благодаря свойственной этому движению вязкости, Таким образом, в опытах с протеканием по капилляру или щели обнаруживается сверхтекучее движение жидкости, а в опытах с вращением диска в гелин П обнаруживается ее нормальное движение, Помимо отсутствия вязкости, сверхтекучее движение жидкости обладает еще и следующими двумя важнейшими свойствами: оно не сопровождается переносом тепла и всегда потенциально.

Оба эти свойства тоже следуют из микроскопической теории, согласно которой нормальное движение жидкости представляет собой в действительности движение «газа возбуждений»; напомним, что коллективное тепловое движение атомов квантовой жидкости можно рассматривать как совокупность отдельных элементарных возбуждений, ведущих себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом(кидкостью объеме и обладающие определенными импульсами и энергиями. Энтропия гелия П определяется статистическим распределением элементарных возбуждений. Поэтому при всяком движении жидкости, при котором газ квантов возбуждения остается неподвижным, не возникает никакого макроскопического переноса энтропии. Это и значит, что сверхтекучее движение не сопровождается переносом энтропии, или, другими словами, не переносит тепла. Отсюда в свою очередь следует, что течение гелия П, при котором имеет место лишь сверхтекучее движение, является термодинамически обратимым, Перенос тепла нормальным движением жидкости представляет собой механизм теплопередачи в гелии П.

Он' имеет, таким образом, своеобразный конвективный характер, принципиально отличный от обычной теплопроводности. Всякая разность температур в гелии П приводит к возникновению в нем внутренних нормальных и сверхтекучих движений; при этом оба потока (сверхтекучий и нормальный) могут компенсировать друг друга по количеству переносимой ими массы, так что никакого реального макроскопического переноса массы в жидкости может и не быть. В дальнейшем мы будем обозначать скорости сверхтекучего и нормального движений соответственно как ч, и ч,. Описанный механизм переноса тепла означает, что плотность потока энтропии равна произведению ч,рз скорости ч„на энтропию единицы объема жидкости (з — энтропия, отнесенная к единице ее массы). Плотность потока тепла получается соответственно умножением потока энтропии на Т, т.

е. равна (137,1) и рТзч„. ткрмомехлничрскии эФФГкт Свойство потенциальности сверхтекучего движения выражается равенством го!у,= О, (137,2) которое должно иметь место в любой момент времени во всем объеме жидкости. Это свойство является макроскопическим выражением той особенности энергетического спектра гелия 11, которая лежит в основе микроскопической теории сверхтекучести: элементарные возбуждения, обладающие большой длиной волны (т. е. малыми импульсами и энергиями), являются звуковыми квантами — фононами. Поэтому макроскопическая гидродинамика сверхтекучего движения ие должна допускать никаких других колебаний, кроме звуковых, что и обеспечивается условием (!37,2)').

В силу потенциальности сверхтекучее движение жидкости не оказывает никакой силы на стационарнообтекаемоетвердоетело (парадокс Даламбера; см. 3 11). Напротив, нормальное движение приводнт к возникновению действующей на обтекаемое тело силы сопротивления. Если движение жидкости таково, что сверх- текучий и нормальный потоки массы взаимно компенсируются, то мы получим весьма своеобразную картину: на погруженное в гелий П тело будет действовать сила„в то время как никакого суммарного переноса массы жидкости нет. Задача Между концами капилляра с гелием П поддержнвается малая разность температур ЙТ.

Определять тепловой поток, распространяюгдвйся вдоль капвлляра Рею е н не. согласно формуле (138,8) перепад давления между обоими концамн капилляра Лр = рз бг. Этот перепад создает в капнлляре нормальное движение, средння (по сеченяю) скорость которого равна дл Дз Ьр/8Ч( (Я вЂ” радиус, ! — длина капнлляра, Ч вЂ” вязкость нормального двнження; ср, (17,!О)). Полный тепловой поток равен Тп/('р'з' ЬТ ТРзбзнйз зч! В обратном направлении возннкает сверхтекучее двнженне, скорость которого определяется условием отсутствия суммарного переноса массы: о, — бчрл/Рч. й 138. Термомехаиический эффект Так называемый термомеханнческий эффект в гелии П заключаетсн в том, что при вытекании гелия из сосуда через тонкий капилляр в сосуде наблюдается нагреваиив; наоборот, в ') Более полное мнкроскопнческое обоснование этого утверждении — см.

1Х $28. гидродинлмнкл свнрхтнкячин жидкости )гл. хит месте втекания гелия из капилляра в другой сосуд наблюдается охлаждение'). Это явление естественным образом объясняется тем, что движение вытекающей через капилляр жидкости в основном сверхтекуче и потому не уносит с собой тепла, так что имеющееся в сосуде тепло распределяется на меньшее количество гелия П. При втекании гелия в сосуд имеет место обратное явление. Легко найти количество тепла ф, поглощающееся при втекании в сосуд через капилляр 1 г гелия.

Втекаюшая жидкость не приносит с собой энтропии. Для того чтобы находящийся в сосуде гелий остался при своей температуре Т, надо было бы сообщить ему количество тепла Тз так, чтобы скомпенсировать уменьшение приходящейся на единицу массы энтропии благодаря введению 1 г гелия с равной нулю энтропией. Это значит, что при втекании ! г гелия в сосуд с гелием при температуре Т поглощается количество тепла (;) = Тз. (!38,1) Наоборот, при вытекании 1 г гелия из сосуда с гелием при температуре Т выделяется количество тепла Тз. Рассмотрим теперь два сосуда с гелием П при температурах Т, и Т,, причем сосуды соединены друг с другом тонким калилляром. Благодаря возможности свободного сверхтекучего перетекания по капилляру быстро установится механическое равновесие жидкости в обоих сосудах.