Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 140

Взаимоотношение между скоростями распространения скачка иь от и скоростями звука сь сз на различных участках конденсационной адиабаты определяется неравенствами (131,1). Однако не все из перечисленных в (131,1) четырех случаев могут реально осуществиться. Прежде всего возникаег вопрос об эволюционности конденсационных скачков. В этом отношении нх свойства полностью аналогичны свойствам разрывов, представляющих зону горения. Мы видели ($ !31), что отличие устойчивости последних от устойчивости обычных ударных волн связано с наличием одного дополнительного условия (заданное значение потока !), которое должно выполняться иа их поверхности.

В данном случае тоже имеется одно дополнительное условие — термодинамическое состояние газа ! перед скачком должно быть как раз тем, которое соответствует началу быстрой конденсации пара (это условие представляет собой определенное соотношение между давлением и температурой газа 1). Поэтому сразу можно заключить, что весь участок адпабаты под точкой О', на котором о~ ( сь оз ) сз, исключается как не соответствующий устойчивым скачкам. Леко видеть, что не могут реально осуществляться также н ;качки, соответствующие участку над точкой О (о~ ) сь пт ( г,). Такой скачок перемещался бы относительно находящегося перед ним газа со сверхзвуковой скоростью, а потому его возникновение никак не отражалось бы на состоянии этого газа.

Это значит, что скачок должен был бы возникнуть вдоль поверхности, заранее определяемой условиями обтекания (поверхность, на которой при непрерывном течении достигались бы необходимые условия начала быстрой конденсации). С другой стороны, скорость скачка относительно остающегося позади него газа в данном случае была бы дозвуковой. Но уравнения дозвукового движения не имеют, вообще говоря, решений, в которых все величины принимают заранее определенные значения на произвольно заданной поверхности ').

Таким образом, оказываются возможными конденсационные скачки всего двух типов: 1) сверхзвуковые скачки (отрезок АО адиабаты), на которых о1) сь пя ) сь Рт - рь )гт ( 'т'1 (!32,1) ') Аналогичные соображения остаюся в силе и в том случае, когда полная скорость ч, (от которой аз ( ет есть нормальная к скачку компонента) является сверхзвуковой. Во избежание недоразумений отметпм, что конденсацнонный скачок с пг ) сь ез ( сз может на практике (в определенных условиях влажности н формы обтекаемой поверхности) имитироваться истинным кондеисацвоиным скачком с пз ) сь оз ) гз и следуюпгей близко за ним ударной волной, переводягцей течение в дозвуковое.

КОНДЕНСАШГОННЫЕ СКАЧКИ гщ Э ?зз) и конденсация сопровождается в них сжатием вещества; 2) дозвуковые скачки (отрезок А'О' адиабаты), на которых о? < сь оз < сь Рз < Р?, Рз ) У? (132,2) и конденсация сопровождается разрежением газа. Значение потока / (скорости конденсации) монотонно возрастает вдоль отрезка А'О' от точки А' (в которой / = 0) к точке О', а вдоль отрезка АΠ— монотонно падает от А (где / = оо) к О. Интервал же значений / (а с ннм н соответствующий интервал значений скорости о? — — /)??) между теми, которые / принимает в точках О н О', является «запрегценным» и не может быть осуществлен в конденсацнонных скачках.

Общее количество (масса) конденсирующегося пара обычно весьма мало по сравнению с количеством основного газа. Поэтому можно содинаковым правом рассматривать оба газа / и 2 как идеальные; по этой же причине можно считать одинаковыми теплоемкости обоих газов. Тогда значение о, в точке О определится формулой (129,9), а в точке О' — такой же формулой с обратным знаком перед вторым корнем; положив в этих формулах у, = уз = у и введя скорость звука с, согласно с',=у(у — 1)с„ТН найдем следующий запрещенный интервал значений о?1 у? уз с? + — ?1 — — ?/ < о? < 2 2 < ч/яь ?;г ° ч- ч/ '-',, (132,3) Задача Определить предельные значения отношения павле??нй р?/р? в конденсационном скачке, считая, что ?//с, ~ 1.

Решение, На участке А'О' конденсацнониоа адиабаты (рис. 136) от. ношение рз/р? монотонно возрастает по направлению от О' к А', пробегая значения в интервале 1 — у 2(у — 1)е р < — ~( 1. (у+ '1) с? Р, + у(у — 1)л рз /2(у — Нд Р? Ч (у+ Нег На учасгке ше АО зто отношение возрастает по направлению от А к О, пробегая значения в интервале ГЛАВА ХЧ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА $ !ЗЗ. Тензор энергии-импульса жидкости Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидродинамике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического движения жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц.

Для вывода релятивистских уравнений гидродинамнки необходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-импульса движущейся жидкости Тга '). Напомним, что Тгю= Тоо есть плотность энергии, Т'«/с = — Т, /с — плотность компонент импульса, величины Т"Р= Т,р составляют тензор плотности потока импульса, плотность же потока энергии сТ' отличается от плотности импульса лишь множителем ст, Поток импульса через элемент с(т поверхности тела') есть не что иное, как действующая на этот элемент сила.

Поэтому Тобй)й есть сс-я компонента силы, действующей на элемент поверхности. Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локальная собственная система отсчета, или локальная система покоя; значения величин в ней называют собственными). В такой системе отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, оказываемое данным участком жидкости одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому можно написать Т Рг((в =рс()и, откуда Тор = рбар. ') Содержание этого параграфа в значительной стеяеви повторяет содержание П й 35 н приводится здесь для связности изложения. Принятые в втой главе обозначения соответствуют обозначениям в П. Латинские индексы 1, А 1, ... пробегают значения О, 1, 2, 3, причем х' =- ст— временная координата (в этой главе с — скорость света). Первые буквы греческого алфавята и, Р, в индексах пробегают значения 1, 2, З,отвечающие пространственным коордвнатам.

Галилеевой метрике (спепиальиая теория относительности) отвечает метрический теизор с компонентами Еы = 1, дм = = ктт = ьм = — 1. т) Для трехмерного вектора о( (и вектора скорости и ниже) в декартовых коордиаатах нет необходимости различать контра- и ковариаитиые компоненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному едяннчиому теизору бар. тГнзоя энГРГии-импульса жидкости Что касается компонент Т', представляющих плотность импульса, то в локальной собственной системе отсчета оии равны нулю. Компонента же Тес равна собственной плотности внутренней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой главе посредством е.

Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии- импульса имеет вид еооо (133,1) ооор где гп =с+ р — тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса '). Компоненты Т", написанные в трехмерном виде, равны ор юо ор (~- ~ >+ть' (133,3) Тес м е+ ро'/ст 1 — от/ст ) — от/ст Тто сс с () — от/ст) ' Нерелятивнстскому случаю соответствуют малые скорости и « с и малые скорости внутреннего (микроскопического) движения частиц в жидкости. При совершении предельного перехода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энергия е содержит в себе также и энергию покоя лтса составляющих жидкость частиц (гл — масса покоя отдельной частицы).

Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц л отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выражениях плотность энергии относится к единице объема в «лабораторной» системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется. Поэтому при предельном переходе надо заменить ст лтл- р ъг1 — — = р — —. с 2ст ' где р — обычная нерелятнвистская ппотность массы. По сравне- нию с рса мала как нерелятивистская плотность энергии (обо- значим ее ре), так и давление. ') Во всех формулах в этой главе пол термолннамнческнмн аелнчннамв яоннмаются нх собственные эначення, Такие велнчяны, как е, ю (н плотность энтропнн а анже) отнесены к елштнне объема в локальной снстеме покоя.

Легко найти теперь выражение Т'а в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость и' движения жидкости. В локальной системе покоя ее компоненты: ис = 1, и" = О. Выражение для Т'", обращающееся в (133,1) при этих значениях и', есть Т'а = гпиги" — рд™, (133,2» РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА 1ГЛ. ХР Имея все это в виду, найдем, что предельное значение р02 Тм = рс'+ ре + —, 2 рч+ —,ъг ~ре+ р+ — ). Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса есть, как и следовало, просто рч; для плотности же потока энергии находим, опустив член рс'Р, выражение Р(ре+ р+ро'(2), совпадающее с найденным в 2 6.

й 134. Релятивистские гидродинамические уравнения Уравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях дг~ — =О, дх (134,1) выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той физической системы, к которой относится тензор Т™. Воспользовавшись выражением (133,2) для Т", мы получим отсюда урав. пения движения жидкости; при этом, однако, необходимо дополнительно учесть сохранение числа частиц, не содержащееся в уравнениях (134,1). Подчеркнем, что тензор энергии-импульса (133,2) не учитывает никаких диссипативных процессов (в том числе вязкости и теплопроводности); поэтому речь идет об уравнениях движения идеальной жидкости.

Для формулирования уравнения, выражающего сохранение числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем 4-вектор тока частиц п'. Его временная компонента есть плотность числа частиц, а пространственные компоненты составляют -трехмерный вектор тока частиц. Очевидно, что 4-Вектор и' должен быть пропорционален 4-скорости и', т. е. иметь вид л' — пил (134,2) т. е. совпадает, за вычетом рст, с нерелятивистской плотностью энергии.

Соответствующее предельное значение тензора Т„а. уаа = РпРВ + Рбоа т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для плотности потока импульса, который мы обозначали в 2 7 посредством П е. Простая связь между плотностью импульса и плотностью потока энергии (отличие в множителе сэ) теряется в нерелятивистском пределе благодаря тому, что в нерелятивистскую энергию не включается энергия покоя, Действительно, компоненты Те"/с образуют трехмерный вектор, приближенно равный й мп релятивистские гидродинамнчнскин хпавннния бйб где а в скаляр; из его определения ясно, что а — собственная плотность числа частиц').