Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 35

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 35 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 35 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 35 - страница

Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в перечисленных выше примерах групп Ли. 1. Группа трансляций: 2. Группа растяжений: д У,=д; — (1=1,...,п). ' дд< (о' = 2 д,д/д4, — группа подобия). 3. Группа вращений. Рассмотрим малую окрестность единичной матрицы в множестве ортогональных матриц: А = Е+дФ, где д — малый скалярный параметр.

нп Предположим вначале, что а — скалярный параметр. Заменой переменной а — ~ д: а = е+ р добиваемся того, что тождественному преобразованию всегда соответствует р = О. Пусть в уравнении группы о' = Я(4, д) мы имеем именно такой параметр. Разложим зто выражение в ряд по степеням и в окрестности нуля: з 46. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЪ|й ОПЕРАТОР ГРУППЪ| 213 откуда с точностью до д, получаем: дд| д||2 д д — + — = 0, и = н1 И„дз) — + 92(91, 92)— до1 дд2 ' ' дд1 ' дд2 9. Группа Лоренца: д д и = — +| —. д| дя' Пусть гп-параметрическая группа имеет гп операторов: и|,, ., и . Если все гп параметров существенны, т.е.

не могут быть заменами сведены к меньшему числу, то операторы линейно независимы (первая основная теорема Ли). Это означает, что не существует таких, не всех равных нулю чисел Л|, ..., Л, что л,и,+ ... +л и =о. В противном случае операторы называются линейно зависимы- МИ ЧИСЛа Л1,, Л,ь ПРИ ЭТОМ ПРЕПОЛаГаЮтСЯ НЕЗаВИСИМЫМИ От д. Линейная независимость этих операторов позволяет взять их в качестве базиса линейного пространства операторов, связанного с рассматриваемой группой. Любой элемент этого пространства есть оператор вида и=л,и,+ ...+л„и, где Л1, ..., Л вЂ” координаты оператора и в этом пространстве.

В этом пространстве можно ввести операцию произведения операторов. Пусть и и У вЂ” два оператора из рассматриваемого пространства. Введем произведение операторов, называемое коммутатором, так: [и, у]= иу — уи. Это означает, что действие оператора [и, У] на некоторую функцию Р(д) заключается в том, что нужно вначале подействовать на нее оператором У, после чего на полученную функцию подействовать оператором и и из результата вычесть то, что получается при действии на Р(д) этих же операторов в обратном порядке: [и, у]Р(9) = и(уР) — у(иР).

Такое определение требует проверки нескольких фактов, Вопервых, будет ли оператор [и, Р] оператором первого порядка? Прямое вычисление показывает, что возникающие вторые производные при вычислении и(УР) сокращается после вычитания У(иР). Если оператор и имеет вид и=~'9. — , д 'до1' ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОй ТЕОРИИ 214 а оператор У имеет вид то оператор [У, ь'] получается таким: [У,й']= 2 а,—, д 'д91' где коэффициенты а1(д) = У(1(9) — $'т~1(д).

Во-вторых, будет ли оператор [У, г'] принадлежать рассматриваемому пространству операторов, т.е. может ли он быть выражен линейной комбинацией исходных базисных операторов У;? Если заданы гп произвольных линейно независимых операторов, то произведение любых двух из них вовсе не обязано выражаться линейной комбинацией этих п1 операторов. Оказывается, что если эти т операторов являются операторами п2-параметрической группы, то произведение любых двух операторов из соответствующего этой группе пространства ему же и принадлежит (вторая основная теорема Ли): [У, ~'] = й У + ... + к У В силу того, что введенное произведение очевидно обладает свойством дистрибутивности по сложению, т.е.

то для нахождения констант Й1,...,к в случае произвольных У и г' достаточно знать эти константы для базисных операторов: Константы С называются структурными константами группы и определяют группу полностью. В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании пространства или какой-то его области, мы выражаем это преобразование с помощью координат 9. Если пространство отнести к другим координатам, например г, то те же преобразования, выраженные в виде функции от координат, будут иметь иной вид. Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования оператора при замене переменных будет приведено в 2 49). Зависит ли операция произведения операторов д 'дд1' г 47.

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ггэ где а; = Убг — Угх, от того, в каких переменных она вычисляется? Другими словами, имеет ли значение, если вначале заменить в операторах переменные, а потом взять их произведение, или поступить наоборот? Несложная выкладка показывает, что все равно.

Введенное произведение не зависит от выбора системы переменных. Получившийся объект: линейное пространство операторов с введенной в этом пространстве операцией умножения называется алгеброй Лн. Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное: если даны какие-то и линейно независимых операторов, таких, что коммутатор любой пары есть их линейная комбинация, то они порожцают некоторую и-параметрическую группу Ли (вторая обратная теорема Ли). Заметим, что коммутатор по каждому из аргументов линеен, т.е., например: [У, аУг + Щ = а[У, У1] + 6[У, Уг], где а и 6 — скаляры. Кроме того, он кососимметричен: [У, У] = — [У, У] и удовлетворяет тождеству Якоби [[У, У], И']+ [[У, И ], У]+ [[И, У], У] = б. Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения билинейной, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби.

Пример: трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли, Пример. Группа 5Е(2). Операторы д д д д У1 =й,—, Уг=с,—, Уз=и — -ив дд ' ддр ' дйд дег образуют базис трехмерной алгебры Ли со следующим правилом перемножения операторов базиса; .[УО Уг] = -Уэ, [Уы Уз] = 2УО [Уг, Уэ] = — 2Уг. е 47. Однопараметрические группы. Теорема единственности В дальнейшем речь будет идти в основном об однопараметрических группах, В предыдущем параграфе уже упоминалась вторая теорема Ли: всякая и-параметрическая группа порождает и-мерную ГЛ.

11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 2!б алгебру, и обратно: всякая и-мерная алгебра Ли операторов порождает группу той же размерности. Теорема в случае и = 1 имеет нелокальный характер. Теореме. По заданному инфинитезимальному оператору У = = ~, Ч1д/дЧ; группа Ч' = Я(Ч, и) восстанавливается (с точностью до замены параметра д) единственным образом. Иными словами, знание производной по 22 функции в нуле определяет всю функцию полностью. (В случае функций, не имеющих отношения к группам, для построения функции, например, в форме ряда, необходимо знать все производные в нуле.) ,Показаглельстео. Рассмотрим малую вариацию параметра группы д+6д, приводящую и к малой вариации образа точки Ч: Ч'+ 6ч' = Я(Ч, д+ 6д). Подставим в правую часть этой формулы выражение для Ч: Ч=Я(Ч' и ') и воспользуемся групповым свойством Ч'+6Ч'=Я[Ч',Т(д-' д+6д)].

Разложим групповую операцию Т(д ', д+6д) в ряд по степеням 6д: Т(д ', и + 6д) = т(д-', д) + Г(д)6д + , где Т(д ', и) = О и Г(д) = дт(д1, д2)(дд2 при д1 = д ' и д2 = и. Таким образом, получаем Ч'+ 6Ч' = О[Ч', Г(ц)6п + ...] Раскладывая функцию Я в ряд по 6д, находим Ч'+ 6Ч' = Ч'+ Ч(Ч')Г(22)6д+ Переходя к пределу 6д — 1 О, имеем — = Г(д) Ч(Ч'). ~Ч' 6д Так как д в этом соотношении произвольно и оно (это соотношение) должно обращаться в тождество при подстановке в него Ч' = Я(Ч, и), то это означает, что группа Ч' = 1,)(Ч, и) может быть получена из этого соотношения, рассматриваемого как дифференциальное уравнение с начальным условием Ч'[„-б — — Ч.

При этом единственность группы следует из теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи Коши, что 3 47. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЪ| 217 в данном случае имеет место в силу аналитичности правых частей. Если заменить параметр 73 -> г: то найденное дифференциальное уравнение приобретает вид Правая часть его определяется лишь оператором группы.

Решая его, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра. Теорема доказана. Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между всеми одночленными группами в В" и всеми автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями с аналитическими правыми частями существует взаимооднозначное соответствие (с точностью до несущественной замены параметра). Замечание 2.

Параметр г = 13" Г(р)о73 носит название канонического. Построение группы при помощи решении автономного дифференциального уравнения определяет эту группу автоматически через канонический параметр. Каноничность параметра состоит в том, что групповая операция для него имеет простейший вид 73 = 71 + 72, а обратный элемент 7 '= — 7.

Пример. Найти групповую операцию и канонический параметр в группе подобия: Пусть ун = (1+н)д'. Тогда д" = (1+д+ и+пи)й и групповая операция 7(д, и) = д+ н+ 73и. Вычислим обратный элемент: Вычислим производную: = 1+И. д7 ди Находим функцию Г(д): Г(д)= —, д-Фд и и-+д, д7 -1 ди' 14 Зак. 233 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 218 откуда Г(д) = 1/(1+ д). Канонический параметр Выражение группы подобия через канонический параметр имеет вид Ч' = е'Ч. Пример.

Рассмотрим проективную группу на плоскости. Один из ее операторов имеет вид 2 д д и =„— +„„—. дЧ1 дЧ2' Построим однопараметрическую подгруппу, порождаемую этим оператором. Дифференциальные уравнения, определяющие эту подгруппу, имеют вид ! ! Решение этой начальной задачи Коши и дает искомую подгруппу: Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, можно построить таким образом все ее однопараметрические подгруппы. 8 48.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее