Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 28

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 28 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 28 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 28 - страница

Причем в силу непрерывности Е(х) х' не совпадает с положением равновесия и 11цн1~,с Е(х;) = Ес. Рассмотрим траекторию, начинающуюся в момент времени 1 = 0 в точке х': х(х", 1). Поскольку х' не есть положение равновесия, то энергия вдоль этой траектории монотонно убывает, и в некоторый момент времени Т мы имеем неравенство Е[х(х, Т)] < Ео = Е[х']. Рассмотрим далее другую траекторию, начинающуюся в момент времени 1 = 0 в точке х1: х(хп 1).

По теореме о непрерывной зависимости решений начальной задачи Коши от начальных условий имеет место 1пп х(х;, Т) = х(х', Т). 1 +(Х3 Напомним известную теорему о пределах если А < В и если А1 -+ А, то, начиная с некоторого 1, А1 < В. В силу этой теоремы, если Е[х(х', Т)] < Ев и если Е[х(х;, Т)] -1 Е[х(х', Т)], то, начиная с некоторого 1, Е[х(хь Т)] < Ев. Однако траектория х(х;, 1), в силу теоремы единственности решений начальной задачи Коши, представляет собой часть траектории х(1), для которой в любой момент времени Е[й(1)] > Ес.

Полученное противоречие и доказывает теорему. э Зв. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 171 Пример. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника с линейной восстаиавливающей пружиной (рис, 57). Выбором масштабов измерения перемениых уравнения движения такого маятника можно привести к виду х+ /сх = сйп х. Лииеаризация этого уравнения дает *' + (1с — 1)х = О. Характеристическое уравнение А~ + 11г — 1) = О имеет один вещественный положительный кореиь, если А < 1, и по теореме Ляпунова о неустойчивости заключаем, что в этом случае положение х = О Рис.

57 неустойчиво. Если х > 1, то оба корня лежат ва мнимой оси, и сделать вывод об устойчивости нельзя. Применим теорему Лагранжа. Потенциальная энергия рассматриваемого маятиика имеет вид ( .2 1г — 1 П = — + сов х — 1 = — х~+ —— 2 2 4! Если х > 1, то потенциальная энергия имеет строгий минимум и по теореме Лагранжа следует, что положение х = О в этом случае устойчиво. Глава 10. Малые колебании в окрестности положении равновесия 8 39.

Колебательная система с одно)г степенью свободы 1. Амплитудно-частотная характеристика. Уравнения колебаний линейного одномерного осциллятора (рис. 58) могут быть получены как уравиеиия Ньютона, связывающие ускорение материальной точки массы гл с действующими силами; т рсгввг — йх — сила упругости пружины, х -Лх — сила вязкого сопротивления и рсоа Аг — сила периодического воз- А буждеиия. Это уравнение имеет вид Рис.

58 глх+ Их+ йх = рсозща Если р = О, то маятник осуществляет свободное движение, которое можно искать в виде ГЛ. 20. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !72 После подстановки этого решения в уравнение для нахождения Л получаем уравнение тпЛ2 + ИЛ+ И = О, корни которого И Иг И л 2т 4тпг тп позволяют записать общее решение для случая р = 0 в виде х = Аехр[Л21) + В ехр[Лгг), где А и  — произвольные постоянные интегрирования.

Если Иг — 4тИ > О, то выписанное решение является вещественным и оно при И > 0 определяет решение, стремящееся к нулю при 1 -ооо Если И вЂ” 4тИ ( О, то полученное решение в вещественной форме г имеет вид И2 И И2 х = ехр[ — Иг/[2т)) Асов — — — 1+ Ввгп т 4тг т 4тг! Оно определяет затухающий колебательный процесс, если И > 0 и незатухающие колебания, если И = 0: х = Асов ~/ — т+ Вейн г/ — й т т Величина П = ь/Й/т называется частотой собственных колебаний осциллятора.

Если Иг — 4тИ = О, то общее решение уравнения при р = 0 имеет следующий вид: х = [А + ВС) ехр[-ИС/[2т)]. Если р ф О, осциллятор находится под действием внешней периодической силы, и общее решение уравнения колебаний в этом случае складывается из общего решения однородного уравнения [т,е. при р = 0), что нами уже найдено, и какого-либо частного решения неоднородного уравнения, Необходимое решение будем строить следующим образом. В силу принципа суперпозиции интересующее нас частное решение будет представлять собой вещественную часть соответствующего частного решения следующего уравнения: тпх + Их+ Их = р[совогг+ ге)погг) = рехр[гыг), разыскивая решение этого уравнения в виде х = хо ехр[гыг), 9 39.

КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 173 находим хо = р = р(а — 1Ь), (И вЂ” тпшг) + ЬИш г Иш а=, Ь= р, г)г + Иг,„г ' (у, г)г + Иг„г Отсюда следует, что Ке х = Ве р(а — 1Ь) (сов юг+ 1 в1п ыг ) = р(а сов ы1+ Ь в1 и ыг ) = А сов(ыг — а ), где Им а = агсвк ГП1О 2 Полученное выражение для амплитуды емнулсденимх колебаний А и для фазы о, рассматриваемые как функции частоты внешней силы 1о, называются соответственно амплипгудно-часгпотпой и фаза-часпготпой характеристиками линейного осциллятора.

Они изображены на рис. Ь9 в виде семейства кривых, где параметром Рис. 59 семейства является коэффициент демпфирования И. Амплитуда вынужденных колебаний принимает максимальное значение вблизи точки ы =,Й/т, т,е. когда частота внешней силы близка к частоте собственных колебаний. Это явление называется резонансом. 2. Функпия Грина.

Пусть внешняя сила, приложенная к осциллятору, зависит от времени произвольно: пгх+ Их+ /сх = Дг) Частное решение этого уравнения разыскиваем в виде гс х = / С(1 — т))(т) дг. о ГЛ. 1О. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 174 Подлежащая определению функция С(0) носит название функции Грина для рассматриваемого осциллятора. Говорят, что частное решение уравнения осциллятора в этом случае представляет собой свертку функции, выражающей зависимость внешней силы от времени, с функцией Грина осциллятора. Подставляя это решение в уравнение, найдем [тС(1 — г) + ЬС(1 — г) + 11С(1 — г)] дг+ о +тС(0)/(1) + [тпС(0) + АС(0)]/(1) = /(1).

Для того чтобы это соотношение выполнялось тождественно, до- статочно положить гпС+ АС+ lсС = О, С(0) = О, С(0) = 1/т. Таким образом, функция Грина является решением начальной задачи Коши для однородного уравнения и в случае 47от > 67 имеет вид 1 / )о 62 С(В) = — ехр[-ЬВ/(2т)]в(пйд й = ПВ ~ т 4 то В результате частное решение при произвольном неоднородном члене имеет вид 1 Г1 х = — / ехр[ — Ц1 — т)/(2т)][в1пй(1 — г)]/(г) дг. "1М ./о О 40. Колебательиые системы произвольного числа степеней свободы 1. Классификация линейных сил. Рассмотрим механическую систему со стационарными связями ддТ дТ вЂ” — — — (1=1,...,п), йдд; дд; где 1у1(д, у) — обобщенные силы.

А Пусть д;=0 — положение раввовесия этой системы, Как и в случае исследования устойчивости положения равновесия, движение в его окрестности можно изучать, осуществив линеаризацию системы, полагая у1 и у; малыми: 1 .. 1т Т = — ~~ а,. (у)у;д — ~ а1. (0)дод., 1у1 = — ~ Обу — ~~~ с1 у . 'е ЛО.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЪ| !75 Тогда уравнения движения могут быть записаны в следующей матричной форме: Ад+ Ву + Су = О, где А = 1а; 10)) — симметрическая, положительно определенная матрица кинетической энергии, В = (6| ) — матрица скоростных сил произвольного вида, С = 1с, ) — также произвольного вида матрица позиционных сил.

Произвольная матрица скоростных сил В может быть единственным образом разложена в сумму симметрической и кососимметрической матриц; В=Р+Г, РТ=Р, Г" = — Г. Силы Ру называются диссипативными, если квадратичная фор- ма у Рд > О, и они называются силами с полной диссилацией, 7 если а Рв > О для любого в ф О. Функция гс = утРу(2 называется т диссипативнай функцией Релел. Диссипативные силы связаны с ней так: Ру = дгс/ддц Силы Гд называются гироскопическими и они обладают следу- ющими основными свойствами, Свойство 1, Мощность гироскопических сил в любом движении равна нулю: И' = дтГтв = О. Действительно, И' = (д~Гд) = -д~Гд = — Иг, но Иг — скаляр и он равен себе обратному только, если И' = О.

Свойство 2. Гироскопические силы имеют обобщенный потен- циал д д|г дУ Гд= — — — —, д| ду ду' Действительно, нетрудно проверить, что роль потенциала играет следующая билинейная форма: 1 т 1'1у, д) = -утгу. Свойство 3 (без доказательства). Подходящим ортогональным преобразованием обобщенных координат матрица Г может быть приведена к следующей канонической форме. )) Ог МТГМ = Пг О ГЛ, |О.

МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 176 По главной диагонали этой блочной матрицы стоят двумерные блоки или нули. Вне главной диагонали — нули. Свойство 4. дел Г ) О, если п — четное, и бе| Г = О, если п — нечетное (следует из предыдущего свойства). Последние два свойства относятся и к вводимой ниже кососимметрической матрице ЛГ. Произвольная матрица позиционных сил С также единственным способом разлагается в сумму симметрической и кососимметрической частей: С = К + Лг, Кт = К, Мт = — АГ. Силы Кд называются потенциальммми или консервативными. Они обладают следующими основными свойствами.

Свойство 5. Консервативные силы обладают потенциалом. ди Кд= —, дд ' где У = дтКд/2. Это свойство ранее нами было положено в основу определения потенциальных сил. Свойство 6. Работа консервативных сил по любому замкнутому контуру в конфигурационном пространстве равна нулю: ~ К;,4|д0, =О Это свойство немедленно следует из предыдущего.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее