Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 20

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 20 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 20 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 20 - страница

Если этого нет, то единственная дуга большого круга, проходящая 120 ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ через мих, обращает в минимум интеграл представляющий собой при гл = 1 длину этой дуги. 5 26. Понятие первого интеграла Рассмотрим автономную динамическую систему общего вида: х; = Р(хн...,х„), 1= 1,...,п. Правые части определены в некоторой области Р С Л". Скалярная функция С(хы..., х„), ме являющаяся тождествеммо константой, определенная в той же области Р, что и рассматриваемая система, называется глобальным первым иишегролом или просто первым интегралом этой системы, если ома остается постоянной вдоль любого решения этой системы: С[х1(1),, х„(1)] = сопзс.

Если функция С(х) дифферемцируемая, то необходимым и достаточмым условием первого интеграла является следующее тождество: дС е — Р)(хн ..., х„) = О. дх; 1 Если скалярная фумкция С(х) удовлетворяет условию первого интеграла, мо определена в подобласти области 1л, то ома называется локальным первым интегралом. Если правые части системы х = г(х) дифферемцируемы, то в окрестности любой меособой точки х', т.е. такой, что Е(х') ф О, система имеет п — 1 функционально независимых локальных первых интегралов. Глобальный первый интеграл, даже один, существует лишь в исключительных случаях и представляет собой интерес в мехамике.

Ом позволяет полностью расслоить фазовое пространство ма интегральные многообразия меньшей размерности, Пример. Механическая система х = у, у = — х, описывающая движемие линейного одмомермого осциллятора, имеет глобальный первый интеграл С(х,у) =х~+у . И система, и функция х~+ уз определены во всей фазовой плоскости Н~. Система х = х, у = у имеет локальный первый имтеграл С(х, у) = у/х, определенный всюду за исключением прямой х = О. Глобальных первых интегралов у этой системы мет. '2 2П ПЕРВЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ 121 Определение первого интеграла в случае неавтономной системы й; = Р|(|, хп, т„), | = 1,, п, сводится к приведенному выше определению формальным сведением к автономной системе добавлением еще одного уравнения | = 1.

Первым интегралом неавтономной системы будет скалярная функция О(|, хп, х„), удовлетворяющая всем укаэанным выше условиям. В частности, в случае дифференцируемости этой функции должно выполняться тождество д0 дС к,а — +~ — г| йи. д|, дх| ! В случае системы уравнений второго порядка, какими и являются уравнения Лагранжа, первым интегралом будет называться скалярная функция С(|, д, д), определенная там же, где определена кинетическая энергия и обобщенные силы, и постоянная вдоль любых траекторий системы. Механическая система называется интегрируемой, если она имеет глобальный первый интеграл.

Пример. Система х + х + х = 0 неинтегрируема, поскольку глобального первого интеграла у нее не существует. Заметим, что решение ее тем не менее выписывается беэ труда й 27. Первые интегралы лагранжевых систем Рассмотрим уравнения Лагранжа с потенциальными силами. Умножая их на д; и суммируя по г, получаем следующее скалярное соотношение: к которое можно переписать в форме 2 ~ — (к| —.) — к; — — к,— ~ =а. к Поскольку и', дх.

2 /дЕ . дЕ .. — ~(2,7 у) = — +~ ~ — у|+ —.у й ' ' д|; |,ду|' ду| то последнее соотношение переписывается в виде вэак 233 222 ГЛ.6, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ Если функция Лагранжа от времени не зависит, т.е. дЕ/д1 = О, то из записанного равенства следует первый интеграл х .дь у,—, — Е = сопзц ' ду< Этот интеграл носит название обобщенного интеграла энергии, или интеграла Пенлеве-Якоби. Выясним структуру этого интеграла, учитывая, что 1~ Е = — 7 абу;у', +,~ 6 у + Те + У. 2' Подставляя зто выражение в полученное выражение для интеграла Пенлеве — Якоби, находим: 1~ абу2у — Та — У = Т2 — То — П = сопзк 2 "-, 1 у Или, используя обозначения для потенциальной энергии П = — У: Т2 — Тд + П = сопзц Заметим, что полная энергия Е = Т2+ Т1 + Те+ П в общем случае не сохраняется.

Механическая система называется консервагпиеной, если выполнены следующие условия: 1) параметризация стационарна, т.е. дй/д1 = О; 2) силы потенциальны: 1у; = д1Г/ду;; 3) потенциал У от времени явно не зависит; дУ/д1 = О. Если система консервативна, то Т, = Те = О и обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией Т2 + П = сопзс и выражает тем самым закон сохранения полной энергии в консервативных механических системах. Еще один распространенный в механике тип первых интегралов составляют так называемые циклические интегралы. Они имеют место тогда, когда функция Лагранжа .С(1, ум, у„, ум ..., у„) не зависит от некоторых координат: р+м ..., у„.

В этом случае уравнения Лагранжа приобретают вид д дЕ дŠ— — — — =О, 1= 1,,1, о1 дь ду< — — =О, 1=!+1,,п. д дб о'1 ду, ~ 27. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ 123 Из последних и — ! уравнений следует и — ! первых интегралов дЕ/дд1 = сопзС (! = 1+ 1,, п), Сами переменные, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называются циклическими. Знание первых иитегрвлов позволяет понизить порядок системы, т.е. продвинуться в деле нахождения решения системы в явном виде. Пример. Эллиптический маятник (рис. 46). Лагранжиан этой системы имеет вид т с = — [(х + 1у сов 1е) 2 + !2 1в2 Ипт 1в] + тд1 сов ев. 2 Система консервативна, поэтому имеет интеграл энергии 2 Е = — (в~+ 21э1есов ее+ 1~1е~) — тпд1сов ее = сопев.

2 Кроме того, координата х является циклической, поскольку явно в выражение для ь ве входит. Поэтому в системе есть еще и циклический интеграл дŠ—. = т(й+1фсову) = сопз1. дх рассматривая два последних соотношения в качестве уравнений для нахождения х(1) и ~р(1), можно исключить из пих х и свести задачу к одному уравнению относительно ~р, из которого ~р(1) находится посредством вычисления имтеграла, т.е., как принято говорить, задача сводится к квадратуре.

Следует иметь ввиду, что уменьшение РЩ порядка при помощи первых интегралов ! приводит, как правило, к системе уравне- Рис. 46 ний, неэквивалентной исходной. Например, задачу о прямолинейном падении материальной точки в однородном поле тяжести можно решать, исходя из уравнения Ньютона у = -д при начальных условиях у(0) = 11, у(0) = О, что приводит к единственному решению: у = !е — д12/2. Если же воспользоваться в этой задаче интегралом энергии у /2+ду = сопИ и рассматривать его как дифференциальное уравнение, из которого можно найти у(1) при тех же начальных условиях, то решений получается бесконечно много: 12З ГЛ.б. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ где Гз — произвольно.

При гз — — О получается правильное решение. Построение точного решения, или понижение порядка системы — не единственная цель поиска первого интеграла. Глобальные первые интегралы выражают обычно некоторые законы сохранения, представляющие самостоятельный интерес, как содержательный физический факт Установление таких законов бывает интересным даже тогда, когда общее решение задачи известно.

В этой ситуации представляет интерес следующий прием. Пусть х; = Гг(хг,,х„), г'=1,, и, — изучаемая система. Пусть общее решение ее есть гг~(1, хг, ..., хи), где хг,..., х„— начальные условия, т.е. др г дг Тогда, если существует и не сводитси к константе выражение 1 Гт г(хг, ..., х„) = Йгп — / С(~рг(т, хг, ..., х„), т Т) ... р (т, хг,..., х )] гзт, то оно является первым интегралом исходной системы. При этом С(уг,..., р„) — произвольная функция. Пример У системы х = у, у = — х имеется общее решение рг — — хсозГ+уяп1, игз — — — хяпГ+усоз1 (х и у в нем — начальные условия). Выбор функции С(уг, рз) для вычисления первого интеграла не ограничивается ничем, кроме возможности вычисления соответствУющего пРедела.

Возьмем, к пРимеРУ, 6(Рг, 1Рз) = )~Рг(, тогда 1 Гт 2 г (х, у) = !пп — / )х соз т+ у яп т) дт = — угхз + уз —.. т~, гг т е. получен интеграл энергии. Доказательство сформулированного общего приема вычисления первого интеграла осуществляется прямой подстановкой решения х, = 1з,(1, Сг,, С„) в фУнкцию Г'(х).

ПРи этом пРиходитсЯ Рассматривать выражения рз(т, рг(г, Сг, ..., С„), ..., Уг„(г, Сг,..., С„)), которые, в силу группового свойства решений автономной системы 5 28. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА 125 дифференциальных уравнений (см. 548), сводятся к выражениям ч11(т+1,С,,, С„). Поэтому г'[У1(1, С1,..., С„),..., У„(1, С1,..., С„)] = — !пп — / С(у11(1+ г, С1, ..., С„),..., 1о„(1+ г, С1, ..., С„)]дг = т Т/ поскольку вычисление предела при Т -+ со не зависит от начальной точки интегрирования Глава 7.

Уравнении Рауса з 28. Преобразования Лежандра Переход от уравнений Лагранжа д(дТ(ду)(й — дТ(ду = 1„1 к уравнениям Рауса осуществляется при помощи специальной замены фазовых переменных, для введения которой рассмотрим некоторый особый класс преобразований, называемых преобразованиями Лежандра, или потенциальными преобразованиями. Пусть от некоторых переменных х1,..., х„осуществляется переход к другим переменным у1, ..., у„по формулам у1 = 11(х1,, хп), Уп = Уп(Х1, Хп). Это преобразование переменных называется преобразованием Лежандра, если его правая часть имеет потенциал, т.е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее