Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными

И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 58

DJVU-файл И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 58 Уравнения математической физики (УМФ) (2678): Лекции - 4 семестрИ.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 58 (2678) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 58 - страница

= — и . и и .. хх, и л. ! лхй !х лхлл гг в лгобой оолзстя 0', солсржагценся в 0 вместе со своей границей. 5. Покажем теперь, ло а" можгю так лоопрслслить во всей области 0, что полу ~епное семейство (и"[ булет рзвномеряо о~ рзп1гчеяо и равносгсяенно непрерывно я любой оолзсгп 6, солержацшйся я 6 ил|ветс со своей границей, Для етого рззобгелг кажный квалрзт се~ни нз лвз треугольника лпш опалькч параллельной прямой ! — - х. В кажа лм таком зрсугольникс положим л" рзшюй лгшсйной фушояш, которая я всршнязк трсуголгникз прннпг1аст рзяс, гшре:шлснные знз шшш и".

Легко яиц гь, по тш, шю|роешыя фу~нс1ны и ' и чйх',я ян~з в 0л„, и внуз (эн Грс) гол! ~я~из и из его сторо шх ~ с гкьксг прнгшзгзть значений, болшипь плн мсньншх, Збб дополнение чем ее значения в вергиинах треу<ольию<з. В то <кзх О, не прнналлев<а<цих Ожн <рункцню ин доопрсделии нр<лыьолю ым обрззом, лянь бы онз была псг<рерывной н о< рани.<виной ь О. Из равномерной ограниче<ичости и" «и н Оа слсл<уег, а то для узловых точек (г, л:), принадлежа<них 6", '(ин(6 х-! Ь„) — ин(<, х)!:-. Куг„ и" (К л ) — и" (! — Р«н х) ( .-с-. К<<„, где К не зависит от л. Достато ию показать р«вностспсииую неир<рывность функ- ций ин внутри прямо)толь»яка <<, принадлежа<цсго 6, со сго- ронвьн<, параллсльныип коорли;<етним осик<, т: к кан л обую об«асть Он, не<кап<у ю в 6 и<месте со сво«з < рзнюый, аннкно покрыть коне <иым числом прнмоуголю<иков такого вид«.

для двух узловых го'<ск (<,. х,) и ()„, х,,) нз <2 писем ',и (!, х )--и (г, л,) ~ == 2К ! (1< — (,) -(. (х — л,< . Пусть (го х ) и (г„, л ) лизбые го'<кн пз с«, з «<, х ) и (г„х,) — узлозню точки, ближзй<иис со<иве<с<венин к ()ы л,) и (у„х,,).

В силу огределсюы фуинии<и и'" ири л достагочно болыыих ! и" (г;, х,) — ин((„х<) ) ~ 2Уб<<н (<'= — (, 2). ! )оэ<омУ, если л досгзто ино велико, (и ()<, х) и (у. х,)(-<-(и (у„х.,) — ин(Г, х)! .) -<-(ин(Г,, х,) — -ин((ы х„.')( ==4К2<н+2Ктl ()',-- „)< . <х. х',, (б )2) Из неравенства (6,42) и разно«ериой непрерывности ка.кд<тй из функцг<й ин в 6» следует равносгспгли<ая нспрерыююсть функ- ций и" в 6 н, следовательно, в 6».

Применяя теорему Ариеля, получим, что из семейства функций и"' можно выорать под<юследовзтельносгь, равно- мерно схогипцук<ся н 6». Точ<ю так же показываем, пользуя<в доказанной раисе раьнюмер<юй огргоиюсююстыо и.'., и, и.. в и', и', и' Р <2 « что кюкдую из функций и. ил' можно доонределигь во всей х 2 42] гсштниг пеевой к!лавой зачлчи 361 Т! Т! ил й, й '...,,и (7,42) такую, что г!Олиослслпнательнс!Сти (и ) и (й, ) равномерно !!с я!! 7 схОлвтсв н 6м и т. л.. Рассмотрим послецовагельность функций Фл Легко ниле!ь, что втз послепоязтельность и послсловзгсль- М ' И! ности (й ) и !и' ) скопятся в каждой точке области 6 и притом равномерно во всякой облас!и 6з, ко!орзя вместе со он:сй грзюгцей принадлежит 6. Обозна гим прслслы в 6 псТ- лз ы ы СЛСЛОВЗТ!.ЛЬНОСГСЙ (и ), (й ) И (й' ) СООТН! ТСТВСННО ЧСРСЗ 6(6х), Г((,х) н (7(т', х).

Пока!кем, но д(7 — - сТ(7 = д!(1 — — (.! — — (l ! — — (7 с)! ' дх ' дх' (2,42) Пусть Точка ((„х) п ((„х) явля!отсн узловыми и!ч! ами сет ьп нрп цос ! ато и!о малых (ггн (, — - гт =-:- (,(гйх и гн рс ок области 6 так, что ссмсйсзна функций (и') и (й") оулут рагнюмер!ю ограююены и рзнностепеино непрерывны в 6". ((онтому, пользуясь теоремой Лр!!сия, ьюжно из л!Обого бесконс юого множсс!На функций й' выбрать равнот!ерно схоляпгуюся в 6" иоциоследовазслюц!сть (и" ) таку!о, что соотнсзстпуюгцие ей последовательности (и') и (и') также схолвтся равномерно в 6гз. Пусть послслопзтель!юсгь оолзстей 6„, Такова, что 6„,г: 6„, + „ 6 = 6 и 6 вместе со своей границей г!рппнл сажи.! 6. Вг,!берст! из (и") равномерно скола!цу!ося в 6, послсловзтел1,ность й'', й,..., й',...

так)!О, !то Нос!!е!сом М нз!Сльност! (й ) н (й, ) та!Оке равномерно схолятсн в 6,. ! Из псследовзтелгн!ости !и ') выберем равномерно сходягцуюся !й н б. поди!!Слсдовательность дополнгнив прямой, их соединяющий, прннвдлежит О. Тогда и — ! и'г(1 х) — и"'(г -) =- Ч~Р гл(/ — гй х)/г г=* = Х (/(/, — г/ггы х) й +вы (10,42) где вь стремится к пул10 при /г — > оо, тзк кзк последовв" тсльность и. рвяномерпо сходится к (/.

Переходя в равенстве (10,42) к пределу прн /г — со, получим (/(1„ х) — (/(гы х) =- ~ (/ Й. (11,42) Тзк как узловыс точки образуют всюду плотное множество в й н фугпсцнп С/(!, х) к (/(/, х) непрерывны в С/, то равенство (11,42) саряведлаво для любых точек (/„х) и (/м х), сели отрезок, их соедиюпОнгий, принвдлежит (). Поэтому д// дг —. —.

(/ всюду в С/. Точно гвк же поквзывасм, что д(/ — — ОИ(. х, 'д(/!/,х,) 7-2 -' =О ' — ' — —,' — '=~Одх, дх дк дх дзЦ если точки (1, х,) и (/„х,) арипвдлежзг С/, т. е. —. =(/ в О. с1~' таким образом, мы аоквзалп, мо предельная функция (/(г, х) д(/ дЧ/' д(/ д-0 имеет производные . — и , п — = †. во всех точках абдт дх' си дх' ласти 6. 6. Изучим теперь вгведюгис предельных знвчений функции 1/(г, х) нв границе Г области О. Лемма 1.

Пусть точка Л с координатати (г„, х,) лгзкилг на нитгнгт основании (г = г,) криволинейного гстмрехугольники О. Тогда 1пп 0(г, х) =/(А). к,п -,л о,а са До к а з а т е л ь с т в о. Рвссмотрим $ункц~ио то = (х — х,)'+ 3 (г — г,). 42) Ггпгенпа ПК1ПО11 Гл ЛГПОй ЗЛЛЛЧИ 333 ()о всех то1ках б+ Г, отли И1ых от А, тк(С х) >О. ЛВ1ко 1фоесгл1ть, что Пусть е > 0 — ~ ропзпол1нюг. малое число. Обозначим через 11 ~толь мал)ко 11крсстпость то1ки А, 1го,',гл — у (А)1="' а для з11ачснпй /„по Всех узлоаых гочках Гл, п1члиналлсгкз111их Ы., 1йн1 ЛОС1 атО П1О МИЛЬ1Х 11. Пуе ГЬ ООСТОКИИИК С ТККГ'Ва, :1го С-.и >2 и',ах)у ~ но Всех точках б+Т, |с прнналлсгка- Г кйих 1) .

1)уггем рассматрппать функпиго и' только В узлоаых точках бгг . У)сГко 1кгказзт ь. Кз О В у'злах бгм у(,1) — е — Сто(г, х) =.: и" (г, х) х-.:у (Л)+а +Стн(1, х). (12 42) .1(сгйстгигтсльис, функгьпи и — -у'1Л) — е — Сгн — и" и ф.= — — у (Л) —  — — Саг-1-и" ! 11еиолоткптсл Ь~1ы Во Вс 'х ) злоьых т О'и ах 1 а В Оглу Определе ния 1) и иыбг ра нос1Т1ьниой С. ТВ1.

как Х. (1а) >б и Е(ф) ~ го, го фгньниг л и 1 прнннльоо1 иаим«с1ьн1ее зна кние иа )л Слслоаательно, во ас х узлоньгх точках бл„функции и к (г иссолохгпг11лы1ь1 и нсрансистна (12,42) итгеют место во Всех 1'ри1 лл111 кгап111х 1'.сли то п.а ~",, х) ггалг1счси узловой точкой бл„, начиная 1' нско1О1юго и, 1о, 11срехоля к пределу и Втой то1ке В ие)м1нс1сзаах (12,42), полу им ,у(Л) — е.— ело гк «/(С х).=.=у(А)+а-11-Сгл. 113,42) Так как миогкество то1ек, которые явлгпотся узлоаызи1 танк,1м1 бл..

Иа юная с нскот1 ро1о и, искру пл1 тио и б и функигп1 Ь (1, х) нспрсргякнз В б, то иерааенстиа (13,42) нысгог 11ес1о во всех го1кгь б. Слслояатсльпо, Т(.1)--е==' 1)гп б(1, х)=.::. !)гп бб, х', =у(Л)+а. Г1, О»/ '1'а~;. как е '. 1) нрг)пм1ольио, 1о 11И1 б11, х) ===,'(Л), 1гс и (1,х~ г л т)эеооиагкгсь ло11ыаГь, дополнения .1(еыыз '2. Иуглгь точка Л с координотани (/„х,) леькит на боковой стороне крььволиней)ново четырехугольника 00 Уагда 11о Ц(1 х) — у(Л) сульгтв~вует д'Уньеьиы (~, х) (барьер), бл, д „, следуьвиьильи гвоиствпщи: (1, х) определено и негу ерывно в вгех глоигпх игл ресененин сг+ Г с некотврои оьсреслгностьк> Л, длн которых 1=-: 1 . У)гделг Обознбввяь льнонгегтлво точек, еде олределена пьп генея 1)л.

9 о (Л) = — 0 и Р, (г х) ~ 0 ва всех lлбикпх гу олг точных вт Л. 3, 1. (о) =.=0 во всеь етоьовых тонких Оь,„лрпнагулеькаьних Ял, лри достаточно болтиих п. До к а з я г ел яство. Пусть точка Л с коорщщзтзми (Го х,) лежит нз кРпвой х=-=е(, (С) Выбсоем к >0 настою «о вялым, чтобы облзсть О,, огрзнн ~синяя прямычп 1.—.—.г'„г'==- ==! — и, х=-= х, +з в кригой х= и, (1), сойер,кщщсь в 1)л. 1 11усть в .> 0 — произвольное малое щсло, Обозпзчпм ~срез () столь мелую окресгносзь ~о ноь Л, что ~Уь — У(Л)( ." (14,42) лля знзченнй у, во всех узловых точках Гго прииадлеяюпоцс 11, при достзточно ьылых )ь Пусть пос1оянпвя С, тщ,сзз что С ол) 2 щзх (л ( во всехточкзх В„пе прпнздлехсвщпх (1 . Квк в в предыдущей лемме, получяем, что во всех узловых ~очквх 0„прянздлежащпх ГУ„, при достзточно больщом а Й' У(4 в бо в б(Л)+ +С о (10 О~сюдз, переходя к пределу при и — со, с помощью тех же рзссуждсщ;й, что и в лемме 1, получзем, что )йп Оь(1, х) =У(Л).

(16,42) пко из нерзвенств (15,42) следует, что нзйдется такзя ок1лсгность (1 точки Л, то во всех узловых точкзх 0)в„прщнщ лежщ щх гу, !и" (', х)-- У140 2в (17,12) если ь =.=1,. Можно счигщь, 1т~ 11 принвдлежвт ()к 42) Ген!ение псгвон кваквой злил'ги 865 Рзссмотрни фупкцпго то.— (х — х,)х+ 3(г — - у,).

П)сгь гюстшшшш С, гзкова, что Сли) 2 т.гх !/ ~ во нссх го ках Сг, г ггс иршшллс кзнгих гг и расгщ. ожсгшых нышс прямой — — . х, гдс о) О и досгагочно мало. !Йак н и пггелы,гугцсй лемме, легко усганОвггть, что во всех узловых то гках Огы, располохгьчгнгэх выгпг: ггрямой =-1, — Йг„, при достаточно малых Й, имщот место неравенства г" (А) — За — Схса = и" =,г (А) + Зе + Сгто. (18,42) Рассмотрим вля этого узловьге точки, для которых 1' г, — Йа, Обозна шм их Н„.

Докажем, что ггсравснство (18,42) кыгголиястся в узловых то'гках Нги пргшаллежащих Г„, и узлах Н самого нижнего ряда. „!(гггг узлов, лсгггзггзггх вне гг, эти неравснсгна вьпюлггпотся прп достаточно бгльшом гг в силу выбора С,. г(лв узлов, пряналлслгаишх (), эти неравенства г:ыполняготся в силу неравенств (14,42) и (17,42), если только в этих ) злах ы ) О. Если жс в рассмагриввемои узложгй то гке из 1) фунггцгггг о(О, то неравенства (18,42) выполнягогсв при лог гагочно большом п в силу того, что Сто) — а прн 1) 1, — Йт если )г„ггост,гточггсг мало, и в силу неравенства (1г,42).

'Егг кек Й (го) с О, то, к,гк и и предыдущей лемме, уста* пангн веем, что ггсранснства (18,42) справедливы во всех без иск гкштшв точках Нгс Из згпх неравенств с помощью тех жс рассуждений, что и в прслылущей лемме, получаем !гп (г'(1, х) = — У(А). (19,42) гг. ы-х т гт: Ь Из (18г,42) и (19,42) следует утвсрнгдсгше леммы для точек А, распологксггггых г~ г'рггиой х=-гу (1). Лля точек А прпнадлсгкаищх крггвоп х.=е(, (г), доказательство аналогично. '!' соре и а.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее