Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными

И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 34

DJVU-файл И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 34 Уравнения математической физики (УМФ) (2678): Лекции - 4 семестрИ.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 34 (2678) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

э' 20). Повторяя рзссумдсния я 20, находим последовательности собственных значений и нормированных собственных функций первого и второго уравнений и'хз /2 . лх и = —, Х, (Х) =- г1,': — Я1П вЂ”.Х; » — У а гл" х' ./2 — 1'„(у) = 1' — в1п — у; (л, гл= 1, 2,...). Согласно лемме система функций 2 п„„,(х, У) =- —;. —.-в)п у аз а ь (11,25) есть полнзи сисгсзгя оргогонзиьных и нора ировзнпых рснзений уравнения (5,25) 'для примоу. зн инка 0 х =-" а, 0:.у ..Ь 220 ггн!е аоличгскнг. зтхвню!ия «гл. и пря крзсвом условии (3,25) (здесь У„ («!) =-- г' (у) для гно. бого л).

1(аждой функции м, (х, у) соотвстсгнуст собственное значение Т„= — и' ~ —,,+ —.1«. Очевидно, что если числа а и Ь соизмеримы, мы моя<ел! получать одно н то нсе ) при различном выборе л и лг, т. е. при различных собственных функциях. Таким образом, мы имеем здесь пример кратных собственных значений. Вопрос о разложении начзльных данных в ряд по функциям (11,25) есзь хорошо изученный вопрос о разложении функции в двойной ряд Фурье по синусам. Если начальные данные после нечетного продолжения по х н по у на прямоугольник ! х ) ~ а, )у ) ( Ь н периодического продолжения па вло плоскость представляют собой четырежды неирерывно дифференцируемые функции, то коэффициенты разложений (гц25) достаточно быстро стремятся к нулю для того, чтобы ряд (7,25) допускал двукратное дифференцирование.

Таким образом, в этом случае метод Фурье для решения данной зада !и является полностью обоснованным. М!а видим, что произвольное колебание мембраны так же, как и колебание струны, может быть иредставлено как нало!кение ряда врос! ых, так называемь!х !!собсглвенныхз!, колебаний, соответсгвующих собственныл! значениям Х„,„. !)ре!тставляют интерес кузлоаые линиия таких колебаний, т. е. линии, вдоль которых обращается в нуль собственная функция, соответствую«цая данному собственному значению. Рассмотрим эти линии в случае прямоугольной мембраны. Если дюшое собственное значение нс является кратным, т. с.

если ему соответствует овна собственная функция 2 — — з!и: х зп.' ' «/, Тад а Ь то узлоныс линия будут просто отрезками нрямых, парзллельщзх сторонам прямоугольника. Если же собственное значение кра.!но, то различным комбинациям принадлежащих ему собственных функций соответствуют различные узловые линии, н форма их может быть весьма разнообразной. На ириводн. и!и! ниже рнс 11 изоб«ажш!г4 узловис линни квадратной мембраны со стороной единичной длины для значений ),.=--.5и*, ~ 25! ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЬэЕЫВВАНЫ 10п', 1Зп", 17п'. Под чертежами узловых лгпо1й указаны соответствующие собствеипыс функпни.

Д »»».Г» ау+ »»па» З и».3л ыу -' в .м»»у - »»»»,у Я=/ми »ы»» ау З ,»»»»а»РУ»»»„»»»»»З »у т. »»»»у ,УГ -»»»выу .1-л»х»му нй»»в у Рнс. !!. 3. В качсствс второго примера рассмотрим круглуэо мембрану. 7!ля сс исследования естественно записать уравнение !5,25) в полярных координатах. !1оложив к= рсоа~у, у =рз!и у, ~о~у~и~ д'о 1 до ! д'о ду !»» дт» —., + -- — + -» —,'+Ы вЂ”.О.

Если пснтр круга 7э, совпадающего с положением равновесия мембраны, поместить в начале координат, а радиус зтого круга для простоты положить равным единице, го граненое (гл. и гнпегволическиь увлвн> ння услов«с (3,25) за>шшс>ся в виде о(1, а) =-О. Применяя метод раздела>ия и рсмс«пых, полол>им п(р, р) --: >с(р) Ф()а), откуда, прсн>ведя полстановку и разделив «ерсменпыс, получим обыкновенные дифференциальные уравнения для )с(р) и Ф(р): >!>" (4) + аф (а) =- О, (13,25) р>>>с"'(р) +(>Я'(р) +()р' — и) )>> =О. (14,25) Для решений уравнен>ш (13,25) мы ио физическому смыслу залачи получаем условие периодичности; нас интересуют только решения, имеющие период 2п.

Такие решения существуют «ри а.=О, 1', 2',..., и', Для этих значений а <!>„(р) = Л, соа т>х + с>х а(п ие>. Мь> можем выбр;ыь ш>лную систему ортогонлльных и норми» ровашлых на окружности фу«кпий Ф (ч>), например, так: Ф„; — — —; Ф„(р) = ~/ — сов и:р; Ф„(у) = )л' — а(п и>р. Вернемся к уран«сиво (14.25). После подстановки значения а .=-: их и заме«ы независимого перемен«ого р, =р 1'1 мы «олу >асм уравнение Бессели и го «орялка р'-,'>~-(, ) 1 р Щ (р ) 1. („' его елинственным (с >оч«остью до постоянного множителя) рс>«синем, отрави>снтт «ри р, О (т.

е, при р — О), будет >)>у«кипя Бесселя и >о ««рядка первого рода .>'„(р,) "), '> ~.'и., на«ример, В. В. С >е и а нов, Курс лнффере«и«альных уравнений, >л. х(, й 2, и. 2, с>р. 230, Фнпы>гиз, 1359. $ 25) науч!'ниг колвнлний мг мвглпы 223 Известно, что при любом и фупющя .7„(х) имеет оесчпслснпоь множество ~юлино!Тслыпях корпси й,, )А~ ..., р~,", ..., .

", 2„0ь~,")=-О. Известно, кроме гого, что прн любом фпксирпваняом л функцки ./,0г~ ~х) (гл = 1, 2,... ) ортогональпы мснсву обпй с несом х на кнтервалс (О,1) и образуют полную щгютсму ортогопальпых функций на эхом интервале: ~ х,/„()хг,;х)./„~р,,'„"'х)с(х — — 0 при т чь тп Фенкции 2 (сй (а„н (х) =- — — — — '— — — —— н Ы1 ) х 1./н Ги„х1Р Лх прп л1обом и образ)чот полную систему ортогональных и нормиронгпщых функций.

!1е привоая локазатсльстна этих фактов .), аамегпм, что опи юпгяются обобщением показанных в 9 22 своиств собственных функций на уравнения с более общимн коэффициентами, чем пренполагалось в этом параграфе. 1(ействительно, уравнение (14,25) может быть записано в виде (рЮ' — — ')2+ )<рд =-0, и мы пилим, ~то первый и послслнпй коэффициенты обращаются в пуль на овном копне отрезка (О,1), а — обращмгся на з1ом ко|ще в бесконечность. Б соответствии с згим, как можно показатгч лостаточно в качестве краевого услсвия задачи о собсгнщпгых значениях лля уравнения (14,25) при р †. — 0 брать условие ограниченности рсгпепяя, чтобы рвигенпе опрслслплось с точпос~ью до постоюпгого множителя, если при р =- 1 лапать какое нпбуль условке типа (2,22).

м Ом., напрпмср, Р. О. 1( уз ь м ни, Бесселевы функции, ОНТИ !915; Ь 11, Ч и х о и о н н А. уц С а и а рс к я ГЬ Уравнения ма~ематичсскьй фнзякгЬ Гостехнзлат, 1953, стр. 5вб — 919. (гл. и гюнд волические зч лвнщщя Потребуем, чтобы прп р.=-1 .Ул (4 ').р):=- О, т. е. чтобы ,к, ()у'),) =- (). вв во вв Мы видим, что если )г; ', р', , ..., )т~,,~, ... сеть последовательность нулей функции .lл(х), то собствсннымн зна ~ениями ). вящей задачи будут У.м = Ь"В)' а норьщрованнымп собственными фупкцияяи уравнения (14,25) будут фунщгни Й.м (р) =-- l„(р" р) ~/ ~ й Р„(я',вр))' г(е о П(зимания лемму и. 1, мы моягсы полу чнть полнуго систс му собственных фупьцл(1 ф. (р)Ф ((ь), ф„, (р)Ф.

(В уравнения (12,25) и лайз'и рещение наюсй задачи, разложив фугнщии ~у„(р, ~у) н е, (р, 'у) в ряды вида ~у, (р, ~у) = — ~з ~~~~ )с„,„,ф„(ф+с„„,ф,'(Д ф (р) 9,(р, у)= Х 2~ (у- (' И)+)лмФ„"Яб„,м(р). Уащожив члены первого ряда на соотвстствугощпс Тя(г), з ~лены второ~о ряда на соотвсгствугощие Тв (т) и сложив получившиеся рялы, мы полу пгя ряд (7,25), прсдставлгноцтий рси ение даюгой задачи. равномерная сходимость и возможность почлснного дифференцирования получившегося ряда будут, как обычно, иметь место при достзтонюй гладкости функций о,(р, о) и м,(р, ш), если они удовлегворякн ~ем я.е граничным условиям, каким должно удовзетворять цсколще решение уравнения (1,25), и еще целоторым дополнительным условиям на ~ренине круга. 2 261 спглен!п1 о созстаанных Фушсцнях ф 26. Дополнительные сведении о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений 1.

11се сказанное до сих пор относительно залаял о собственных значениях для уравнения (1,22) естественно переносится на аналогичную задачу для уравнении (р,и„) +(р,и.„)„— ди+1ри=О и уравнения (1,26) (р1их) х+ (ркин )г + (р,иг )т — ди + )ри = О (2,26) (3,26) или — +аи =О.

ди д Здесь — означает дифференцирование по янаправленню дп конормална, козорое в каждой точке границы определяется вектором (р, соз(л, х), р, соа(л, у)), гле соя (л, х), соя (и, у) явлюотся соответственно косинусами углов между направлением внешней нормали и осями Ох, Оу, а а есть некоторая нсозрицательная функция, определенная на границе б. Аналогично предыдущему определим собственные функции н собственные значения втой залачи. Построим функционалы тт(и) = ~ ~ ри'г1хду, О(и) = ) ) (р,ггх+р,и, +ии') г)хг(у 1а и.

Г. Пятроьскья в предположении, что функции рп нх производные и р непрерывны, а р, и р преносхоляг некоторые положительные постоянные. Будем искать решения уравнеш1я (1,26) в некотсрой конечной области О с кусочно гладкой границей Е, не равные тождестншню нулю и удовлетиоржошпе иа границе услоаюо пюг!еолпческю: !гав ьнпя (1л. и , .у !зс ьоаспо!о чачи! (3,2б) п Е>ч '(л) —.

!') (а) -!- (! бич г!!'= —.- =- ~ ", (р,а', + р,и,', + г!их) ь!х лгу+ ~ пи'Л я случае красы.! о исполня (4,26). Тога!! мы лю к ! смоя еч перенес!и па чигт сг!!чай Бес' теорема! О сзойсгнах:обсгнсн" и,!х функций и себе!асиных зна !гний, показанные а й' 22. Для а!ого случая имеют место, н чзсгпосжь теорема Курян ! з о зыксих!а, !ьно-кп!пима льном сяс йствс собстяююых функций и аь!гекаюптая нз нес зависимость собстае!нных зна!сьий от хоа,рфиггисп'!оа уравнения, от области ст и от красных условий.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее