Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными

И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 32

DJVU-файл И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 32 Уравнения математической физики (УМФ) (2678): Лекции - 4 семестрИ.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 32 (2678) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 32 - страница

0 в обегга частых равенства (4,24), мы полу гим Л' (х,) =- ~ б (х, х„) У(х) ох. (5„24) Предельная фу пгпия 11(х, х,) и является фуиммиеа Гриихг для урависпия (1,24). ;+гп псстрсгис рассуждения пе дгиот пока вол можиос ги ировеств топлое доказательство капова бы то ии было фа.- тов. Почтову апч определим фуи~гигио Грина иевавпсимо ог гредыдугдпх наводя~дик рассуз<деипИ и докажем, во-первых, с)птествогаиве такой фуикиии и„во-вторых, сч',раиедливость фоомулы (5 24) 1'аигиие чем дать точное сюредель не фуикиии 1 р иии выясним какими свобствамп дол.кои обладать пр=ггсл у',(х,х,1, сели втот предел суи~сс~ ьуст. Проиич сгрирус м по х тс,к.

лсство (3,24) после иодстгиговки 1',(х, ха) вместо г' в ирсдсллх от х — 8 до хь — 3 где г. ') с: . 5(ы иолу гвм Е а 2 ъ;,+а г~-1 " ((ру' (х, х„)1 — а1',(х, х,)) ух-.-- ( е' (х, х,)ох — -1. к — а х, в Первое слагаемое моиг~ о проинтегрировать в явной форме после чего ирелыду~дсе раис~ ство примет вил р1':(х, х,1 "— ) г11',(х, х,1Ых=- 1.

ьы " А,— г (гл. и гпньгьолнпсскпк вгсн п юю Лсю'гтнп здесь ззююность форпального иерею.да к среде,у прн е- 0 и фнкснровзнноп г, ии по;уннп рзвснсгьо р(х +с) Сг, (х, +о, х,1 — р(х„—. г) б, (х — — с, х,)— (' — а(х) 0(х, х,) Фх= ), сюювсдлннос прп юобом ~ ~ О. Йе(юйггя:сверь ь пределу нрп д О и нрсдполл и, ~3о р(х), д(х) н (х(х, хо) нспрсоь.н.,ые функппн ию, олуппи ранен«.:ао р( )(Ов(хо ( О' хц) .' ° ь 0' хз)) огкуда пплно, пзо прн сделююью предполюкеюпх иронзводньп (),(х, х ) функпгю Г(пюа по х долгкпа прп х-.=х, презс рпееать скзнок, ранний р ~ ) 2, Ггадпм ~еперь форпаль к с определение фупюпю )'рвиа длп урзвнс ню (),24) п докюксы с суюес,'возаппе. соункци и l ри:и для уравнения (),24) ари крассах условиях (2,24) низьжаеглся функция 0(х, в), оаределснная квадрааге 0--.

х..=.,У„Огг. в::=г' и усов.:;те рягяиая с.гедугоа~илг условиялс (2(х, в) гсак фгнкцин х аРа хта в негцниию.а вюесюе се гвоилги ароизводни.ии до вюороео аорядки склюиительвсо и удовсвс теорие и однородно.иу уравнениго с)р(з„(х„в)), — су(2(х, в) =-О. О)(0, в) =-6(г', в) = О. д . с'(х, в) яегреривна в каааргал- Р га х.-с /, О:. в.=-г', а гу, (х, в) кик фуюлсия огп х арегиераевзсги р.с;рин )-со роси со скавяолг — — - ири х--, и. е.

р Гв) 1 б,(в+СО в) — С)г (в .— О, в) -= — — (О <' в 2). р (в~ Г)рв доказательстве суюестпюгаюю такой фуккнпп иы прсдпг) .', юиц ло сузьО, так я1О 1:.=О пе яплзс~сн соосгаснпь!м Зн юю1неп у(эаннеюю ((ьт: ) — сЛ (-),;Х 0 и или'нытик опкпни ггииь 207 г~ргг краевых лсгвииях [2,24). (Ср. й 30 мигх г.г(скпзгг гю зсорщг обыкновенных лпффсрсгищальньгх ) рагпгсигН, ) 052.) Прп зточ прсггпгкгожг пии сущеслвозащге фущппщ Грина локк;ываг" ся просто ее пос гроснпем. 1(сйст игггс.аьн Н и,,: ь Л, ';х; сс ~ ь какое-то нетривиальное рщпснис урависщж (1,Х') — гЛ вЂ”. О, уловлг:творящщсе условию Л', (О) .- О, а Л',,(х) — негрпвпальное роше юс гхлгтг лгсс уравнен гы, уловлс ~ воряяпцес ус и щпо Хг (1) -=- О. В силу сдслагп~ого прспположегчгя рсгисиия Х (х) и Х (х) г линейно независимы. ).ели бы ам о гзггло нс тжс, о о э были бгя просто пропорциональны и каждое из нпл огигьзпылось бы в нуль прн х=О и х=-1, пе будучи равным итие толггдесгпснпо, что невозможно, так кзк г:-0 не сегь соб.

ствснное значенис. Положим Л (ь) Х, (х), 0 == х -= а, сг(х, а) =- ' (7,2)) Б (ь') ' 'г [х) ' Тоги;,а услщщя )" и 2г удовлетворя~отея при лгобом выборе Л(ь) и Б(а). Кыберслг теперь Л(а) в Б(а) так, побы уьгокггсгжгрялось условие 3". Из условия н прерывности б(х, ь) при х =. а имеем А (а) Х, (ь) =-. Б [а) Х. (ь)„ откуда А(ь).=-с(а) Л',(а), Б(ь) ="-с (л) Х, [ь). Потребуем, чтобы скачок произвогнгй в точке х=ь. пмсл ! задзшн с зззчснис — -,--: р (ь*) 6.„(ь — О, а)=.с(с)Х (в)Х,(а) (гх(а —,' — О, ь) ==с(а) Л', [а) Х,(ь) откуда получаем г с [ь) — -=— ,г,ьЛ [Хг гь) аг .ь г — Л, ы, Лг Г*)Л ' 205 глл~лвл'волллпгскпс кглллил вллл~ Знаменатель р (а)1Х, (а) Х, (а) — Х, (а) Л', (а) 11 пс зависит от а.

Дейст вллллпльилл, в кяадрал т й скобке с ~ опт оирсиелитель В)писково Л(Хо Л',л лииейио иезависллмык решепий Л', (а) в Л,(а). По ллзвсстиол) формуле м! й(Х,. Хя) =-- ау хиз Т вилял образом, суилсстлловаиллс фуикго п Грллиа ллоказаио. Из формулы (8,24) ллсиосрсллствсв~сл о и ллллплллл, ято фллнниин I рана л'илглг гхстллтпгл отнгтглтельна своих иргулггллтгловт Доллаялсгл теперь формулу (5,24) для рсгисппя Л (х) уравлиилллл~ 11,24), у,лллвлеыллгрялл илсю краевым «слолллляы (2,24).

1(оьагяем слгаяала, ято фуикцяя Х (х) =".— ~ 6(х, а)у (а),4а (9,24) удовлетворил уравпстлгп 11.24). 19 силу спямс гряя фуикция 1'ргилв функция, оирслсляемая формулой л9,24), совиалает с (5,24). Чтобы вьтястлгь Х'(х), прецставпя (9,24) в вяло Х (х);=.ь ) л)1х, а) г(а) гта+ ~ 6(х, а)/ (л) г)а, лл0 24) Дифференлгллруя это соотпогпсяис по х, гп лупим Л,,)=-.—. ( 6,'(х. а)у(л) '-', ~6',(-, а)у(л)гй+ 6 (х, х —. О) 7 (х л — 6 (х, х -', - О) / (х).

огкуцл свслл) ст посл ояис ~тл с(а). Фуякцяя 1'рипа имеет иозтому л 6 (х, а) ...;---,. Л',, (а) Л', (л) 6 (х, а) ="-. — --„и Л, (а) Л'. (х) л'ллем 0 =..: х .-- а, (8,24) при а е.-, х,./. 24) пгимянепия Фкнкцин ггннА В силу непрерьвностн функции Грющ итщсм Х'(х)= ~ 0 (х, з)У(г) гй-(- ~ 6,. (х, э)~(з)г!з.

(11,24) Дифференцируя (! 1,24) но х, полу ~им вырзжсннс для Х" (х) в виде Х" (х)= ) 6„., (х, г)/(г)т!л+ ~ 0,„(х, я)у"(з) гтя+ +0,(х, х — О)б(х) — 0,(х, х+О)у(х). Так кзк О,'(х+О, х) — 0„.(х — О, х)=-=, то 0„(х, х — О)— р (х) — 0 (х, х+0) = . Поэтому 1 р (х) ' Х" (х) =--. "0тк(х, г),К(з)пз+ " . (12 24) р (х) о Подставляя в уравнение (1,24) выражения лля Х, Х', Х", получим (рХ')' — г)Х=-= ~1(р(х) 0„'),'.— 40( (я) г!я+у(х) =у'(х), Из формы правой чисти рзнснствз (5,24) видно, что функция Х(х), определенная рзвснством (5,24), обращается в нуль при х = О и х =-- г.

Таким обрззом, формулз (5,24) лзст рсщсннс урзвнсния (1„24), улоилсгворя~ощсе условиям (2,24). В силу преллоложснпя г):- О такое рещение уравнения (1,24) единственно. 3. Покажем, кзк с помощью функция Грина для урзннсния (1,24) зщгачз о собствсинях знзчспияк, рассмотренная в предыдущих парзгрзфзх, снолптся к интегрзльному урлнненво, Для этого ззннщсм оснгапое уравнение (1,22) я виде (рХ') — лХ= — клХ (!3,24) и, полагая б(х) = †)рХ, применим к нему формулу (5,24). 14 и г.пежо.л и 21О гиню'ьоличьскик углянскня (гл.

и )Йы нол)" 1нм !эаиснство Х(а)+ ). ~ 0(х, я) р(х) Х(х) ~ух=:О, (14,24) прслс гзвлюощсе собой однс родное уравнение Фрсдгольма второго рода с сичмстриаусмым ялром и нарамегром ). Ядро уравнения (14,24) может быть симмегргиовано умножением равенства (14,24) на )' р(а). Тогда это уравнение превратится в уравнение с неизвестной функцией 1 р(а) Х(а) и симметрнчньщ ялром 0(х, а) )' р (х) р (з). В силу формулы (5,24) )равнение (13,24) вместе с краевымя условнямк Х(О) =Х(2) .= О и ураннснис (14,24) эквивалент«ы в том смысле, ч го каждое решение (13,24), обращакнцееся в нуль нрн х=-О и х= — (, яющется рс~пенксм уравнения (14,24) прн том же )., и обратно.

С лру~ ой стороны, для урзвисний видз (! 4,24) справедливы доказзнныс в ~ 22 теоремы о сувтсс~вованин собственных ана ~сияй и собственных функш1й, об оргогональности сис теьня согбс ~ ленных функций и теорема о разложимости (ср, например, хкю вЛсюили но ~сории интегральных уравнсняйл, 1осгсхнздаг, 1251, Я 11 — 14).

Отсюда прямо следуют теоремы о сущсс~вовании в оргшо~зльногпл собственных ф) нкцнй и теорема о разлолкимости, доказанные в 2 22. )1 раааа, лля доказательства разложимое гв функции,г(х) прнхолигся нри атом требовать непрерывность ее второй пр ллзводной, чтобы мояшо было прсдс гзяить се в виде (5,24) и применить теорему Гнльбер|з — Шмидта. Функшно Грина, скодящую решение лиффсренцизльиого уравнения к 1штсг!кллыюм)ц можно онрелслвгь и для других тинов краевых условий, а тзюьс для уравнений со мни~ими неззвисимыми переменными. Однако сс вффекгивкое выражснкс улав~си гбычно нолучить только лля весьма частных внз ж уравнений и красных условий.

4. С комощыо фу акции Грина можно дать обоснование мс.~ода Фурье рсшснкя смсгна~еой залечи лля уравнения (!.21) нри условиях (1,23), (2,23), нс опираясь на результаты С; 22 ))ля Шкютоты рзссхнырим уравненяе вила (19,23), гле р „ = !1, 4 .'.= О, и дохл;кем лля втш о уравнения ~гореву, формулированную в и. 1 Ь' 23. Рял (!2,21) лля етого 211 пгнменкннг. якпкцнн ггинл уравнения ямсст впд т Х (х) ( Л„соз ) ),,~+ —.~ — ' з(п ) 'к,г'), (1624) Злссь )и — собственныс значеияя, а Ха(х) — собственные функции уравнения (.

(Х)==(пХ')' — дХ = — — ),Х (16,24) с граничными условиямп (2,24). Существование собственных зиз ~опий и собствснных функций следует нз того, что уравнение (16,24) с условиями (2,24) зквнвалентно интегральному уравнению с симметричным ядром Х (х) + 1 ~ 0 (х, в) Х (в) сЬ = — О, (17,24) где 0(х, з) — функшщ Грина для задачи (16,24), (2,24). Так йак на ~аланья функции ~у„(х) и е, (х) удовлетворяют условиям теоремы из и, 1 2 23, то лля козффицнентов Л, В„в (15,24) выполнюотся соотиощещги (ср. з 23): ! Лл= ~ о, Х„г(х= — -- ~ В (мв) Х г(х; (18,24) а Ва= ~ м, Хлг(х= —,. ~ Е((е,) Х ~(х. (19,24) ~' ) Х (х) ) (Уь < Л„/ + У~„) В„!), е ч ~.)Х,'(х)) ()Л,)+ — '~И ), л.= ~ $'1з с ,г ) Хл(х)) ( ', Лл ) + -'='" — ).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее