Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными

И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 31

DJVU-файл И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными, страница 31 Уравнения математической физики (УМФ) (2678): Лекции - 4 семестрИ.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 31 (2678) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 31 - страница

11! кюксм тс!Кр!ч ло гбобюпсно рсгвеввс един с!в юк. 1.ели бы двум рзГ!ли:н!ым иоследоватслы осттв! функгв!и !р„(х), рг,'(х) и з,. (х), э,'(х) аю!встсгвовз т !яс рвали !нье иредельиыс функции и!Г,х) и и(1, х) для:!о зсдоиателы!о- 1ОО огосновлние и»-"ода коняк стой и»((, х) и»»„(»', х), го мы имели бы: 3 ') Р (и -- и)» г»х г(г .=— ,) з = 1 (» г(и — и,) -1- (и„— и,„).(-(ц, — гг)~' г»х г»У Й»" 3 1))» Р»(а и )»!хг(Г ( 3 ~~Р(и, — и„)»»/хс((+ й.

и +3 ~1 Р(иа — и) г(хФ. (17,23) ц "г Н»» основании замечания п. 2 пзстоюцюо параграфа»югегрзл л стремится к пулю нри и — оо, так как Р (т»ч '" »Ро)» г~х»» ~ .»»и» — »Р~) г(х стремятся к нулю при л — ° оо. 'Г;»к как дяз ар»гик юмсгра,» н праной части»юрзвенс»яа (17,23) также стра»»ягся к»»улю, то ~ ~ Р (и — и)' г)х»т»' = О. »г» Мииду того, что и — и и Р..лб — непрерыаныс функции, имеем и (О х) -= а (1, х). )ы определи~»ня обоб»ценного рси»еюю смен»»»»~ной задачи для уравненю, (»,211 следует, чы» сслн ири задаю»ык»(»»(»:) и »Р, (х) су»»г».сгвуег деажды непрерывно диффереююруечое в Цт ревею»е смеюзнной задачи, то обобгцсюю р и» ю»с сме»»»зн~»ой задачи совпадает с этим рсюением.

гиюогда обобщсию»м решением с»»ен»а»»»»ой задачи л;ю ураю»ения (1,21) с услоаюимн (1,23), (2,23) нзз»ааз»о»»зкув фуикцюо и(Г, х), для которой 1! и ~ 1» (ц и) 7 с»О О (1о„23) а цг (гл. и гннггио щчгские кглвнгния гас функции и„(й х) иа оно гси рснгщячми уращющщ (1,21) ири граничных у'лолнкк (2.23) и ла щльнык услов;кх (15,23), иричем аытюлняюа .а сооа~клгцснпк (16,23). Укажем друвис аозмщкные определенна обобщенного решении смсчнаиной задачи. в которык ~ыольа)чогся интегральные тожлесчва (ср. 5 й).

Зла оросго~ы будем рассылринагь ураапсннс аида Р(н) —:- —,— „—,- ( р(х) — +о(х) и=О. (19,23) д'я д у да) Обобцтенным реию:нем смсщаниой лала щ дла ураанщищ (19,23) нри иачальньж и граничных услонщгк (1,23), (2.23) иазывастса ненрерыано лифферснцнруеман а Е~г функции и (1, х), удсжлс ~ аориющач услоаняч и(0, х).— .у„(х), и(1, О) =и(1,0 -==0 (20,23) и интегральному тождеству +~:У,(х)о(0, х) й. —.О (21,23) для лгобой непрерывно лифферснцируемой функ щи о(г равной нулю нри г -= У, ира к=0 и ори х=-й Иногда удобно иользонагьси след)лощин определением, Обобщенным реиснием .м шинной калачи для ураанеиии (19,23) при услощяа (1,23), (2,21) на*ыяаетси нснрерыанаи функ ик и(й х), удоалсгаорнющан интегральному то>кдестау см ~ иР(о) 4х г)г +- ~ а, (х) с — (О, х) гух— мг — ~ (а, (х) о (О, х) с(х.—..= О, (22,23) ~де а(г, х) — ироиаеольлаа дважды ненрерыаио диффсренцирь емли фтнкнич а си ко,~но1) о(, О) — О, г) — — а,!, х) —.

';(У, х) -=О. (23,23) й 231 оагсиоьаюгг метода ччтьг () ~сциоциц ччо ющб»гон»ос рспп и»с, . пр. ~с ии.мпс 1»кдсстчом (21,23)»рп ус»отта (20,21), гиюнс~ си е го;ке крема огь.саигщюым рсюеинем е смысле (22,23); обри гное, вообще гонора, попер»о. Бподя об»биде»цыц рсюсигю, мы моьчеч в той или ююй степени рзсиеригь клагс на ылыиак фую,шнц при кот»рык существуег рсисинс сьщювюой задачи. Г1рг; заом очень вшкно, ~тобы а ионом классе решений сохранилась тесрсма еди»сгаен»ости. 3 а д а ч а 1. Йокакогте, что об»биге»нос рспгшие урз»ценна (19,23) прн условнах (1,23), (2,23), оиослслею ое соогнщлсщщм (18,23) (где р =- 1), сущегтиуст н едн»г гнв щ, сели фйнкцин !У„(х) и гы (х) кйсочио »си(х (эыи»ы и ннч с~ Ри" ругмы с ьнадрзт)ом на отрезке (О, 1).

3 ада ч а 2. 2(окангигс, ~~о обобгцсиное рсюеиис ура»пенна (19,23) прн услонгюк (1,23), (2,23), ~ пределениюе солношегюамп (20,23), (21,23), сучцсстауст и сап»стас»но, если фуюогия „"„(х) лвгокды непрерывно диффсренцнруеиз ~а отрезке (О, У). а т, (х) гцтпи раз непрерывно тиффсрснинрусгза на атом огре~ко причем о (О) =-- в, (1) = — — (а, (О) — — о, (1) = 0 п о (х) =-.: О. У к а з а н н е. Для доказатсльстна едгвстаенностн восцользонач ьса фуюац.ей а(г, х) = ~ (и, (т, х) — а,(т, х))гйт, где и, и а,— даа обобщен»ык рюпсюя одной и гсй кге смешанной задачи. 3 з д и ~ а 3 Лг кыкитс, ~ го обобгцси»ос освою.с урн. пенна (10,23) прн углов»их (1,23), (2,23), оирсделеющс соотншисннсч (о2 23) суи "стетет н е гннгтае~юо если ~+0»ьгг»н ~у„(х) непрерыапа на спрезке (О, 1, обрагцастсн а ~ уль ирн х=-.

О, х — =-.' и имеет на э~он горенке питсгрпр,ем)чо с квадратом кусочно неирерыанув~ пропзводнущ, а г)бч:ьцгю ",(т) кусо~и» нс»1ерыана н пнгегоируцма с киадратом . а отрезке ('0 И У к а з а и и с Зли,ц»,з ю ил~ с ~а» с»и»с ~ не»»ос гн носи»льнов»геен резгчьга~ами п. ( иас~ ы»гсг~ »и., »оз,(ьь (гл, и гппегволичиокик угавнгнни 4. И е ~ о д Ф у р ь е д л я ~~ е о д н г~ р о д н о г о г и и с р б о. ли ч еского ) на в н с пни. 1'ассхю~рг1м в 7( смс1пю н)ю .алану данг )равнения — —, - — — —,— ~ р(х) — „,) — гу(х) и+~(г, х) == Е(и)+,гИ, х), (24,23) т с. бул и искать двюклы непрерывню лиффереююрусмос н (т Рспгсние в!ао УРависгпид Удовлегвобиюгдсс на Яю,ным у слгюням и(0, х)= — о„(х), иг(0, х)==-=4~,(х) (25,23) и ~ренн юью условиям и(7, О) = — и(7, 7) —.— О.

(26,23) 11ри атом пам достаточно построить рсгпсюю, удовлегворяююес услгюням (25,23) н(ю с2 (х) =. ы, (х) —..=. О, так как кононов регис~п1с полу юм, прпбапляя к нему ряд (12,21). Будем искать ре~нснг1е и(Г, х) ггоставленной аюгачи в инде ряда Фурье ~~', ач(7) Хк(х) но собственьым фуюап~ям уравг. =- $ ненни Х. (Х) =- — 1Х с грани юьми условнимгг Л (О) =. Х(7)=0, Раааа~ли фунюппо Р(Г, х) в ряд Фурье по агни х бствениым фуюонннм и сравпг1ваи ковффнписнты Фурье в правой н левей юстях уравнсюю (24,23), мы получим диффереюенальные Упавнениа длн опРсделегюн ковфг)гнггиентов ФУРье ал(() Вида аа (у) — -- — - )г а, (1) +,г, (/) „ (27,23) / где уа (г) = ~ 7'(г, х) Ха(х)~ух и г. (Хл)= — уеХе.

Легко про- нери~к, что реюсни и уравнения (27,23), уюалечнорягоигиы ус:н внггм а,(0) =-аг(01=--0, является функпня -~-.-- ) Уа ( г) або ) Г,, (1 — - т) гУт. Танин обраюю, решение и(.", х) уравнеюю (24,23г„улоусловпям (26,23) и условг1я~1 и(0, х) — и,(Г), х) ==О, О1У! 24) ИРЯН!.И! ИИ1 ФХИ! ИЬЧ! ! РИ'Ы ло1 !«В««кыр'!«к:!«ь!.я В инде р«!.«В1 В(1, «) =-У».

— ' у»!1'Г) В(п ) «ь !г — т) г»т) Л'„(х) (21).2«а) ! Если ряд (2С),23) и ряды, иолу !енньы нз него и«««вснк«,!«1 дифферсв!в!ров,« Рвем ио х и ио» д! двух Взз Вхлго вите»и ы, схочя!ся рзю«аверно в Ц, то гу«ом ьто«о ряда есть в инзы всирсрыенк« диффер«еи!«ируе««а«! В Ц. функци««, улов.ы»воряв«- «ияя урз««!«с««!«!о (21,23) н ус»н!виан (26,2Л) и (28,23).

'! ««ч: в сходиность рядов будет ! «О«есие !««из, сслк и! !.рсбокз.л, чика!,! искр!Вр!Вв«««1«! 41) икикя»(», «! Во«»«л иеирскыяиуго и(х нзвздк !«« В1орОГО 1ЬкрядКЗ ВО Х В 1«кб!В Крн В СХ 1 Юй «Г!»И««1ЧКСЬ «СИИ Кя «(», О).-=»'(», У) —.. 11. пря 1«!О««иы нрслиолзгаен, «то козффквв снгь! Е(х) и 4(х) «к!сет лвс исврер«!«и!«!е ир«в«з«««з»«и«чс. Локззз'«с»«ь гко -1«ого ирелло ьсн Ря виолнс зиад««! !«:«Во з и зззтслы п««осяоквса теоревы вы го«!«цего юрагрзфз !«Ов«1«):1- икенты Фурье» (») фу!«к!««В«»'(», х) ««!«Сии«!Вкг«с«1 зияло! к !Во коэффициентам Ь» рядз (12,2!). ч 24. Применение функции Грива к калаче о собственных значениях и к обосн! Вани«о метода Фурье Суи«ест!Взк««кнс я««чи!«й Гистсыы с! бствсв!Г,«х функ««ий в зз.«ячс о соб!.«яеииь!х»!Вя !екнв«н !сы!вкы! сно(!Ств««зт Й системы !!Ожио Докхиг«ч не Рси«з««!К«РВ!««ва«нных з«л",ч, сев«ори!Рико и«ияч сиособон..'-)го х!Гк«о«!«с.зсч!«1«ь с!«««тс«!««Г«« КРЗ! ВОЙ ЗЗ«!!'!Н К НнтсГр'1ЬНОН» «РВВНСИН!С Фрсд1ОЛЬИ ! В«О- ро!о ро«з Зг! ВВ«!«Сине к«и«ес!взяе!Гя с «я чои!! Вз !Вк н 1- зы«ь«с«««!1!»»1««л»вл«»»л»нс», к иостроск1«го ко!О!ь«р Вил ссн'1,!с ВСР 'ХОДИЧ.

Рзсс«Во»рви тв;!ячу: !ыйтв в Рвы! рыле (О, ») реги! Вне ур«кис!Ркя '»" 1 — (»Л -= »( ()ГФ) удовлстворякоиие усл «!«кя«1 Х(0) =- Л'(») == О. (2.2 11 11зр ьау с у««,«в «ек««««! 11,24! ряс«к!.«рки урзввеже !»«1') -- 1,1 .= —, (х, х„) «О',24) (гл и , иющво.щщ.щпис хгащи:ющ с яакоб же левой щс;ькк как и 1 у(ааалслия (1,21), л свобод~ ыи члс:кв1 1 в, к ~ оп х — —,'- ( х ~ х , (х„х, ) =.= 0 ирл всех осгальл1ах х. Здесь в и х„— пскоторыс параметры; а,~ 0; О < х„<' /, б а -;- я. щ!л (хм 1 — х,). 1)редпг локсия, я~о иак взасст ю реп~сине 1',(х, х„) влнюо уращщивя, удовлетворщогцсе том ясе ьр.юным услощщм (2,241 и аавлсщцсе от параметров а н х а Уапюжкм уравнение (122')) иа 1., а уравнение (3,24), где вместо 1' щщсаинлсло 1', иа Л', вы итси вго)мщ и ~ первого и проинтегрируем раащюгь ио пнаервдлу (О, т).

()олучим ~, (РХ)' У, — (р У,.)' Л') ~х=- = — ) 1У, (х, х„) у" (х) — Л' (х) д. (х, х,)~ т(х Так как фуиклил Х(х) и У, (х, х,) обраигаются в пуль ин колпак проис;кугка интегрирование, го лсввя часть равен. с~ил ращщ нуаио, в чем нетрудно убедиться, произведи двукратное ~п".гсгрирование по част~ил ) (рЛ"1 1',аах —.— — рЛ" Уаы — ) РЛ" Уг дх=— г а О ==-.— рУ,Х) + ~ (р1;)' Хох= ~ (рУ.)' Ла(х. , И уравнении (3,2 Ь правая часть имеет две точки разрыва пср- Е кого ролл: х=х„.г -,—. арвщю докааааь, что есле л >О, то с)щея савуст смпгствеииое Реюсиие уравксиик (3,2ля уловао1ВОРЯ1ОщеЕ краевым тслослям (2,211 и испр"рыщюс вмесае с г1арчой производной ла стрелке о.т х..' д В~о(аак ироиаьоднаи имеет разрывы первого рода ирк х "" ха 205 игимс~ии!ие Фжиь'гии !ч'ииь Следовательно, ~ У,(х, х,)у'(х) г)х-=- ~.", (х, х ) Л 1х) гух=-.— Π— — Л(х)с'х == "рв,) 16.2:1) е "Р ' Гслп ггредголояоиь, жо ири е ° О фуикииг 1;,(х, х ) сарсчигся равномсрио по х ь искмо(к4 предельной фуикпии (обозна игм се б '(х, х,)), ~ о, совсрииев перевод к пределу ирн е —.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее