Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 27

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 27 Теория вероятностей и математическая статистика (2676): Книга - 4 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 27 - страница

5.25+, Независимые случайные векторы 9.-Д.з, ..., $„,,)~нВ', я=1, 2, ..., имеют независимые комяонен- 1 ты яр($„д=Ц=РД ~ — 1) = —,,1 '-1«з, и=1, 2, ... Положим Я„=5~+...+$„, п=1, 2, ..., и обозначим через т число таких и, что 8. =(О, ..., 0). Показать, что Р(т )=1 при а=2 и что РЬ = )=1 при з=-"3. 5.26. (Тождество Вальда.) Пусть случайные величины К фн ... независимы, М$<=а, М~5<! «С«'з (1 > 1) .

Пусть В~ с В', Вз с Вз, Вз с Вз, ... — произвольиая последовательность измеримых множеств, и случайная величина т определяется равенством т= 1п1(н: Яь ..., ~„)ФВ„) (т ', если (5н ..., 5„) мВ„при любом и«). Используя равенство Х Ь=Х Ьу(.~1)-Х ~;(1 — Х( ~)) (где у(А) — индикатор события А), доказать, что если Мтс, то М ~~ з$~ = аМт. ~=-1 5.27.

Проверить справедливость установленного в задаче 5.26 равенства в следующих случаях: а) Р($< 1) Р(Ь вЂ” 1)=1/2, т=ш!п(и>0: 5~+... ...+$„1), б) РЦ, 1) РЦ~=-2) =1/2, т=ш1п(пР-0: $~+... ... + ~„ 1). Объяснить реаультаты. 5.28. Случайные величины $ь 9з, ... независимы и одинаково распределены, а М$~ ) 0 и Р()5~~ = С) = 1 при некотором С« ° . Пусть ро О, р =5~+...+$ (п>1) и )У, 1п1(в~О; Б„~ г). Доказать, что при любом 1 0 Ф ««аМ/У~ «Ф+ С. 159 5.29. Случайные величины рн рт,, при любом целом н > 1 удовлетворяют условию М(р„„[рп ..., р.) > р.. Доказать, что при любых целых )г, п «» 1 М(ра~-В~рь ° ° у рв) «» р» 5.30».

Неотрицательные случайные величины рн ри °, при любом целом и > 1 удовлетворяют условию М(рпм[рь ° ° ч рп) >» р ° Доказать, что для любого б «О и любого целого п>1 мр„ '( "'(р "'~-»б)~ ь". 5.31. Случайные величины фн $ы ... независимы, М5~=0, 1=1, 2, ...

Доказать, что для любого б>0 и любого целого и > 1 Р( тпах [$д -', ... + $ь[~~Ь~~~ м[$, + ° . ° +1„[ ~~ь~а б 532. (Не раве иство Колмогорова ) Случайные величины ~ь $и ... независимы, М5~=0, ()Ь = а~ ~-со (1-1, 2, ...). Доказать, что для любого Ь> О н любого целого и > 1 Р Г тпах ~ 5, + ... + Ь! [)~ 51 ~ (',т Пчьа $2. Нуассоиовские процессы 5.33 . Найти сочЯо $,+,) при 1, г > О, если: а) 5,— пуассоновский процесс на [О, ) с интенсивностью А, б) $,— пуассоновский процесс на [О, ° ) с интенсивностью Х(1).

5.34. Пусть (ть)ь" ~ (0(т~ ~ гт(...) — положенияточек пуассоновского потока на [О, ) с интенсивностью Х. Доказать, что при любом Т > 0 ~ Р(ть:- Т) ХТ. а=1 5.35. Пусть выполнены условия аадачи 5.34. Найти Мть От, и плотность р„(х) распределения т,. 160 5.36. Пусть выполнены условия задачи. 5.34. Найти: а) плотность р(хь .. „х„) совместного распределения случайных величии т„т», ..., т„, б) Р(т1 < х)т»> Т), 0 < х< в) Р(т~~х(т~~Т(т»1, 0<х<Т. 5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти условную плотность ру(хь ..., и») совместиого распределеиия случайиых величин т|, . „т„при условии, что т„~ Т < г„ь Сравнять р, (хь ..., х„) с плотностью ду(хь ..., х,) сОвместного распределения членов варпациоивого ряда с<п ~ с» <...

< з<„„построенного по неаависпмым случайным величинам $ь ..., 5», имеющим равномерное распределение на отрезке (О, Т). 5.38'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоиовского потока с интенсивностью Х, принадлежащкх интервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой иэ них в интервале длины Л пет других точек этого пуассоновского потока. 5.39'. Найти математическое ожидание числа точек пуассонозского потока с интенсивностью А, принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каждой из них до ближайших точек пуассоиовского потока не меньше Л.

5.40'. Пусть(т»)» — положения точек пуассоиовского потока иа ( —, ) с иитепсивностью Х. Переиумеруем случайные величины т, так, чтобы они удовлетворяли условиям О» !т~е,( <! т»и( ~ .. ° а) как можно описать последовательность ((т<ю ()А=ор б) Что »южно сказать о последовательности 0„ т,в/!т,в,(, й = О, 1, 2, ..., знаков чисел т,в>Р 5.41'. Пусть 0 ~ т~ (т»(...— положения всех точек пуассоновского потока иа (О, «) с интенсивностью Х. «Йроредим» этот поток, исключая из него каждую точку иезависимо от остальных с вероятиостью р, гдо р — данное число, 0 ( р(1.

Доказать, что прореженный поток является пуассоиовским. Чему равна его интепсивностьг 5.42 . Пусть р (х) — кусочно-непрерывная фуикция, прииимающая зиачеиия из отрезка (О, 1), а 0 »Я т1( ( тв(...— положения всех точек пуассоповского потока иа (О, оо)' с интенсивностью Л(з). «Проредим» этот поток, исключая из него каждую точку т, независимо от остальных с вероятностью р(т„).

Доказать, что прореженный поток является пуассоновским. Чему равна его ингенсивностьу Н А. и, зубков в к». 5,43'. Моменты поотупления требований в систему массового обслуживания образуют пуассонозский поток на ( —, ) с интепсивностью Х. Каждое требование независимо от остальных находится в системе олучайное время т с Р(г~з) г'(я), Мт» ~. Найти распределе. ние числа Ь требований в системе в момент Ф, 5.44.

Для системы массового обслуживания, описаннои в задаче 5.43, найти Функцию )(Г)* РЦ» ° О!$з О). Убедиться в том, что )(Г) монотонно не возрастает по 1. 5.45. Случайно расположенные на плоскости точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Х, т. е. число точек в любой квадрируемой области 8 имеет пуассоновское распределение с математическим ожиданием Х!Я, где !Й вЂ” площадь области Я, и числа точек в непересекающихся областях независимы.

Пусть р~ < » рх ~...— упорядоченные по возрастанию расстояния от начала координат до точек етого поля. а) Как можно описать последовательность (рх)х „7 б) Найти плотность р„(х) распределения р, точную формулу для Мр„и асимптотику Мр„при л-+ оо. 5.46. Случайно расположенные в пространстве Вз точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью т. е. число точек в любой измеримой области У имеет пуассоновское распределение о математическим ожидавием Х(У!, где !У! — объем области Р, а числа точек в непересекающихся областях независимы.

Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.45. 5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные моменты времени т~ »тз(... Случайные величины тз, ... независимы и т„имеет равномерное распределение в интервале (и — 1, п). а) Найти плотность р(х) распределения интервала б„= т„+~ — т„между автобусами. б) Йайти плотность р,(хь хг) распределения двумерного вектора (б, б„+з) при й 1, 2, ... в) Моменты $~ и $з прихода двух пассажиров на остановку независимы и имеют равномерное распределение на интервале (О, 1).

Найти вероятность того, что онл поедут па одном и том же автобусе. г) Моменты $~ и $з прихода двух пассажиров нв остановку независимы, $~ имеет равномерное распределеаве на интервале (О, 1), а $з — на интервале (1, 2). Найти вероятность того, что зги пассажиры поедут на одном автобусе, 162 4 3. Цепи Маркова 5 ,43. Цепь Маркова $, имеет множество состояний 1 — 6, -5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности ре Р(4,„, =/)$, = д при 1~ 0 определяются соотношениями 1, если / = 1+ 1(О нли / 1 — 1' О, О в остальных случаях. Маркова и множества ее Провести классификацию цепи состояний, если: а) раз=1, ра~=О (/ч'*6), б) раз ра-в=1/2, рц~ О в) раз = ра-з = 1/2, раей =О 5.50.

Матрица вероятностей (!1! чь 6), (/чь — 5, 1Ф 6). перехода цепи Маркова имеет вид /О,! 0,8 0,4'1 Р = ~ 0,0 0,2 0,2) 0,8 0,4 0,8 Распределение по состояниям в момент времени 1 О определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1), Найти: 1) распределение по состояниям в момент 1 2, 2) вероятность того, что в моменты 1=0, 1,.2, 3 состояниями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2; 3) стационарное распределение. 5.51. Пусть $, — номер состояния в цепи Маркова в момент времени 1; Р(йо = Ц= 1, и матрица вероятностей перехода имеет вид < 8/7 8/7 1/7 т 1/И 2/И 8/11 1/11 4/11 8/11 положим )1, если $,= 1, (2, если $~ чь 1. д) Пассажир приходит на остановку в случайный момент в, имеющий равномерное распределение на интервале (О, 1).

Найти математическое ожидание, дисперсию' и плотность 9(х) распределения времени ожидания автобуса. 5.48. Решить задачу 5.47 в случае, когда последовательность т~ ( тз ~ ... моментов прибытия автобусов на остановку образует пуассоновский поток с интенсивностью 1. Сравнить полученные результаты с результатами решения'задачи э.47. Показать, что последовательность и, является цепью Маркова. Найти ее матрицу вероятностей перехода. 5.52.

Случайные величины $о 1= 1, 2, ..., независимы и Р ($ - 1) = р. Р(Ь = — 1) = 1 — р - д Положим цс 0; г~,~~ =т~,+$„ь Является ли последо- вательность т~~ цепью Марковами Найти Р(ц т), и О, 1, 2, 5.55. Пусть фо 1 1, 2, . „— независимые случайные Яелнчнны, Р(ь, = 1) 1 — Р(ф =.— 1)= р являются ли це- пями Маркова последовательностн случайных величин: а) т~ $4,+~', б) Ч~-$Дз".$; в) 0, = <р(5о ф,~~), где <р( — 1, — 1) = 1, <р( — 1, 1) = 2, 1') 5 "(1 '1) ='41 Для цепей Маркова найти вероятности перехода за один шаг. 5.54.

В )У ячейках последовательно независимо друг от друга равновероятно размещают частицы. Пусть ро(я) — число ячеек, оставшихся пустыми после разме- щения н частиц. Показать, что последовательность рс(л), и = 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти всроятно- сти перехода. 5,55.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее