Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 19

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 19 Теория вероятностей и математическая статистика (2676): Книга - 4 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 19 - страница

Случайные величины $ь 3о, 3о независимьо и имеют стандартное нормальное распределение, а 3», < Х 3<о, = 3,о, — их вариационный ряд (см., задачу 3.60). тс4 в)' Найти распределение вектора ($з — $<, зз — й<)'; б) Найти плотность р(х<, хз) распределения вектора (ь<2< ь««$<з< ь«<) ° в) Найти распределение случайной величины (ь<з< — з«<)/(В<з< — ь«<) 3.271. Случайные величины ф<, $ю зз и з«< < з<з< ~ з<з< те же, что в задаче 3,270.

а) Найти распределение вектора (~з — в<, Ъ вЂ” зьз). б) Найти плотность р(х<, хз) распределения вектора й<з< — Ф«О< Ф з< — $<з<) в) Нанти распределение случайной величины (с<<< В«<)/(з<з< ь<п). 3.272. Случайные величины $<, 3з, ь независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Положим -( если с<$з = О, (~(зло(СДз), если СЕ<~О, где здп(х) = х/(х( при х Ф О. а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций вектора ($<, Ь "з) б) Найти распределепле $з и совместные распределе- ния векторов (Ь, ьз) и (Ь, ьз) в) Найти плотность р(х<, хз, хз) распределения вектора (й<, $з, Сз).

Является ли оно нормальным) 3.273. Используя предыдущую задачу, построить при- мер случайного вектора ($ь сз, ..., З.), распределение которого не является нормальным, но любые и — 1 его координат взаимно независимы и имеют нормальное рас- пределение с математическим ожиданием О и диспер- сией 1. 3.274'. Случайный вектор в =($<, ..., вз) имеет сфе- рически симметричное нормальное распределеняе с нуле- вым вектором математических ожиданий и едпничной ко- вариационной матрицей.

Найти распределение вектора т) = с~А, где А — действительная матрица с й строками и т столбцами. 3.273. Случайная величина $ =(с<, ..., в ), имеющая нормальное распределение в /<" с нулевым математиче- ским ожпданнем и невырожденной матрицей ковариаций А = 1ао1, не зависит от случайной действительной вели- чины т), имеющей функцию распределения Р(х), М<)з 1. Найти математическое ожидание и матрпцу ковариа- цпй случайной величины <)$ =(<)3<,, <<ь.). 3.276, Случайные величины $<, $<, ..., $., <) незави- симы и имеют стандартное нормальное распределение. 105 Найти распределение вектора ь = ~$, 1~1 — а~ + Оа„$, у' 1 — а', + да„...

...,3.1/1 — '„+Ч „), где ип аа, а — числа из отрезка (О, 1). 3.277. Случайные величины фп ви ..., $„независимы; ~, имеет нормальное распределение с параметрами (О, о;), 1 = 1, 2, ..., и. Найти распределение вектора ц-йц Ь+ Ь Ь+ Ь+ Ь, ", 5~+ Ь+".+$.). 3.273. Случайные величины $п ва ... независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Найти минимальное значение х, при котором Р (из ах () $, (, ! $, ), ..., ! вь Д ~ ~2) ) — „. 3.279. Случайный вектор в =(ьп ..., $„) имеет й-мерное нормальное распределение с математпческнм ожиданием аж В' и ковариационной матрицей А.

Что больше: 1п (Мы . ° ° 3а1, М 1п ) $~... ф,( пли 1п М 1",~... $„(7 3.280. Случайный вектор ч =(3п $г)ж У имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором математических ожиданий и коварпацнонной матрицей с о о,') ).Найти условное распределение 3~ .прн усло..) вии $з =х. 3.281. Распределение случайного вектора с =(2п вг) ю ~ивет таково, что при любом хж( —, сю) условное распределение й~ при условии 3г х и условное распределение $з при условии $~ х нормальны.

Является ли нормальным распределение вектора а? Глава 4 ПРЕДКЛЬНЫК ТЕОРЕМЫ. ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В курсе математического анализа рассматриваются различные виды сходимости последовательностей функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду, сходкмость в среднем квадратичном и т. и. По аналогия с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз- 106 личные виды сходимости последовательностей случайиьгх величин (как функций, заданных на пространстве элементарных событий), а также последовательностей функций распределения.

Приведем определения тех видов сходимости последовательностей случайных величин, которые используются в задачах атой главы. Пусть на вероятностном пространстве (И,,5Ф, Р) ааданы случайные величины а„$„(ге) (ю ю й, и = 1, 2, ...) и случайная величина $ = $ (ю), Облюй, Последовательность $н ат, ... сходится к случайноа величине $ с вероятностью 1 (почти навернос), если Последовательность ~н $з, ... сходится к случайной величине с по вероятности, если для шобого с ~ О 1пп Р Я $„— $ ~ ) е) = О. Последовательность $ь $м .., сходится к случайной величине $ в среднем квадратичном, если 11 ш М ( $„— с !' О. Последовательность функций распределения г'„(х) Р($ < х), и = 1, 2, ..., слабо сходится к функции распределения р(х)= Р($ сх), если для лгобой точки х, где р(х) непрерывна, выполняется соотношение Пш Ра (х) Р(х) з-~ю (в атом случае говорят также, что последовательность случайных величия $н Си ...

сходится к $ по распределению; при этом $, $~, $з, ... могут быть заданы па различных вероятностных пространствах). Все зги определения естественным образом распространяются и на случайные величины $п $м ... и в, принимающие векторные значения. Понятие сходимости по в е р о я т н о с т и чаще всего используется, когда предельная случайная величина имеет вырожденное распределение (Р($ = а) = 1 для некоторого числа а) и 1 +сз+ ... +' н где ьь ьт, ...— случайные величины (не обязательно не- зависимые или одинаково распределенные): если 11шР~~ ' " " — а~)е~ О для любого е)0, (4.1) то говорят, что последовательность ~ь ьзр...

удовлетворяет закону больших чисел. Из неравенства Чебышева Р() — МЬ~)е) С0$ нетрудно вывести, что если случайные величины не коррелированы, Мь = а, С»ь„о' ~ » (и = =1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону боль- пгих чисел удовлетворяют и другие последовательности случайных величин (см. задачи $1). Если вместо (4.1) выполнено соотпогпепие (и) + ... + 4„(ы) Р)ю: 1(ш ' '" = а) 1е (4.2) в 1,+ ° .+4„ т. е. последовательность сходится и числу н а с в е р о я тн о с т ь ю 1, то говорят, что последователь- ность ~ь ьг, ...

удовлетворяет усиленному закону боль- ших чисел. Соотношение (4,2) выполняется, например, если случайные величины ~ь ьз, ... не коррелирова- ны, М~„-а, 0~ о''= (и 1, 2, ...), см. задачи 4.22 — 4.24. Пример сходямости по распределению дает Ц е н т р а л ь и а я и р ед е л ь и а я т е о р е м а.

Если Ьт, „..— независимые одинаково раснределенные слу- чойные величины, Мь„=а, (м,„о'( ° (и 1, 2, ...), то для любого х, — о <х(оо, х 14,+" ° +4 — 1 1 р 1!ШР~ ' '" ~(х) == ! е )гди Ф(х). »»»щ о ~~ е )»»2а Сходимость распределений центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению имеет место и при других предположениях о случайных слагаемых (см. задачу 4.134 и другие задачи из $ 3). Другим важным примером сходимости по распределению являются теоремы о сходимости к распределению Пуассона (см. задачи 4.1О5 и 4.113). 108 Практическое значение предельных теорем состоит в том, что они позволяют аппроксимировать распределения допредельных случайных величин $ (при достаточно больших и) распределением предельной случайной величины $; это особенно полезно в тех случаях, когда аналитическая запись функции распределения $ проще выражения для функции распределения 2„.

Следует иметь в виду, однако, что вопрос о том, достаточно лн велико п для того, чтобы обеспечить нужную точность приближения, в каждом случае требует особого исследования; см., например, задачи 2.61, 2.62, а также 4Л07, 4Л23, 4Л24. Доказательства предельных теорем могут использовать как прямые вероятностные методы (изучение распределений допредельных случайных величин или их моментов, см. задачи из т 2), так и аналитические методы, основанные на использовании свойств производящих или характеристических функций распределений допредельных случайных величин (см. задачи из $5). Если случайная величина $ принимает только целые неотрицательные зяачения, то прои водящей функцией распределения В называется функция комплексного пеРеменного з ~Ф(з) = Мз = Х 3 Р К й), (з(» 1; А-о производящую функцию поясно рассматривать и в случае, когда Э принимает и отрицательные значения, если область сходимости ряда в правой части последнего равенства отлична от окружности Ы 1.

Если случайная величлпа $ принимает деиствительные аначения, то характеристической функцией Распределения В называется функция действительного переменного Ф в частности, если распределение $ абсолютно непрерывно в имеет плотность рт(х), то ~т (1) ) есмрт (х) дх. Перечислим важнейшие свойства производящих н характеристических функций. 1. Если Р()в(( о) 1, то функции 1~(г)=Меоз я ~рз (з) = Мз' непрерывны и 11 (О) = <э, (1) = 1.

108 2. Если М!5)»( для некоторого целого й> $, то е»п „»,(») ~ = »'мй, —,ф,(х) м; ' е ег г !в (по поводу обращения этих утверждения см. задачи 4.67, 4.95, 4.66). 3. Если случайные величины 5п 5», ..., $. пезависнмы, то )т,+...+»„и) -1$!(г)" й„(О, фз + +» (х) фз (е) фз (х) (обратное утвер»кдение неверно, см. задачу 4Л57)'. 4. Если производящие (илн характеристические) функции распределений случайных величии 5~ и $» совпадают, то совпада»от и функции распределения 51 п 5». 5. (Теорема непрерывности.) Последовательность Р„(х) Р($„~ х) (я $, 2, ...) Функций распре. деления слабо сходится к Функции распределения Р(х): =РЦ ~ х) тогда и только тогда, когда существует непрерывная фуякцвя )(г)-П 1 И)» где )„(») Меи»ю В етом случае )(») Мео», н сходимость ).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее