Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 20

DJVU-файл Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 20 Теория вероятностей и математическая статистика (2673): Книга - 4 семестрБ.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 20 (2673) -2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 20 - страница

При а = — 1,Ь =1 имеем аиь — а и8 ьиа и ~(1) ип и (18) )зв гл. о, хоехктзоистическнв емнкцни н рв(х): к Х -х ро+а(х)=~да(х — у)ро(у)г(у=г "Г )((у' '(х — у) 'Йу о о ! „а+а-!е е Г -! В-! хо+а ! Г (а) Г (й) ) З (1 З) !(З Г (а + р) Е , Х «~ Оэ о то, в силу 4), /,+з(г)=(,(1)~ (!). Вычислим сначала 1! (х) = ~ е! "р, (х) дх = ~ е' " 'дх.

Интегрируя по частям, о о получаем ОВ ОВ ОЭ ~,(Г) = ~ е " 'Ых= — е' " "~ +1! ) е"" "!(х = 1+ Щ,(Г) о о $~(()= ~ (20) Из (20) для любого целого и имеем 1 1е (Г) ~ (! П)о Из)!(!)=[)! „(1Ц" получаем )!о„(()=(1 — 11) "", и, далее, ) го(1)=(Гко(гЦ"=(1 — 1!) ~". Таким образом, для любого рациойального со > 0 ! а (() (1 оУ) (21) Так как плотность р (х) непрерывно зависит от я и,как л!ы увидим в $39, из ра (х) -о р,(х) следует („(Г) -о 1„(Г), формула (21) справедлива для всех и О. Заметим, что при дробных а из многозначной функции (21) вы.

деляется однозначная ветвь, для которой 1 (0) = 1. й 38. Формулы обращения для характеристических функций В 3 37 мы установили, что каждой функции распре. деления Рь(х) соответствует характеристическая функция (о(1). Пусть существует непрерывная плотность ро(х). Тогда характеристическая функция вычисляется З 38 ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ по формуле (22) откуда и следует утверждение. 11(() = $ вихр)(х) йх, т. е. ~Ь(() есть преобразование Фурье функции рз(х); В анализе доказывается, что при )ь(() ен Е(, т. е. при ко. нечностн интеграла ~ )~ь(())а(, имеет место формула обращения для преобразования Фурье (22): рт(х) = — „~ е и")1(()(((. (23) Исходя из этой формулы, мы докажем формулу обра* щения в общем случае.

Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 2. Пусть $ и 1) независимы. Если З имеет (рункцию распределения Р(х), а ь) равномерно распре- делена на отрезке )а, Ь), то существует плотность рь+ч(х), которая выражается формулой т" (х — а) — )а(х- Ь) Р)ьч Ь вЂ” а Доказательство, По формуле композиции Ва ь Е1 „( )= ~ РЬ(Х вЂ” у) р„(у) т(у= — ~Р( — у)а)у 1 са а — Р (г) а'г. (24) х-Ь Исходя из '(24), мы можем для любых х( ( хз записать х1 а х~-а (1,„(а( — х( „(*(= —,. [ ) х(ь>~Р— ) х((х ) 1 хр-Ь х~-Ь хр т" (х — а) — т" (х — Ь) а ((х, Ь вЂ” а х, 138 Гл 6. ККРАкткРистическив Функции Замечание. Если 4) равномерно распределена на à — 1,11 то «(х + Π— «(х — 1) Р1+ч(х) = 2( Лемма 3.

Пусть $ и 4) независимы, $ имеет ограниченную плотность рь(х) = р(х) и 4) имеет плотность рч'(х). Обозначим ре(х) плотность султы $+Ое), гдв Π— параметр. Тогда в точках непрерывности р(х) илллгт место равенство 1нп Рв(х)=Р(х) Доказательство. По формуле композиции имеем Ре(х) = ~ Р(х — У)рч('и) и ° откуда Ре(х) — Р(х) = ~ (Р(х — У) — Р(х))рч(4 — Е) В" и (рь(х) — р(х)(~ (~ !Р(х — У) — Р(х)(рч(~) В + Он <6 + ~ ! Р(х — у) — р(х) (Рч('в) "е«(25) 1» -6 Пусть х — точка непрерывности р(х). Зафиксируем любое е ) О. Тогда можно выбрать такое б) О, что при )у', ( б выполняется неравенство !Р(х — у) — р(х) ! е=; ( е/2.

Так как плотность р(х) ограничена, то суше. ствует такая константа С < оо, что р(х) = С. Тогда из (25) следует ! р (х) — р (х) ! < — ~ Р„Я) — «+ СР ( ! 4) ! ~) — ~. )«ЫК6 Выберем О, > О так, чтобы Р ( ! Ч ! ) — „~ < —,. Тогда 6) е Ое при всех !О! ~ 06 имесг место неравенство 1ро(х)- р(х) ! ( е. в м ФОРиулы оаэьщвнив (ЗВ Формулу обращения в общем случае дает Т е о р е м а 1.

Пусть !ь(!) — характеристическая функция и Рь(х) — соответствуюи(ая функция распределения. Тогда, если точки х+! и х — ! являются точками непрерывности функции Рь(х), то Р)(х+!) — Р)(х — !)=1(щ — 1 е '"'!1(!) — е т й!. а-ьо я 3 ( О (26» Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины ь, ч, ь независимы, $ имеет функцию распределения Рь(х), т) имеет равномерное распределение на интервале ( — 1,1), ь имеет нормальное распределение с парамет- рами (О, 1).

Тогда по лемме 2 $ + !т) имеет плотность Р( (х + Е) — РЬ (х — () р(х) = 2! а $+!ч)+ оь имеет характеристическую функцию Т)(!) — е ' еи1, поэтому ее плотность р,(х) выражается по формуле обращения (23): ам~ р,(х)= 2 $ е '~!)(!) — „е ' й!. (2У) Ю По лемме 3 Р1 (х + Π— РЕ (х — !) !пп р,(х) = (28) а-ьь 2( если х+! и х — 1 — точки непрерывности Рь(х). Переходя к пределу в (27) и пользуясь равенством (28), получаем (26). Теорема 2. Каждой характеристической функции !)(!» соответствует только одна функция распределения Рь (х). Доказа тел ь ство.

В формуле (26) разность Рь(хг) — Рь(х~) для точек хт — — х+! и х~=х — ! непрерывности Рь(х) однозначно определяется по !)(!». Полагая в разности Ре(хт) — Рь(х~) х~-~ — оо по точкам непРеРывности хь мы однозначно опРеделЯем Рь(хг( 140 Гл. к хАРАктеРистические Функции в точках непрерывности хм а так как в любой точке Р1(х) =1ип Р(х,), к1ак где предел берется по точкам непрерывности хм то Рд(х) однозначно определяется )1(!). Теорема доказана. й 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения В 5 38 мы установили, что между множеством функций распределения (Ре(х)) н множеством их характсрь.

стических функций ((1(т)) имеется взаимно одиозна'!- нос соответствие. Покажем, что это соответствие ие только взаимно однозначное, но н взаимно непрерывное. О п редел е н не 2. Мы будем говорить, что посла. довательность функций распределения Р„(х) слабо сходится к Р(х), и писать Р„(х)=Р Р(х), если Р„(х)-!-Р(х) в каждой точке непрерывности пре дельной функции. Если Р„(х) — функция распределения а„ Р(х)'— функция распределении $, то мы будем также иногда говорить, что е„ слабо сходится к $, н обозначать ~„ Ф в; иногда мы будем говорить, что $„ сходится к $ по распределению.

Из слабой сходимостн В„ =)Р $ следует, что Р(х, ($к~(хз)-РР(х! (3~(хе), и-+со, если только Р К=х!)=Р ($ = х,)=0. Пример Р (~„=-„ 11 =1. Р(с=0)=1 показывает, что нз В„=РВ не вытекает сходимость Р (х)-+Р (х) в каждой точке, так как Р1 (0)=0 и Р (О)=1. Одно из самых важных свойств характеристических ункций содержится в следующих двух теоремах. Пусть ,(х), Р(х) — функции распределения„)к(Г), Ц1) — соответствующие им характеристические функции. Теорема 3. (Прямая предельная теорема.1 Если Рк(х)=РР(х), го („(1)-эЦ!) в каждой точке Г. 4 зь. тво нмл о иеп>»неманом соответствии 141 Теорем а 4. (Обратная предельная теорема.) Если !»(!) сходится в каждой точке г к некоторой функции )(!), непрерывной в нуле, то Р,(х)=)ь Р(х) и !(!) есть характеристическая функция распределения Р(х).

Доказательство втнх теорем будет следовать из лем. мы и двух теорем Хелли. Л е м м а 4. Если Р„(х)' — >- Р(х) на всюду плотном на примой множестве В, то Рь(х) =)> Р(х). Доказательство. Пусть х — точка непрерывности Р(х), х', хь ен Р н х' < х < х". Имеем Р„(х') < Р„(х) < Р„(х"), и Г(х') !!и> Р„(х'):=; !!>и Р„(х) < ь+ йч < !Ип Г„(х) < !!и> Р„(х") = Р(хь). (29) ь +»»»'+'» Так как Р(х')» Р(х)» Р(х") и разность Р(хь) — Р(х') может быть сделана как угодно малой, то из (29) следует !!и> Р„(х)= Р(х), что и требовалось доказать. ь +»» Теорема 5. (Первая теорема Холли.) Дз всякой последовательности функций распределения (Р,) можно выбрать слабо сходяи(уюся иодпоследовательность. Доказательство. Пусть 1> = (хь) — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности 0 = Р„(х>) "-" 1 выбпраел> сходящуюся подпоследовательность Ры(х>), предел которой обознзчнм Р(х>). Из ограниченной последовательности 0». =-. Ры(хе)» 1 выбираем сходящуюся нодпослсдователь. ность Рь„(хт)- Р(хт) и т. д. Далее выбираем диагональную подпоследовательность Рь„(х), для которой Р»„(хь)-ь Р(хь) для любой точки х; ен 1>. По лемме 4 отс>ода вытекает Гьь(х) =ь.Г(х). Замечание. Г(х) может ие б>ыть функцией рас. пределения. Например, если Р„(х) = 0 >>ри х < и и Г„(х) = > прих ) п, то Р„(х)=ьГ(х) =О. Теорем а б.

(Вторая теорема Хеллн) Если д(х)— непрерывная ограниченная функция нп прямой и Рь(х)=ь =~.Р(х), Р(оь) — Р( — со) 1, то »» »» !нп ~ а(х)арь(х)= ~ д(х)йР(х). (30) 142 гл. ь хяьлктеяистическиа езнкцин Доказательство. Пусть а ~ Ь вЂ” точки непре. рывности Р(х). Докажем сначала, что (нп ~д(х)дР„(х)=~у(х)ЫР(х). (31) й а Пусть е) О. Разделим [а, Ь] точками непрерывности а = ха, хь ., хй-ь хя = Ь функции Р(х) на такие отрезки [хь и ха], что ]д(х) — д(ха) ]<: е для точек хек е-=[ха-ьхь].

Это сделать можно, так как д(х) равно. мерно непрерывна на [а, Ь], а точки непрерывности Р(х) расположены всюду плотно. Определим ступенчатую функцию да(х)=д(хь) иа хан(ха о х,], для которой ]ай(х) — я(х) ] ( а на х~ [а, Ь]. Тогда ! а ь ~ д (х) ь(Р„(х) — ~ а (х) г(Р (х) ( й й ь я= ~ ] д (х) — дй (х) ] ЫР„(х) + й + 1а,(Р.— 1МР + 1]а(х) — а,(х)] (Р(х):== й й й й~ ай[к я.йй-ййй-(й.~ й-рй.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее