А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 7

е. зададим в каждой точке и еи М нормальный вектор У(т)еий( (М). В силу гладкости сечения У мы получаем тем самым гладкое векторное поле, определенное на М. ПУсть хен Тм(М); положим, по опРеделению, 7,У=(«„У)н, где ( )"-ортогональная проекция на плоскость У,„(М), ортогональную к Т (М). Лемма 2.4.2. Операция 7, определенная выше, является рима- новой связностью без кручения на ММ, однозначно определяемой индуцированной на М римановой метрикой. Доказательство проводится, как и в случае леммы 2.4.1. Перейдем к построению второй квадратичной формы; пусть к я Т„(М). эи ГеОметРия акстьемклеи Определение 2,4А. Пусть оеи)Ч (М), включим веютюр о в произвольное гладкое векторное лоле У на многообразии (Р так, чтобы лоле У было ортогонально к подмногообразию М в некоторой окрестности точки т ~ М.

Определим линейное отображение А'. Т„,(М)-~-Т (М) по формуле А'(х) — (Ч„У)г. Зпю отображение оказывается симметричным (см. доказательство ниже) и, следовательно, определяет некдторую билинейную форму А, которую мы и назовем второй фундаментальной формой подмногообразия М с: Я7. В действительности мы определили целое семейство А форм А, в котором вектор очи У (М) играет роль параметра: А=(А", и ен М„(М)).

Л е м м а 2.4.3. Форма А корректно определена, т. е. не зависит от способа включения вектора о в векторном поле У на (Р и гладко зависит от всех своих аргументов. Доказательство. Пусть задано другое продолжение У' вектора и, где поле У' ортогоиально подмногообразию М в окрестности точки т. Пусть учи Т (М) и У вЂ” произвольное гладкое векторное поле на В", касательное к подмногообразию М и продолжающее вектор у, т, е. У(т) =у.

Вычислим разность (Ч У)г у> < (Ч У')г =<ч„У' — ч„У, у> <ч„(У' — У), у> <ч„(у у>, у> ч„<у -у, у>-<у -у, ч„у>. Так как У' — Уев У- (М), У еи Т-(М) для любой точки т, достаточно близкой к точке т, то (У' — У, У> О. Так как Ч,У ы ~Т (М),то<У' — У, Ч„У>=О,т. е. < — (Ч У)г у> < — (Ч У')т у> что и доказывает корректность определения. Теперь проверим симметричность оператора А . Для этого продолжим векторы х и у векторными полями Х и У на )г', касательными к М. Отсюда <А" (х), у> — (А'(у), х) = — (ч„У, У>+<ч„У, Х> - — ч,<у, у>+ч„<у, Х>+<у, ч,у>-<у, ч„Х>-.

=<У, ч„У вЂ” Ч„Х>=<У, (Х, Ц>-О, так как (У, У) (У, Х>амО; У ы М (М), (Х, У) ~Т (М). Итак, (А'(х), у) =(А'(у), х), что и требовалось. Эквивалентным образом, форма А может быть интерпретирована как билинейная симметричная форма на касательном пространстве Т (М) со значениями в нормальном пространстве )Ч„(М). В самом деле, если х, у~Т (М), то можно определить форму В(х, у) ~ й(„(М) равенством <В(х, у), о> =<А'(х), у). Лемма 2.4.4. Пусть х, уев Т (М); включим вектор у в гладкое векторное поле У на ((У, касательное к подмногообразию М.

Та)а выполнено равенспмо В(х, у) =(ч„У)н, т. е. нужно ковариантно продифференцировать поле У в направлении вектора х зо ' ПРостепшие кльссичесеие ВАРиАционные ЕАдАчи !Гл ! и полученный результат (вектор в точке т) спроектировать на нормальную плоскость. Доказательство. Поскольку А (х) — (7 У)г, то (В(х, у), и) =(А'(х), у> = — <(7,$/)г, у) — <Ч У, у) --<ч.ч, у>= у.<у, ) >+<у, ч„ч>- = <$l, 7„У> = <(Ч„У)», о>, так как <)с, У>~0. Отсюда (В(х, у) — (7,У)», о) 0 для любого оен Мм(М), а так как В(х, у) спи (М), то это означает, что В(х, у) =(7„У)», что и требовалось доказать.

С помощью формы А мы можем теперь определить понятие средней кривизны Н подмногообразия М, обобщающее понятие скалярной средней кривизны для случая гиперповерхности. Оп ределен не 2.4,2; Рассмотрим вторую фундаментальную форму, представленную «ак форма В на касательном пространстве Т„(М), т еп М, со значениями в нормальном пространапве Н (М).

Поспал ку на Т (М) определено скалярное произведение (см. выше), то можно рассмотреть след формы В, явл~ющийся (в каждой точке т) некопюрым вектором, принадлежащим У (М). Таким образом, след формы В изображается некоторым сечением Н нор- мального расслоения НМ. Вто сечение (след) Н называется средней кривизной вложенного подмноеообраэия М ~ Ф'. Если е„..., е„— некоторый ортобаэис в плоскости Т (М), то Н ~ В (ен е~) ен ев У„(М). Замечание. В том случае, когда М-гиперповерхность в Ж, определение 2.4,2 совпадает с определением скалярной средней кривизны Н Ьр(9-%), где Š— матрица первой квадра- тичной формы, !г-матрица второй квадратичной формы (про- верьте!).

2.5. Локальная минимальность. Пусть М вЂ” подмногообразие в %', определим понятие изотопической вариации этого подмного- образия в йг, О п р еде лен и е 25.1. Пусть задана гладкая гомотопил (,: М-в. е7, О (1=- 1, такая, что каждое отображение ~, является вложением, причем гь= !', где с — исходное вложение М в %'. Тогда гомотопию /~ назовем изотопической варисщие~1, Р: М х10, 11-А-Ф', Р-(И. Эта вариация ~, вложения г индуцирует гладкое векторное поле Е, определенное на Р(Мх[0, 11) и являющееся образом д стандартного векторного поля — на цилиндре М х(0, 1]. Нас д1 будет интересовать ограничение этого поля на подмногообразие М, т.

е. Е(т) =йр — ', йР— дифференциал отображения Р. Век(д !ы, 0)1 д~ /' 2 Я ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЯ торное поле Е(т) определяет два сечения: Ег (т) расслоения ТМ н Е" (т) расслоения НМ, т ен М (длн этого достаточно ортогоиально спроектировать поле Е(т) на Тм(М) и Н (М) соответственно). т!сно, что эти два сечения являются гладкими. Рассмотрим сечение Ет как векторное поле на подмногообразии М.

Поскольку на М имеется естественная й-мерная форма объема, пндуцированная Объемлющей римановой метрикой, то поле ЕГ однозначно определяет внешнюю дифференциальную форму 9 (ег) степени й — 1 (с помощью оператора э(ь; см. 12]). Рассмотрим й-м2 рпый объем чо1, (),М) подмногообразия ~,М; предположим для простоты, что М компактно; тогда о„(!) чо1„(~М) -оо, Тнкнм образом, каждой изотопической вариации г" подмногосбразия М отвечает гладкая функция о„(2), определенная на отрезке 0 .1 -'1. П р ед ложе н и е 2.5.1. Пусть М вЂ” компактное подмногообразш я (Р' и оь(!) чо!2фМ) — функция к-мерного объема подмногообрпзия ~,М.

Тогда имеет место равенство ;(0)= — ]<Ен, Н>+ ~ 9(ЕГ) м вм где дМ вЂ” граница многообразия М. Здесь первый интеграл от функции (Е", Н) берется по М относительно Ьмерной формы риманова объема, а второй интеграл от формы 9(ЕГ) берется по (й — 1)-мерному подмногообразию дМ относительно (й — 1)-мерного объема, индуцированного объемлющей метрикой. Мы оставляем доказательство этого предложения читателю. Вероятно, самый простой способ состоит во введении локальных координат и последующего прямого вычисления (см., например, (19]).

Дадим теперь важное определение локально минимального подмногообразия. О п р е д е л е н и е 2.5.2. Подмногообразие М" с: (Р" назьиается локально минимальным, если его средняя кривизна Н тождественно ровна нулю (во всех точках т ен М). Если Ф=1, то одномерные локально минимальные подмного- ~ бразня являются геодезическими в (Р (см., например, 12]).

Если й =- п — 1, то локально минимальная гнперповерхность М"-'с:.(Р" является минимальным подмногообразием в смысле пункта 2.2. Если й ( л — 1, то условие локальной минимальности означает аннулирование вектора Н средней кривизны. Как и в пункте 2.2, существует непосредственная свяаь между обращением в нуль вектора средней кривизны и обращением в нуль производной оь(0) функции объема.

Теорема 2.5.1. Комлоктное лодмногообразие М" с= й2" явлючпся локально минимальным (т. е. Н нн О) тогда и толысо тогда, когди оь(0)нь0 для любой изотопической вариации лодмноюкун2зия М, обращающейся в нуль на границе дМ. ПРостепшие клАссические ВАРиАционные зАПАчи !Гл. ! Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 2.5. ! имеем о;(0)= — ~(Ен Н)+ $ В(Ег) М дМ Так как ~,(дМ)мэ1(дМ) при всех г, 0~(~1, то 9(Ег)»юО на дМ, т.

е. о»(0) — ~ (Ен, Н). Если Н О, то о»(0) О. м Обратно, если в некоторой точке т» еп М имеем Н ~ О, то можно всегда подобрать такую вариацию, носитель которой сосредоточен около точки т„что о»(0) будет отлично от нуля. Это противоречит условию о»(0) =О, Теорема доказана, Таким образом, подмногосбразия, на которых вектор средней кривизны тождественно обращается в нуль, являются экстремалями функционала, объема; это утверждение ранее, в пункте 2.2, мы доказали для случая гиперповерхностей.

Другими словами, мы доказали, что система уравнений Эйлера — Лагранжа для функционала й-мерного объема (определенного на й-мерных подмногообразиях в Ф'") эквивалентна уравнению Н !н! О. Термин «локальная минимальность» означает, что объем подмногообразия «не изменяется в первом приближении» (т. е. первая производная объема равна нулю) при бесконечно малых (по амплитуде и по носителю) вариациях; в то же время, если вариация имеет конечную величину, то объем может, например, уменьшиться, как это имеет место в случае стандартного экватора на двумерной сфере, стягивающегося в точку по сфере. В дальнейшем мы введем понятие глобально минимального подмногообразия, объем которого не уменьшается уже при любой «сколь угодно большой» вариации (что потребует, конечно, определения понятия «большая вариация»), В качестве примера локально минимальных подмногообразий приведем важный класс так называемых вполне геодезических подмногообразий.