А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 6

8. функционала 0(г), для которой координаты (и, о) оказались конформными, является экстремалью функционала чо( (г); обратное неверно. Для того чтобы получить все экстремали функционала чо1 (г), следует рассмотреть все экстремали функционала 0 [г) (т. е. гармонические радиус-векторы), отобрать из них только те, для которых (и, о) оказываются конформными координатами, а затем подвергнуть (и, о) произвольной регулярной замене координат. Гармонический радиус-вектор г(и, о), для которого координаты (и,' о) не конформны, не будет, вообще говоря, описывать минимальную поверхность.

Пример: г(и, о)=(и, о, КеГ'(и+И)) — график вещественной (или мнимой) части нелинейной комплексно-аналитической функции ) (и+ 1о). Связь между функционалами 0[г') и чо1 (г) во многом аналогична связи между функционалами' длины 1, [у) и действия ь Е",[у). ~1у~'Й пути у.

Ясно, что [4[уф'ч--(Ь вЂ” а) 5',Ц и равен- Ю ство достигается тогда и только тогда, когда параметр 1 на траектории у(1) пропорционален длине дуги (такие экстремали 1,[у) будут геодезическими, если параметр натуральный). Это обстоятельство связано с тем, что функционалы длины и объема инвариантны относительно регулярных замен переменных, а функционалы действия и Дирихле не инвариантны. Эв пэостеяшив кллссичвскив вА»и»ционныи ид»чи ~гл.! 2.3.

Классическая задача Плато в размерностн 2. «Задача Плато» вЂ” это термин, объединяющий серию задач, связанных с изучением экстремалей и абсолютных минимумов функционала Ьмерного объема чо(„определенного на й-мерных поверхностях, вложенных в л-мерное риманово многообразие М" и удовлетворяющих тем нли иным граничным топологнческнм условиям. В истории развития варнацнонных задач этого типа выделяются несколько периодов, характеризующихся различными подходами к понятням «поверхность», «граница», «минимизация» и, соответственно, различнымн методами получения минимальных решений.

Исторически первой была поставлена и решена задача Плато для случая двумерной поверхности в трехмерном (а затем в л-мерном) евклндовом пространстве. В параметрическом виде эта задача может быть сформулирована так. Пусть ) =~(и, и) — радиус-вектор двумерной поверхности Х' в М"=Р, т. е. (: У -+.Р' задает (локально) регулярное отображение области У с= Р в Р', тогда чо(» *г Щ ~ ~~ Е~ — Р» йи би н экстремалн этого функционала и являются решениями системы уравнениИ Эйлера — Лагранжа зл ~ з ~ а~ ~ декартовы координаты в («".

В проблеме «о наименьшей площади» ставится вопрос: можно ли найти поверхность Х„'=г»(У) (н отображение ~») такую, что эта поверхность имеет в качестве границы заданный заранее контур Г (т. е. систему вложенных в й" непересекающихся окружностей) и площадь втой поверхности — наименьшая по сравнению с площадями всех других поверхностей Х»=~(У), ограниченных этим же контуром Гг (См., например, (18].) Кроме этой задачи о нахождении абсолютного минимума (в классе всех поверхностей с заданной границей) рассматривалась также и задача о нахождении минимума в данном гомотопическом классе, т. е. в классе поверхностей (с заданной границей), гомотопных друг другу.

Сравнительно давно было также доказано существование непрерывного отображения г«двумерной поверхности М' в Р, переводящего границу дМ» поверхности М' в заданный контур Г ~ Р и минимизирующего двумерный функционал Днрихле (см. его определение выше), в частности минимизирующего н функционал двумерной площади чо)».

Пленка Х»'=г«(М») может, конечно, иметь самопересечения н другие сингулярные точки (в зависимости от конфигурации контура Г). Хотя эта пленка н допускает непрерывную параметризацию поверхностью М' (являясь ее непрерывным образом в («» при отображении (,), но, рассматриваемая как подмножество в Р, может быть не гомеоморфной этой исходной поверхностн, Литература по этой двумерной задаче и по связанным с ней вопросам огромна; здесь мы не а состоянии даже кратко коснуться ГеометРия экстРемллен многих глубоких и интересных исследований, посвященных указанной тематике, поэтому отсылаем заинтересованного читателя к [51, [16), [171, [181, где, наряду с изложением этих вопросов, приведена значительная библиография.

Описанный выше результат о существовании двумерного минимального решения (при заданном контуре) был распространен Морри (см., например, [16]) на случай контуров, вложенных в произвольное риманово многообразие, А именно, пусть Г Ц о) — набор из й ориентированных спрям- 1 ! ляемых замкнутых непересекающихся кривых в римановом многообразии М" и пусть У вЂ” двумерная область типа й, т.

е. граница области У является объединением й окружностей (У можно рассматривать как диск с й — 1 дырками). Тогда существует такое отображение гэ. 'У-~-М, что граница дУ области У гомеоморфно отображается на набор кривых Г, причем отображение ГА гармонично, конформно и минимизирует функционалы Дирихле и двумерной площади. В частности, площадь чо1,(Х„") поверхности Х~ =-)э(У) — наименьшая по сравнению со всеми значениями чо)Д(У)), где 1" пробегает всевозможные кусочно-гладкие отображения области У типа й в М" с фиксированной границей дУ- Г. 2.4.

Вторая фундаментальная форма рнманова подмногообразия. Пусть 1: МА-+.Гч" — гладкое вложение гладкого многообразия М" в гладкое риманово многообразие ЯГ"; многообразие (Р' будем предполагать ориентируемым, связным, бев границы. Через ТМ обозначим касательное расслоение многообразия М, а через Т (М) — касательную плоскость к М в точке ты М. Через (х, у) обозначим скалярное произведение пары векторов х, уев е= .Тм (М), иидуцированное заданной на йг римановой метрикой уу. Через У обозначим риманову связность на ТМ, т. е.

симметричную связность, согласованную с втой индуцированной римаиовой метрикой (см., например, [21), Напомним, что параллельный перенос, соответствующий этой связности, сохраняет скалярные произведения векторов. Как обычне, для произвольного тензорного поля Р через чх(Р) будем обозначать ковариантную производную этого тензорного поля вдоль векторного поля Х, заданного на М. Если через х обозначить значение векторного поля Х в точке т (т.

е. вектор х Х (т) я Т (М)), то тогда ковариантную производную тензорного поля Р вдоль вектора х (в точке т) будем обозначать через ч„Р, Поскольку ч — тенэорная операция, то ч Р является тензором (и зависит от точки т), причем имеет тот же тип, что и исходное тензорное поле Р. Так как связность ч риманова (сохраняет скалярное произведение), то для любых двух векторных полей Р, х на М выполнено тождество ч, <Р, Я) =<У.Р, г>+<Р, У„г>.

Обратимся теперь к подмногообразию /(МА) с: й7"; для упрощения обозначений обозначим ~(МА) снова через М"; тогда, зз пгостеишие клАссические ВАРиАционные зАдАчи ~гл, ! наряду с касательным расслоением ТМ, однозначно определено нормальное расслоение )ч'М (в каждой точке т ев М определена плоскость Аг" «(М), ортогональная к плоскости Т,"„(М)), Рима- нова метрика на М7" индуцирует скалярное произведение не только на ТМ, но и на ММ; кроме того, возникают две естественные римановы связности, индуцируемые на ТМ и й(М вложением М- Я~. Опишем эти связности. Пусть У вЂ” гладкое векторное поле на М и х ~ Т„(М) — произвольный вектор. Положим, по определению, 7,(У) =(7„У)г, где через 7 обозначена риманова симметричная связность, заданная на объемлющем многообразии Я7 (т. е.

на ТУ'), а ( )г — ортогональное проектирование на плоскость Т (М). Лемм а 2.4.1, Операция 7, определенная вьиие, является рима- новой связностью без кручения на ТМ; мпа связность однозначно определяется романовой метрикой на М, индуцированной вложением М-«-((Г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Алгебраические н дифференциальные свойства операции 7, характеризующие ковариантное дифференцирование, непосредственно следуют из определения. Проверим теперь, что эта операция сохраняет скалярные произведения. В самом деле, пусть У и Я вЂ” два гладких векторных поля на М, хел Т (М); тогда (7„У, Я)+(У, 7 2) =(('Р„У)г, 2)+(У, (Ф Я)г) =(Ф„У, 2)+(У, Ф.Е) =7„(У, 2) ч,(У, г). При этом мы воспользовались тем, что поля Я, У касаются подмногообразия М.

Осталось проверить, что кручение у связности 7 равно нулю. В самом деле, ч,г-рхУ-(У, г)=(ргг) (РЕУ) -(У, г)- =(У,Рг (ЧЕУ)г ((У, ганг -(Ч,г — У,У вЂ” (У, 21)г -О, так как связность Ч была симметричной. Лемма доказана. Точно так же определяется риманова связность на нормальном расслоении о)М. Рассмотрим произвольное гладкое сечение У расслоения й(М, т.