Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 8

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 8 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 8 (2659) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница

Определение 2.5.3. Подмноеообразие Мс:В' называется вполне геодезическим, если каждая геодезическая многообразия М (относительно риманоеой структуры и связности,' индуцироеанной объемлющей римановой метрикой) является геодезической в многообразии Ф'. Т е о р е м а 2.5.2.

Подмногообровие М с: (Р является вполне геодезическим тогда и только тогда, когда его вторая фундциенпииьная форма тождесп!генно обращается в нуль. Докгзательство, Обращение в нуль второй фундаментальной формы, очевидно, эквивалентно (см. определение выше) тому, что совпадают параллельные переносы относительно римаиовых структур на М и на (Р; поскольку геодезические могут быть определены как траектории, поле скоростей которых сохраняется при параллельном переносе (см.

(2)), то отсюда и следует, что каждая геодезическая на М является геодезической и с точки ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕП зрения объемлющего многообразия В'. Обратно, если М вЂ” вполне геодезическое подмногообразие, то из равенства В(х, у) =(е„'т ) (см. лемму 2.4.4) получаем:  — О. Теорема доказана. В дальнейшем мы подробно изучим класс вполне геодезических подмногообразий, реализующих топологически нетривиальные гомотопические или гомотопические классы в симметрических пространствах. 2.6, Первые примеры глобально минимальных поверхностей. В качестве простейшего случая рассмотрим свободные гомотопичсские классы замкнутых петель на римановом многообразии %'. !рассмотрим класс кусочно-гладких отображений 1: 5'-».

К7 окружности 5' в 67, гомотопных друг другу. Тогда легко доказать, что среди этих отображений существует такое отображение 1о, для которого длина траектории (о(5') является наименьшей по сравнению с длинами кривых 1(5'), где 1' гомотопно )о. Другими слетами, если ~р 5'- 1(7 — произвольная гладкая гомотопия отображения го, т.

е. вариация произвольной величины, то длина ~раектории ~,(5') не меньше длины )о(5'). Это означает, что функционал длины достигает своего абсолютного минимума в данном гомотопическом классе на отображении (о. В качестве второго, более нетривиального примера рассмотрим комплексные подмиогообразия в кэлеровом многообразии. В качестве вариаций (деформаций) подмногообразия М мы рассмотрим значительно более широкий класс, чем описанный выше (гомотопии). Определение 2.6.1.

11усть МА ~ (Р'о — гладкое компактное ориентирусмое замкнутое подмногообразие. Мы скажем, что задана его бордизм-деформация, если задано (й+ 1)-мерное гладкое компактное ориенпгаруемое подмногообразие У' ' с краем -Р— дЛ -- М 0( — Р), где'Р— некоторое гладкое компактное ориснтирусмое замкну- г:,!! ! '; .': п»ое подмногооброзие (плснка) в ЕТ (че- '' .,;:О ,'' рсэ — Р обозначено это многообразие Р с обратной ориентацией, индуцируемой на Р ориентацией многообразия Х) (рис.

9). м Многообразие Р назовем бордизм-вариацией многообразия М, В случае неком- Рис. 9. пактного подмногообразия М с: Ф' будем говорить, что задана его бордизм-деформация, если в %' задано подмногообразие (пленка) Р, совпадающее с М вне некоторой компактной области и, кроме того, задано (й+1)-мерное подмногообраэие Л с кусочно-гладким краем дЯ~ М 0( — Р). Напомним, что комплексное многообразие В' называется кэлеровым, если его риманова метрика дуйг'йТТ (где г', ..., г" — локальные координаты) определяет замкнутую внешнюю дифференциальную форму степени 2 о» = ' дц йг» гт йо'. 2 А. Т. Фоме»ко З4 ' пьостеишие клхссичвскив влюыционныв зхдхчн ~гл.

~ Тео рема 2.6.1. Пусть %' — кзлерово многообразие комплексной размерности и, М с:. Ф' — его комплексное й-мерное подмногообразие. Рассмотрим всевозможные вещественные бордиэм-деформации этого подмногообразия в многообразии (Р, т. е, питие бордизм-деформации, ипо пленка Р"" — вещеапвенное (2й+ 1)-мерное подмногообразие в %', пусть Р™ — бордизм-вариация подмкогообразия М.

Тогда объем чо1ы(М) подмногообраэия М не больше объема чо!ьь(Р), если М и Р™ — компактны; если же М и Р не- компактны, то имеются в виду объемы тех областей (на М и на Р), где М и Р различны (не совпадают). Более того, если объем Р совпадает с объемом М, то подмногообраэие Р также комплексное (в многообразии й7). Таким образом, в кзлеровых многообразиях компактные комплексные подмногообразия являются глобально минимальными подмногообразиями (т. е.

зкстремалями многомерной вариационной задачи на минимум объема), Так, например, в СР" (комплексном проективном пространстве) глобально минимальными подмногообразиями являются комплексные подмногообразня $Р'. Кзлеровым многообразием является также комплексное зрмитово пространство $", а потому любое комплексное подмногообразие Х в $" минимально относительно любых возмущений, неподвижных вне некоторой ограниченной области в Х. Напомним, что все комплексные подмногообразия в 6" некомпактны. Перейдем теперь к доказательству теоремы. Лемма 2.6.1.

Для произвольной внешней 2-формы в на мь" можно выбрать пикой ортонормированный базис е,,..., е,„, в котором форма в имеет вид )чв, Л в,+...+Х„вь,, Л вв„, где Хм ... ..., "л„— неотрицапмльные числа, а в„..., в,„— базис, сопряженный к базису ем ..., е,„в Р'". Доказательство. Рассмотрим в Р" произвольный ортонормированный базис е;,..., е,'„.

Для заданной 2-формы в построим матрицу А = (ау), где ау = в (е~, е)). Назовем матрицу А матрицей, ассоциированной с формой в. Поскольку форма в полностью определяется своими значениями на базисных векторах, то она полностью определяется своей матрицей А (с указанием соответствующего ортонормированного базиса е'„ ..., е,',). Ясно, что А — кососимметрическая матрица.

Следовательно, для А существует такой ортонормированный базис еь, ..., еь„ в котором матрица А принимает вид где Х» ..., к„— неотрицательные числа, Пусть в„..., вж — со- % я ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ нряженный базис к базису ем ..., е,„. Очевидно, что ьэ ° "ьаа Л «1,ы. Лемма доказана. сс НЗ..., 2л — 1 Лемма 2.6.2. Пусть в пространопве Р" =С" задана врмишова метрика (у1~). Пустпь, далее, ь3 — внешняя 2-форма, соответсп1ву1ои1ая метрике у11, т, е. определяемая формулой 33(ом оь) = 1 „! -П~ 3 и;-„'-е А Л...А, т Д. нсно неравенство ~аь(о„..., о,„) ~п=1, где о,, ..., оьь — произвольная ортонормированная система векторов в Р".

Кроме того, равенство ( о„(ом ..., О,А) ~ 1 достигается тогда и только тогда, когда о„..., оьь порождают комплексное надпространство в Р" (т. е. когда веи(ественная линейная оболочка векторов о„..., о,ь инвариантна относительно умножения на 1). Доказательство. Рассмотрим случай1 й=!. Пусть о„о,ен 3ц)13" — ортогональные векторы длины !. Ясно, что (33(о,, о,) ~= =-! (1ом оь) ~ ~ ! 1о3 ~ ~ оь( 1.

Равенство достигается тогда и только тогда, когда + о, 1о„т, е. векторы ом о, порождают комплексное одномерное подпространство (вещественной размерности 2). Рассмотрим теперь общий случай. Пусть У с=мь" — подпространство, порожденное векторами ом ..., оьь. Обозначим сужение 33~Я через й. Согласно лемме 2.6.1 можно выбрать ортонормированный базис е„..., е,ь и подпространстве У и сопряженный ему базис ы„..., ьэ,ь так, что (ь Х,ГЭ,ЛЕ33+...+) АЕ133 1/~гьям где ХА — неотрицательные вещественные числа.

Ясно, что 61(еь м еья) Хр (! е;рн=й). Отсюда, согласно случаю й 1, получаем, что)1, ~1, причем йв 1 тогда и только тогда, когда 1 1е, .3* -~-еья. Обозначим ограничение формы о, = —, оэь на подпространство У через о„. Тогда ! ЬА (е„..., е,ь) ! ~ „—, ьэь (е,, ..., е,ь) ~ == АА...ХА~ 1; равенство достигается тогда и только тогда, когда ХА= 1 (1н-:рн-:й), т. е.

когда 1е,,=1 еАР (1( ра='я). Последнее равенство в точности означает, что У вЂ” комплексное подпространство пространства Р". Лемма 2.6.2 доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.6.1. Пусть 1р — внешняя форма степени 1 на Р", а У вЂ” линейное 1-мерное подпространство пространства )сь"; пусть о„ ..., о, и о;, ..., о1 — произвольные Ортонормированные базисы пространства У одного класса ориентации. Из закона преобразования 1-мерной внешней формы в 1-мерном пространстве (а именно: умножение на определитель линей- ИОГО преобразования) сразу следует, что 1р (о1~ ° ° ° ~ о1) =1р (о1 ~ "° ~ о1) Поэтому форму 1р можно корректно определить как функцию на множестве классов ориентированных ортонормированных базисов одного и того же надпространства (при изменении подпространства будет меняться и функция 1р).

Другими словами, 1-форма 1р на евклидовом пространстве Р" определяет функцию (обозначаемую зв пгостеишив кллссичвскив вхгихциоииыв злдхчи 1гл.1 той же буквой у) на вещественном многообразии Грассмаиа б,„, ориентированных 1-мерных подпространств в Р". Класс ориентированных ортонормированных базисов подпространства ч', т. е. точку из бз„,о обозначив через ч'. Пусть теперь М вЂ” комплексное подмногообразие в )Р н пусть Р— бордизм-вариация. Обозначим, как и прежде, через Т„(М) (соответственно Т„(Р)) касательное пространство к подмногообразию М (соответственйо Р) в точке х (соответственно у). Пусть Š— подмногообразие в йт такое, что дЯ=МО( — Р) (рис. 10).

Пусть е= — дуй'ДбФ вЂ” оп- 1 ределениая выше замкнутая 2-форма на йУ, и пусть из= —,в". Рис. 1О. Тогда, очевидно, и Ыа~=О. По формуле Стокса имеем О ~Ыпз = ~ о" ~ а, ~ аз — )ам т. е.~оз ~омОбозначим2й-мер- дх мц(-Р) м Р м Р ные внешние формы объема подмногообразий М и Р через бх и бу соответственно.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее