А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 8

Определение 2.5.3. Подмноеообразие Мс:В' называется вполне геодезическим, если каждая геодезическая многообразия М (относительно риманоеой структуры и связности,' индуцироеанной объемлющей римановой метрикой) является геодезической в многообразии Ф'. Т е о р е м а 2.5.2.

Подмногообровие М с: (Р является вполне геодезическим тогда и только тогда, когда его вторая фундциенпииьная форма тождесп!генно обращается в нуль. Докгзательство, Обращение в нуль второй фундаментальной формы, очевидно, эквивалентно (см. определение выше) тому, что совпадают параллельные переносы относительно римаиовых структур на М и на (Р; поскольку геодезические могут быть определены как траектории, поле скоростей которых сохраняется при параллельном переносе (см.

(2)), то отсюда и следует, что каждая геодезическая на М является геодезической и с точки ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕП зрения объемлющего многообразия В'. Обратно, если М вЂ” вполне геодезическое подмногообразие, то из равенства В(х, у) =(е„'т ) (см. лемму 2.4.4) получаем:  — О. Теорема доказана. В дальнейшем мы подробно изучим класс вполне геодезических подмногообразий, реализующих топологически нетривиальные гомотопические или гомотопические классы в симметрических пространствах. 2.6, Первые примеры глобально минимальных поверхностей. В качестве простейшего случая рассмотрим свободные гомотопичсские классы замкнутых петель на римановом многообразии %'. !рассмотрим класс кусочно-гладких отображений 1: 5'-».

К7 окружности 5' в 67, гомотопных друг другу. Тогда легко доказать, что среди этих отображений существует такое отображение 1о, для которого длина траектории (о(5') является наименьшей по сравнению с длинами кривых 1(5'), где 1' гомотопно )о. Другими слетами, если ~р 5'- 1(7 — произвольная гладкая гомотопия отображения го, т.

е. вариация произвольной величины, то длина ~раектории ~,(5') не меньше длины )о(5'). Это означает, что функционал длины достигает своего абсолютного минимума в данном гомотопическом классе на отображении (о. В качестве второго, более нетривиального примера рассмотрим комплексные подмиогообразия в кэлеровом многообразии. В качестве вариаций (деформаций) подмногообразия М мы рассмотрим значительно более широкий класс, чем описанный выше (гомотопии). Определение 2.6.1.

11усть МА ~ (Р'о — гладкое компактное ориентирусмое замкнутое подмногообразие. Мы скажем, что задана его бордизм-деформация, если задано (й+ 1)-мерное гладкое компактное ориенпгаруемое подмногообразие У' ' с краем -Р— дЛ -- М 0( — Р), где'Р— некоторое гладкое компактное ориснтирусмое замкну- г:,!! ! '; .': п»ое подмногооброзие (плснка) в ЕТ (че- '' .,;:О ,'' рсэ — Р обозначено это многообразие Р с обратной ориентацией, индуцируемой на Р ориентацией многообразия Х) (рис.

9). м Многообразие Р назовем бордизм-вариацией многообразия М, В случае неком- Рис. 9. пактного подмногообразия М с: Ф' будем говорить, что задана его бордизм-деформация, если в %' задано подмногообразие (пленка) Р, совпадающее с М вне некоторой компактной области и, кроме того, задано (й+1)-мерное подмногообраэие Л с кусочно-гладким краем дЯ~ М 0( — Р). Напомним, что комплексное многообразие В' называется кэлеровым, если его риманова метрика дуйг'йТТ (где г', ..., г" — локальные координаты) определяет замкнутую внешнюю дифференциальную форму степени 2 о» = ' дц йг» гт йо'. 2 А. Т. Фоме»ко З4 ' пьостеишие клхссичвскив влюыционныв зхдхчн ~гл.

~ Тео рема 2.6.1. Пусть %' — кзлерово многообразие комплексной размерности и, М с:. Ф' — его комплексное й-мерное подмногообразие. Рассмотрим всевозможные вещественные бордиэм-деформации этого подмногообразия в многообразии (Р, т. е, питие бордизм-деформации, ипо пленка Р"" — вещеапвенное (2й+ 1)-мерное подмногообразие в %', пусть Р™ — бордизм-вариация подмкогообразия М.

Тогда объем чо1ы(М) подмногообраэия М не больше объема чо!ьь(Р), если М и Р™ — компактны; если же М и Р не- компактны, то имеются в виду объемы тех областей (на М и на Р), где М и Р различны (не совпадают). Более того, если объем Р совпадает с объемом М, то подмногообраэие Р также комплексное (в многообразии й7). Таким образом, в кзлеровых многообразиях компактные комплексные подмногообразия являются глобально минимальными подмногообразиями (т. е.

зкстремалями многомерной вариационной задачи на минимум объема), Так, например, в СР" (комплексном проективном пространстве) глобально минимальными подмногообразиями являются комплексные подмногообразня $Р'. Кзлеровым многообразием является также комплексное зрмитово пространство $", а потому любое комплексное подмногообразие Х в $" минимально относительно любых возмущений, неподвижных вне некоторой ограниченной области в Х. Напомним, что все комплексные подмногообразия в 6" некомпактны. Перейдем теперь к доказательству теоремы. Лемма 2.6.1.

Для произвольной внешней 2-формы в на мь" можно выбрать пикой ортонормированный базис е,,..., е,„, в котором форма в имеет вид )чв, Л в,+...+Х„вь,, Л вв„, где Хм ... ..., "л„— неотрицапмльные числа, а в„..., в,„— базис, сопряженный к базису ем ..., е,„в Р'". Доказательство. Рассмотрим в Р" произвольный ортонормированный базис е;,..., е,'„.

Для заданной 2-формы в построим матрицу А = (ау), где ау = в (е~, е)). Назовем матрицу А матрицей, ассоциированной с формой в. Поскольку форма в полностью определяется своими значениями на базисных векторах, то она полностью определяется своей матрицей А (с указанием соответствующего ортонормированного базиса е'„ ..., е,',). Ясно, что А — кососимметрическая матрица.

Следовательно, для А существует такой ортонормированный базис еь, ..., еь„ в котором матрица А принимает вид где Х» ..., к„— неотрицательные числа, Пусть в„..., вж — со- % я ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ нряженный базис к базису ем ..., е,„. Очевидно, что ьэ ° "ьаа Л «1,ы. Лемма доказана. сс НЗ..., 2л — 1 Лемма 2.6.2. Пусть в пространопве Р" =С" задана врмишова метрика (у1~). Пустпь, далее, ь3 — внешняя 2-форма, соответсп1ву1ои1ая метрике у11, т, е. определяемая формулой 33(ом оь) = 1 „! -П~ 3 и;-„'-е А Л...А, т Д. нсно неравенство ~аь(о„..., о,„) ~п=1, где о,, ..., оьь — произвольная ортонормированная система векторов в Р".

Кроме того, равенство ( о„(ом ..., О,А) ~ 1 достигается тогда и только тогда, когда о„..., оьь порождают комплексное надпространство в Р" (т. е. когда веи(ественная линейная оболочка векторов о„..., о,ь инвариантна относительно умножения на 1). Доказательство. Рассмотрим случай1 й=!. Пусть о„о,ен 3ц)13" — ортогональные векторы длины !. Ясно, что (33(о,, о,) ~= =-! (1ом оь) ~ ~ ! 1о3 ~ ~ оь( 1.

Равенство достигается тогда и только тогда, когда + о, 1о„т, е. векторы ом о, порождают комплексное одномерное подпространство (вещественной размерности 2). Рассмотрим теперь общий случай. Пусть У с=мь" — подпространство, порожденное векторами ом ..., оьь. Обозначим сужение 33~Я через й. Согласно лемме 2.6.1 можно выбрать ортонормированный базис е„..., е,ь и подпространстве У и сопряженный ему базис ы„..., ьэ,ь так, что (ь Х,ГЭ,ЛЕ33+...+) АЕ133 1/~гьям где ХА — неотрицательные вещественные числа.

Ясно, что 61(еь м еья) Хр (! е;рн=й). Отсюда, согласно случаю й 1, получаем, что)1, ~1, причем йв 1 тогда и только тогда, когда 1 1е, .3* -~-еья. Обозначим ограничение формы о, = —, оэь на подпространство У через о„. Тогда ! ЬА (е„..., е,ь) ! ~ „—, ьэь (е,, ..., е,ь) ~ == АА...ХА~ 1; равенство достигается тогда и только тогда, когда ХА= 1 (1н-:рн-:й), т. е.

когда 1е,,=1 еАР (1( ра='я). Последнее равенство в точности означает, что У вЂ” комплексное подпространство пространства Р". Лемма 2.6.2 доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.6.1. Пусть 1р — внешняя форма степени 1 на Р", а У вЂ” линейное 1-мерное подпространство пространства )сь"; пусть о„ ..., о, и о;, ..., о1 — произвольные Ортонормированные базисы пространства У одного класса ориентации. Из закона преобразования 1-мерной внешней формы в 1-мерном пространстве (а именно: умножение на определитель линей- ИОГО преобразования) сразу следует, что 1р (о1~ ° ° ° ~ о1) =1р (о1 ~ "° ~ о1) Поэтому форму 1р можно корректно определить как функцию на множестве классов ориентированных ортонормированных базисов одного и того же надпространства (при изменении подпространства будет меняться и функция 1р).

Другими словами, 1-форма 1р на евклидовом пространстве Р" определяет функцию (обозначаемую зв пгостеишив кллссичвскив вхгихциоииыв злдхчи 1гл.1 той же буквой у) на вещественном многообразии Грассмаиа б,„, ориентированных 1-мерных подпространств в Р". Класс ориентированных ортонормированных базисов подпространства ч', т. е. точку из бз„,о обозначив через ч'. Пусть теперь М вЂ” комплексное подмногообразие в )Р н пусть Р— бордизм-вариация. Обозначим, как и прежде, через Т„(М) (соответственно Т„(Р)) касательное пространство к подмногообразию М (соответственйо Р) в точке х (соответственно у). Пусть Š— подмногообразие в йт такое, что дЯ=МО( — Р) (рис. 10).

Пусть е= — дуй'ДбФ вЂ” оп- 1 ределениая выше замкнутая 2-форма на йУ, и пусть из= —,в". Рис. 1О. Тогда, очевидно, и Ыа~=О. По формуле Стокса имеем О ~Ыпз = ~ о" ~ а, ~ аз — )ам т. е.~оз ~омОбозначим2й-мер- дх мц(-Р) м Р м Р ные внешние формы объема подмногообразий М и Р через бх и бу соответственно.