А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 3

Эти методы разработаны автором в [211 — [321, где содержится также решение многомерной проблемы Плато в терминах теории бордизмов (соответствующие результаты изложены в главах 2, 3, 6 настоящей книги). Особое внимание мы уделили применению указанных методов к анализу некоторых топологических и аналитических задач, например к исследованию унитарной и ортогональной периодичности Ботга (см. главу 5).

За рамками книги остались теории интегральных потоков, цепей и варифолдов, изложенные, например, в [171, [201, [411, [42). Расположение материала и вся архитектура книги основаны на спецкурсе, который читался автором на механико-математическом факультете МГУ для студентов н аспирантов. При изложении материала мы старались определять и комментировать все основные понятия, используемые в тексте, не стремясь, однако, к полному самообеспечению. В частности, предварительное знакомство читателя с основными геометрическими идеями, изложенными в книге [21, облегчит усвоение излагаемых методов и результатов.

Конструктивные теоремы существования глобально минимальных решений сформулированы нами в первых главах книги, поскольку на них основаны некоторые дальнейшие конструкции, но доказательства этих теорем помещены в последнюю главу 6, чтобы не прерывать естественное развитие событий, при котором из самого факта существования минимальных решений сразу извлекаются важные топологические и геометрические следствия.

В первой главе излагаются основные понятия многомерного варнационного исчисления — уравнения Эйлера †Лагран, свойства экстремалей функционалов риманова объема и Дирихле, уста- 1о пгедислоэиа навливаются взаимоотношения между локальной и глобальной минимальностью. Вторая глава посвящена постановке и решению многсмерной проблемы Плато в терминах экстраординарных теорий (ко)гомологий, в частности в терминах теории бордиэмов.

Здесь приведены формулировки основных теорем существования глобально минимальных поверхностей н краткая схема доказательства (полное доказательство изложено в заключительной главе 6). В третьей главе разработан геометрический метод эффективного обнаружения глобально минимальных решений в конкретных геометрических ситуациях. Оказывается, для любого рнманова многообразия можно вычислить точную универсальную оценку снизу на объем любой топологнчески нетривиальной минимальной поверхности, что позволяет в целом ряде случаев устанавливать глобальную минимальность конкретных подмногообразнй, например в симметрических пространствах.

Четвертая глава содержит полную классификацию локально минимальных вполне геодезических подмногообразий, реализующих нетривиальные (ко)циклы и элементы гомотопических групп в симметрических пространствах. Зто, в частности, ' дает классификацию стационарных точек функционала Дирихле иа пространствах отображений дисков в симметрические пространства. Разработанный аппарат позволяет получить, известную топо- логическую периодичность Ботта, исходя из экстремалей двумерного н восьмимерного функционалов Дирихле, не в два или восемь шагов, как это получается при использовании теории Морса для геодезических, а в один шаг (см. главу 5).

В этой же пятой главе рассматриваются три известные геометрические задачи вариационного исчисления: задача нахождения минимальных решений, инварнантных при действии некоторой компактной группы Ли (и задача о конусах); задача о существовании нелинейных функций, графики которых в евклидовом пространстве являются минимальными поверхностями; задача реализации при помощи гармонического отображения гомотопических классов отображений сферы в сферу. В шестой главе содержится подробное изложение методов минимизации функционала стратифицированного объема и конструктивного построения глобально минимальных решений, что и позволяет решать задачу нахождения экстремалей в любом топо- логическом вариационном классе. Здесь мы приводим полное доказательство основной теоремы существования глобально минимальных поверхностей нетривиального топологического типа в произвольном классе бордизмов.

Разработанные методы позволили эффективно описать топологию и геометрию многих конкретных минимальных и гармонических поверхностей в римановых многообразиях. гп едисловив В списке литературы мы выделили книги учебного характера я более специальную литературу, которой читатель может пользоваться для дальнейшего изучения изложенных в книге вопросов. 1снига рассчитана на студентов и аспирантов математических отделений университетов, а также может быть полезна для читателей, интересующихся вопросами минимизации многомерных функционалов с точки зрения приложений. Автор надеется, что настоящая книга в некоторой степени восполнит пробел, имеющийся в отечественной литературе по вопросам современного многомерного варнационного исчисления.

А. Т. фоменко НЕКОТОРЫЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ««- поле вещественных чисел. $ — поле комплексных чисел. Й вЂ груп (кольцо) целых чисел. 2» — группа (кольцо) вычетов по модулю р. М" — объемлющее риманово многообразие. (,) — скалярное произведение. А'-', У'-' — граница, «контур», (и†1)-мерное гладкое под- многообразие. Я7» — пленка с <границей» А или г"; Х ~(йг) — образ много- образия йг при отображении ~: (Р-~М.

А — категория абелевых групп. АВС вЂ” категория компактных абелевых групп. Р' — категория конечных клеточных комплексов и пар ком- плексов. 6Р( — категория конечномерных векторных пространств над полем Р. 6)« — категория )«-модулей над кольцом )«, 6Р— категория векторных пространств над полем Р. Ь»(Х, А) †максимальн граница пары (Х, А) в размерности й для теории л,. 7<(Х, А) †максимальн кограница пары (Х, А) в размер- ности й для теории Л', 'В= ЦА, Е, 1,'), <» Ь(А, Х) — вариационные классы.

6, 0 — алгебры Ли, 6, Й вЂ” соответствующие односвязиые группы Ли. В тех случаях, когда одновременно употребляются как алгебры, так и группы Ли, для групп Ли иногда исполь- зуется обозначение 9, ф. Глава 1 ПРЦСтцй1НИП КЛЛССИЧПСКИП ВЛРИЛЦИОННЫИ ЗЛДЛЧИ и 1.

Уравнения знстремалей функционалов Вариационные задачи — один из важнейших классов математических задач, ведущих свое происхождение от механических и физических проблем движения и устойчивости. Тан, например, геодезические линии, минимальные (мыльные) пленки, натянутые на контур, уравнения движения механических систем и т. д. являются решениями соответствующих вариационных задач. Начнем с общего понятия функционала. Рассмотрим в евклидовом пространстве Р ограниченную сбласть 0 с гладкой или кусочно-гладкой границей д0; пусть х', ..., х"-декартовы ноординаты в Р; рассмотрим на 0 всевозможные гладкие вектор- функции ! (х', ..., х") ! (х ) = (ф (к"), ..., !" (х')) (!' (х")), 1~(~п.

Область 0 будем называть областью изменения параметров х', ..., кв. Пространство Г г(0) всех таких векторфупкций естественно снабжается структурой линейного пространства над полем вещественных чисел Я; зто пространство «бесконечиомериое», так как нельзя выбрать конечного набора функций, по которым, как по базису, разлагалась бы (с постоянными коэффициентами) любая вектор.функция. Мы будем рассматривать на атом пространстве г различные функционалы 1. При работе с функционалами полезно иметь в виду некоторую аналогию со свойствами обычных функций, которую мы опишем ниже. Пусть задана. гладкая функция Е(хв, р', д'„) от трех групп переменных: хз, р', д'„, 1~а, (1ч-К 1~(~л.

Эту функцию Е назовем лагранжиаиом. Построим функционал 1[!1, где ! ы Г (О), по следующему правилу; !и ~1.(хв, !'(хв), !',(хз))йт„, где о Я [ обозначает й-кратный интеграл по й-мерной области О, ~Ь, ах' /1 ... /1 Их' — стандартная А-мерйая форма евклидова объема в Р. Сокращенно будем записывать 1 [Д ° так: 1 Щ = г)1.(хз, /', Гв))йа», опуская аргументы у /' н ~~, где /',* о ' ' к' з~ дг' у„-з — частные производные. 1 пр р; в~щ м а ау (у ь<тю)!в~Ф, а о 0 [О, 1) с- 1~т, А 1, у (1) 1(1) (у (!), ..., у" (1)) — кривая в Р", снабженном римановой метрикой уу(у); кан всегда, в тензориой записи, мы считаем, что по повторяющимся верхним и Ы ПРОСТЕЙШИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ лГЛ. Р нижним индексам производится суммирование.

Здесь лагранжиаи ЕВ'1 имеет вид Е ьр'у', —.;~ 3л'йу(у)у'уг. Если кривая у(1) на пло- скости )1» задана в явном виде: у )(1), то 1.=1.(9=)лк1+(~~)' пр р: Чр л* лл !РЗ-~~Чтч:Рл л. л 'о параметры и, О изменяются в области 1) на плоскости ЙР», а отображение 1: 0- ~» задает двумерную поверхность М» ~) Ра, снабженную иидуцированной римановой метрикой пе»= Е «(и» + + 2Ег(иРЬ+6Й~»; Е=(гч, 1к), Е=(ги, Г'р), б=(Г'р, Г'); здесь 1.=1.(гч, 1,). Если поверхность М'с:»;» задана в виде графика г е(и, о), т. е. 1(и, о)=(и, о, е(и, О)), то 1[11= = л1Зл ррл 1+Е„" —,' Е„'С(и дО, 'о При изучении функционалов нас будут в первую очередь интересовать их «критические точким Обратимся к аналогии ВВ«Вринричнвв л л --;л ар«а Выраиреннае нрчрриче- анав лика первачи,г йв«»рра»«Венк»а криаричавнив врвчкч Рис. 1. с обычными функциями, например, рассмотрим функции одной или двух переменных: с«(1) или с«(и, О).

В большой степени поведение функции определяется количеством и расположением тех точек 1« (или точек (пар оа)), в которых ач'(1«)=0 (или а„(иа, Оа) а,(пал Па) О), т. Е, яГаб(СС)=0, ТаКИЕ ТОЧКИ, В КО- торых Его(сс)=0, обычно называются критическими или стационарными точками функции сз. Для функции двух переменных среди критических точек содержатся, например, точки максимума, минимума и невырожденные седловые точки (рис.