А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 4

1). В механике знание тех точек, в которых потенциальная энергия достигает минимума, имеет важное значение для нахождения равновесия механической системы. Аналогично, при изучении функционалов вида 1 Я большое внимание уделяется нахождению тех стационарных «точек»вЂ” фУнкций 1», в котоРых фУнкционал Достигает минимУма, максимума или имеет седловую точку, Для точного определения нужно сначала понять, что такое «производная по направлению» от функционала 1 в некоторой «точке» 1«п Р.

Нужно получить аналог уравнения йгаг((а) = О, Если в некоторой точке (иа и«) Е )~» уРАВнения экстРемАлеи >»ункпнонхлое задано некоторое направление а= (а', а'), то производная функции а(и, о) по направлению а имеет вид — ='а, йгад(«с)) = ва =а'>х,+а»а,. Таким образом, в случае обычной функции точка (и,, о«) является критической тогда и только тогда, когда Ыи(ОО, ОО) ')=.О для любого направления а При этом производная Оа ви может быть вычислена так: — =!нп-[а(х+еа) — а(х)), Оииз .

! да ЛО«ОО где х (и, о)ы)>». Именновтакой форме мы и обобщим понятие производной по направлению на случай функционалов. Рассмотрим «точку» 1«н Р(0) и вектор- .". „.::,.;:.:,::,:;::!;.':,'",,",.„'у >(г) функцию Ч яР(0), достаточно малую и такую, что «),'го ем О (иногда требуют, чтобы ц~ О в окрестности д1)). Такие функции и мы будем называть возмущениями функции 1.

Сместнмся г+«ч нз «точки» 1 в «точку» 1+ег! (рис. 2), т. е. рассмотрим малое возмущение исходной функции 1. Функция т) задает «направление смещения» из «точки» 1 (как вектор а задавал направление смещения из точки (и, о)). Построим следующее выражение: — (1 [1+ ат)1 — 1[1]). Переходя ! Р ~1 !11 к пределу, получаем функцию, которую обозначим через— ! = !!пт — (1[1+а«)! — 1[9 и назовем «производной функционала «О в! !1! 1 в точке 1 по направлению тр. Иногда функцию — — представляют в виде —,— 1-6)-, дада„, где 6~=«)=(«)'. " «)')> а вектор О ! О[! !, определяемый предыдущим равенством, называют вариацйонйой производной функционала 1[11.

Развивая далее аналогию с обычными функциями, дадим следующее О п р е де л е н и е 1.1. Функцию 1« я Р назовем стационарной (или вкстрвмальной, критической) функцией для функционала 1, если — ~ 0 для любого возмущения 61 = г) ав Р такого, ипо 6! (1а! 61 «) — 0 в окрестности границы д1). ЬЮо! Перейдем к аналитическому исследованию производной Имеем 61 61 [[1-1у+ 1 — 1[Я- ) [1.(ха; [>+агу; Р„+В«Г.) а — 1,[хз; Р! /',)]йо». 1а пзоотвишие кллссичаскив влеилционные злдлчи 1гл.

~ Разлагая подынтегральное выражение в ряд Тейлора, получаем » Ю» в у ! 1а ! /*а а7г Ч + ~ 1 Ч» Й~»+ ~ о (з)~(п». о Интегрируя по частим, получаем 61П» к ~ ~ ~~ — ", „)ы„» Ьа 1 ~!ка +з ~ ~~~~ ~-/т — ~ ~— „, ~ — ~~Ч'йа»+ ~ о(е)пп». д/ д а/~ Ь Так как мы считаем все участвующие в вычислениях функции гладкими (или кусочно-гладкими), то в первом интеграле интег- рирование по переменной х» можно отделить от интегрирования по всем остальным переменным х', ..., хе, ..., х» (в силу теоремы о перемене порядка интегрирования). Знаком " мы указываем пропущенную координату.

Получаем д /да г ~7а/а. М (точки Р и Я зависят от х', ..., х", ..., х', до„, Их» Д ... о ... /1 Ь" /~... /~ Их»). Поскольку во внутреннем интеграле ~ пе- Р ременные х', ..., х", ..., х» можно рассматривать как параметры, то / — Ч~ "о» Ч' Ч~ ~т~~О так как Ч'(9 Ч'(Р) О (см. выше). Итак, л » ыщ- ) ~(,, — ~ ~(,— „)1~~'ю;<-~.~»и,. 1аь - а ~а1,~1, Отсюда: так как 1!т — о (а) йт» О. 1 Г ° зз ~ геометэия экстгемллен ь я Если 1ь я )г — стационарная (экстремальная) функция для функпиоиала 1Щ, то для любой функции т1 (где т1=0 около д0) выполнено тождество откуда НЩ д1. чт д / В1.

— — — ~~ — ~ — ~1 - О (1 ~ 1 ~ л). оу в(',? в ',в~' у и ~ ь,*/ Эта система дифференциальных уравнений называется системой уравнений Эйлера — Лагранжа для функционала !. Оформим предыдущие результаты в виде теоремы. Т е о р е м а 1.1, Функция (ь ~ г является экстремальной функцией для функционала (Щ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений Эйлера — Лагранжа..

$ 2. Геометрия экстремалей 2.1. Нульмерный и одномерный случаи. В случае обычных функций 1(х), рассматриваемых на гладком многообразии М", уравнение экстремальных (критических) точек функции 1 имеет вид йгай~=О. Если все критические точки невырождены (т. е. невырожден гессиан функции 1; см., например, [11), то тогда, оказывается, топология многообразия М в значительной степени определяется количеством критических точек н их индексами; во всяком случае можно выяснить, из каких клеток склеено это многообразие, Соответствующая процедура описывается теорией Морса, изложенной, например, в [11. Следующий шаг (по размерности вариационной задачи) приводит нас к функционалам, определенным на пространстве гладких (или кусочно-гладких) кривых.

К числу важнейших одномерных функционалов принадлежат функционалы длины ь (ь (у (1)) ~ У'йиуь(е й( ь и действия ь Зь (у (1)) - Г„йуу(В йг, л определенные на пространстве кусочно-гладких кривых в римановом многообразии. Экстремалями этих функционалов являются геодезические, отнесенные к натуральному параметру (в случае функционала действия), и геодезические, отнесенные к произвольному (кусочно-гладкому) параметру (в случае функционала !6 ' пгостаишиз кл«ссичаские вхги«пионныг. з«д«чи ~гл.

~ длины); (см., например, 121). И в этом случае знание зкстремалей этих функционалов позволяет в значительной степени восстановить топологическую структуру многообразия, на котором рассматриваются кривые и функционалы. «Одномернаяз теория сложнее «нульмерной», так как здесь приходится иметь дело с сопряженными точками вдоль геодезических, индекс которых вычислять сложнее, чем индекс критической точки в случае гладких функций. В настоящей кинге мы будем рассматривать многомерные функционалы (в основном функционалы площади и объема), для которых размерность 0 (см. $ 1) больше двух.

Это вызывает некоторое усложнение теории, но получаемые результаты оказываются зато более гибкими с точки зрения приложений. В дальнейшем мы будем четко различать понятия локальной минимальности и глобальной минимальности. В одномерном случае имеется, вообще говоря, много геодезических (разной длины), соединяющих две фиксированные точки Р и Д на римановом многообразии М.

Все эти траектории, как известно (см., например, 121), локально минимальны, т. е. являются кратчайшими траекториями между любыми своими двумя достаточно близкими точками; с другой стороны, глобально минимальными траекториями, соединяющими точки Р и Я, являются только геодезические наименьшей длины. Например, стандартный экватор на стандартной двумерной сфере локально минимален (как одномерная зкстремаль), но не глобально минимален.

Понятие глобальной минимальности для функционалов объема мы определим ниже. 2.2. Некоторые примеры простейших многомерных функционалов. Функционал объема. В качестве первого примера рассмотрим так называемые мыльные пленки, возникающие в том случае, когда фиксирован некоторый проволочный замкнутый контур, являющийся границей мыльной пленки. Соответствующим математическим описанием таких поверхностей служат минималь; ные поверхности, Напомним определение функционала объема ' на римановом многообразии М". В простейшем случае, когда рассматривается открытая ограниченная область 0 с кусочно- гладкой границей в 1««, в качестве объема чо1„(0) берется интеграл ~ бх' /1... /1«(х" (см., например, [21). Если область 0 вложена о в гладкое риманово многообразие М" с римановой метрикой ял (х), то в том случае, когда область 0 содержится в одной карте (/, в качестве чо1„(0) берется 1)/бе( А «(х' /1 ...

/1 «Ь", где А и ° (дц(х)) — матрица метрического тензора (определяющая первую квадратичную форму). Если же область 0 содержится в нескольких картах, то объем области определяется как интеграл от указанной внешней дифференциальной формы объема; при этом нужно фиксировать некоторое гладкое разбиение единицы; в курсе 19 геомвтеия экстгемхлен анализа доказывается, что от выбора этого разбиения обьем не зииисит. В частных случаях приведенное выше определение объема превращается в классические определения. Так, если М" = Я", л', ..., х" — декартовы координаты и аа бп, то, очевидно, получаем определение обычного евклидова объема области.

Далее, если М' — гладкое подмногообразие в Я" и ян †индупированкая риманова метрика, то указанное выше определение совпадает с другим интуитивным представлением об объеме поверхности. Рассмотрим на М" локальные координаты х', ..., х" (в пределах одной карты) н представим 0 в виде объединения бесконечно малых параллелепипедов Пь каждый из которых образован поверхностями уровня локальных координат, т.

е. поверхностями, задаваемыми уравнениями х' сопз1 (рис. 3). Тогда жгвсыыаз Рыс. 3. Рис. 4, можно считать, что чо1„(0) = Я чо! (П,). Докажем, что чо1„(П~) =:1'с(е(Адх'...ах", где через с(х'...,, с(х" обозначены длины ребер параллелепийеда Пь Рассмотрим векторы а,...,, а„, касательные к многообразию М" в точке хя 0 и являющиеся векторами скоростей координатных линий, проходящих через точку х. Обозначим через Й(ам ..., а„) параллелепипед, расположенный в касательной плоскости и натянутый на векторы а„..., а„. Тогда бесконечно малый параллелепипед П можно считать натянутым на векторы (с(х')ам ..., (~(х")а„(рис.

4). Докажем, что чо1„(!!) 3~ де(А; отсюда сразу будет следовать, что чо1 „(П) * чо! П ((дх') ам ..., (Их") а„) (чо1 Й (а,, ..., а„)) с(х1... ах" )Гете! А с!х'... ах'. В самом деле, рассмотрим в касательной плоскости к М" ортобаэис вь ..., е„, и пусть В: (ем ..., е„)-~(а„..., а„)-линейное преобразование в касательной плоскости, порожденное заданной нами выше криволинейной системой координат х', ..., х" и переводящее единичный куб в касательной плоскости в параллелепипед !! (а„..., а„).