А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 2

Г л л я а 6. Варвациоииые методы в некоторых тополвгическвх задачах 8 23. Периодичность Боттэ с точки эреиия мяогомервого фувкцвоивлв Дирихле Ю.1. Явное опнсэнне нзоморфнзме перноднчностн Воете для уннтзркой группы (194). 23.2. уннтврнвя перноднчность н одномерные функцнонз.

лм (196>. 23.3. Теорема перноднчнаств для уннтерной группм основана не двумерных вкстремзлях Функционале Днрнхле (196). 23.4. Теорема перноднчностн для ортогонзльной группы основвнв ве всюьынмернмх зкстреывлях функцнонелв Дкрнхле (202). 4 24, трв геометрические задачи вариецвоввого исчисладив ....... 24.!. Мяннмвльяые конусы н особые точки мнннмвльнмх поверхностей(207>. 24.2, зквнвврнентнея эедече плето (210, 24.3. предстввлевне экввверненткых особенностей в квчестве особых точек венккутмх мккнмельных поверхностей, вложенных в снмметрнческне простренстве <227>. Ы.4, 0 существоввннн нелннейных функцяй. графики которых в евклндовом прострел. стев являются мнкнмельнммн поверхностямн (232). М.6.

Гэрмонкческне отобрэження сфер в нетрнвнельных гомотопнческнх классах (2м). Г л э в э 6. Построение глобально мввимальиык поверхностей в вариациовиых классах й(А, Б, й'), й(А, Е)........... чч 26. Коюмологический случай. Вычисление когравицы нары (Х, А) ° * Ц (Х„А,) через кограиицы пвр (Х„А,) г 4 26. Гомологвческий случай. Вычвслеиие границы пэры (Х, А) = () (Х„А,) через тряпицы пар (Х„, А„) г й 27. Замкиутость, иивариавтвость и устойчивое)ь вариацвоииых классов 27.1.

3-перестройкн поверхностей в ркменовом многообрезнв (266). 27.2. Замкнутость вернецноквмх классов откоснтельво преаельнмх пера. ходов (267). 27.3. Инвврвентность верпецноннмх клессов относктелькп З.перестроек поверхностей (271).

27.4. Устойчнвость вермецновных классов (274). й 28. Общее изопериметричвское иеравеистзо................ 26.1 Выбор спецнельной системы коордвнет (279), ИЬ2. Сямплвцяельныв точнн поверхностей (236>. 26.3. Изопернметрнческое неравенство (261>, )86 >94 >94 207 2Я 260 266 ОГЛАВЛРНИИ ! 29. Минимизирующий процесс н вариациоппьщ классах 1!(А, !., й'), я(А, Е) 29.1. Мпнпмпэпрующзя последовательность поверхяостеа.

Функцнн плот. ности, связанные с поверхностямп (290). 29,2. Краткая схеме построения мвяпйнзпрующего пропесса (291). 29.3. Конструктивное псетроспнс мннвмвзнрующего процесса н доказательство его сходнмостн Первый шзг 1294). 29.4. нтороа н последующне шага в построения мнннвнзнруюшего процессе (303). 29.3. Теорема о соепаденнн ненменьюего стратнфнвнровзн. ного объеме с нанменьюп» Х-вептором в варнепнонном классе (30)с б 30. Свойства функций плотностн. Миянмвльность каждого страта по.

верхиости, полученной в процессе минимизации 30.!. Значеняа функцнн плотноств всегда не меньше еднннцм нз наждом страте н равно еднкнце только в регулярных точках (303). 3)гц кзждмз стрзт является гладннм мннвмальвым подмногообразнем, ю нсключекнен, быть может. множества особых тачек меры нуль (313). З 3!. Доказательство глобальной мннаьщльности построенных стратнфнцяроваиных поверхностей 31.1. Доказательство основное теоремы существовання глобально мнннмаль. !юв поверхности (319), 31.2 доказательство теоремы о савпаденнн нан. меньшего стратнфнцнровенного объема с нанменьшнм Х-аекторон а варна.

цковном классе (324). З 32. Фундаментальные (ко)циклы глобально минимальных поверхно. отей. Точнаи реализация я точная заклейка ........, .... 32.1. Теорема о фундаментельнмх (ко1цнклах (324). ЗЗЛ. Точная мнннмальная реализация н точная мнннмвльная зенлеака (323). к).з. Мппвмальные поверхности с гранвцеа, гомеоморфноа сфере РЗО). Литература . Предметный указатель 3(9 324 336 34! ПРВДИСЛОВИВ В настоящей кяиге изучается класс многомерных вариационных задач, связанных в основном с функционалами многомерного риманова объема и функционалом Дирихле, определенными па «подмиогообразиях с особенностями» в объемлющем римановом многообразии. Хорошо известен ряд принципиальных трудностей, возникающих при попытке развития качественных методов в вариационных задачах в тех случаях, когда область определения многомерна.

Аналогов теории Морса' для стационарных точек многомерных функционалов не существует даже в сравнительно простых примерах. )(зучение абсолютно минималь. иых (глобально минимальных) экстремалей затруднено тем, что для доказательства глобальной минимальности нужно рассматривать ие малые, а большие вариации, что требует разработки новых топологических и аналитических методов. Особенно ярко это обстоятельство проявилось при решении многомерной задачи Г!лато, потребовавшей не только «правильной постановки», но и внедрения новых аналитических идей, например понятия стрзтифицироваиного объема или вектора мер (см.

главу 2). Все зто привело к тому, что для решения вариационных задач типа Плато(минимизации функционала объема) потребовалось создать синтетический топологический и аналитический аппарат, находящийся на стыке нескольких математических областей: алгебраической топологии, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Физическая мыльная пленка, затягивающая фиксированный проволочный контур в трехмерном евклндовом пространстве, является моделью так называемой минимальной поверхности, т, е. любое достаточно малое возмущение втой пленки увеличивает ее площадь. Математическое доказательство существования такой пленки для любого спрямляемого контура в трехмерном пространстве и составляло содержание известной проблемы Плато з размерности два. Эта задача была решена Дугласом, Радо, Курантом (см.

обзор в (6)), Минимальная поверхность может иметь самопересечения и другие сингулярные точки, хотя, если контур не имеет особенностей, эта пленка допускает непрерывную пзраметризацию двумерным многообразием с краем, т. е. является ~ прззом этого многообразия при некотором непрерывном отобра- пРедислозив женин. Для поверхностей размерностей, больших чем два, была поставлена многомерная задача Плато: пусть в римаиовом многообразии М фиксировано замкнутое гладкое(и†1)-мерное подмногообразие-«контур» А, и пусть (Х) есть класс всех таких пленок Х (вложенных в М) с границей А, что каждая пленка Х допускает непрерывную параметризацию, т. е.

представима в виде образа некоторого многообразия с краем; другими словами, Х = 1(%'), где )Р' — некоторое й-мерное многообразие с краем д1(г, гомеоморфным А, и 1: Я7 -»-М вЂ” непрерывное отображение, совпадающее на крае д(Р' с фиксированным гомеоморфизмом дТ иа А; возникает вопрос: можно ли найти в классе (Х) такую пленку Х,, которая была бы в каком-нибудь разумном смысле минимальной пленкой? Если отбросить классическое понятие многообразия-пленки с краем и сильно расширить понятия пленки н ее границы, в частности забыть о параметризации пленок и рассматривать непараметризованные пленки, то тогда задача Плато может быть сформулирована на языке обычных цепей и гомологий, а именно: найти минимальную пленку, аннулирующую фундаментальный цикл многообразия-«контура» А.

В этой постановке решение задачи было получено в серии работ [16), [171, [361 — [461, Однако такой перевод задачи на язык обычных цепей и гомологий означал игнорирование вопроса о существовании минимального «многообразия с краем», поскольку из существования решения в классе обычных гомологий в общем случае не следует'существование минимальной пленки в классе (Х), т. е.

в классе пленок, являющихся непрерывными образами многообразий с краем, Основная трудность, возникающая прн попытке минимизации функционала й-мерного объема при й) 2 (в двумерном случае эта трудность отсутствует; см. обсуждение в 2 3), состоит в том, что в процессе деформации пленки, стремящейся занять положение с наименьшим объемом, в этой пленке начинают возникать склейки, схлопывания, приводящие к появлению кусков малых размерностей, не влияющих иа Й-мерный объем пленки, но играющих большую роль в топологической структуре пленки. Это приводит к необходимости рассматривать сразу все размерности (а не только одну, как это имеет место в постановке задачи в терминах цепей, см.

выше) и минимизировать ие только один старший объем, а все объемы меньших размерностей. Оказывается, зта задача может быть эквивалентно сформулирована на языке теории бордизмов (см. главу 2). Полное решение проблемы нахождения минимальной пленки в терминах образов «многообразий с краем» дано в цикле работ автора [211, [231, [24), [271, [291 — [321. При этом оказалось, что многомерная варнационная задача нахождения абсолютного минимума решается не только в классах обобщенных бордизмов, ио и в весьма широком классе краевых условий, определяемых произвольной так называемой экстраординарной теорией (ко)гомологий (см.

главу 2). Кроме того, удается решить и задачу пэедисловив реализации нетривиальных (ко)циклов с помощью поверхностей наименьшего объема. В книге излагаются следующие три основных направления: 1) доказательство конструктивных теорем существования глобально минимальных и топологически нетривиальных решений; 2) эффективное нахождение конкретных минимальных поверхностей (что является достаточно трудной задачей ввиду необходимости изучать большие, а не малые вариации); 3) установление связей между топологическими свойствами экстремалей многомерных функционалов типа функционала объема и функционала Дирихле и алгебро-топологическими свойствами тех римановых многообразий, на которых рассматривается данная вариационная задача. Современный аппарат многомерных вариационных задач весьма разветвлен, поэтому мы ограничились рассмотрением только тех вопросов, которые связаны с геометрическим методом построения многомерных экстремалей, с методом минимизации стратифицнрованного объема и методом вычисления топологических свойств экстремалей и их явного построения.