А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 9

Тогда ~ аз ~ оз(Т„М) бх, ~ пз ~ а,(Т„Р) Иу, м м Так как М вЂ” комплексное подмногообразие в йУ, т. е. Т,(М)— комплексное подпростраиство в Т,(В') С" = Р", то, согласно лемме 2.6.2, о,ф,М) е1, п,(Т„Р)~1 (напомним, что Р— не обязательно комплексное подмногообразие). Отсюда чо1(М) ~ бх= ~ о„(Ф М)г(х )а„(Ф„Р)г(ум )му=чо1(Р), м м Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана, Далее, очевидно, что равенство чо1 (М) =чо1 (Р) достигается тогда и только тогда, когда на множестве полной меры выполнено тождество оз(Т„(Р))~ 1. Согласно лемме 2.6.2 последнее тождество равносильйо тому, что Т„(Р) — комплексное подпространство для уев Р (для почти всех точек уев Р), т.

е. Р— комплексное многообразие в Яу. Теорема доказана. Из доказательства теоремы видно: предположение о том, что подмногообразия М с= %' являются неособыми; †несущественн ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ ат ограничение. Доказательство (в терминах подмножеств полной меры) проходит и для алгебраических комплексных поверхностей М ~ Ф' (т. е. поверхностей, задаваемых системой полиномиальцых уравнений иа Ф'), несмотря на то что такие поверхности могут иметь особые точки (например, конические точки ит.д.). В этом случае условие бордантности М и Р следует заменить более слабым отношением: М гомологично Р в группе Н,*(Ф', дМ), т. е. М и Р определяют один и тот же элемент в этой группе (Об этом подробнее — ниже).

В СР" подмногообразие Е,Р' (1 ~ (е ~ и) реализует образующую в группе Н„(ЯР", У)=У, и является глобально минимальным в этом гомологическом классе. Глава 2 МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИДЦИОННЫЕ ЗЛДАЧИ и экстРлогдинлвные теоРии (ко)гомологий В 3. Многомерная задача Плато ЗЛ. Классические постановки (о нахождении абсолютного минимума). После того, как двумерная задача Плато была решена (см. выше), возник вопрос о решении аналогичной вариационной задачи в более высоких размерностях.

Рассмотрим риманово многообразие М" и выделим в нем фиксированное (й — 1)-мерное гладкое компактное замкнутое подмногообразие — «контур» А»-'. Предположим, что существует компактное гладкое подмногообразие Х» ~ М" такое, что оно имеет своим краем подмногообразие А. Тогда определен риманов объем чо!» (Х)(оо. Рассмотрим класс (Х) всех таких подмногообразий Х, т. е.

дХ А, Х«=М. Вопрос: существует ли такое подмногообразие Х», объем которого был бы наименьшим, т. е. чо1»Х» —— !п1 чо!,ХУ Ясно, что в такой хм(х1 простейшей постановке ответ отрицателен, так как легко построить примеры, когда пленка Х, стремясь занять положение, отвечающее наименьшему объему, начинает склеиваться н минимум достигается не на подмногообразии, а на «поверхности с особенностями». Поэтому постановку следует уточнить, чтобы учесть эти естест» венные эффекты склеек. Рассмотрим всевозможные пары вида (йг, !), где йУ вЂ” гладкое компактное многообразие размерности Ф с краем дйу, гомеомор- фным Л, а 1: 77 - М вЂ” непрерывное .

~д' (или кусочно-гладкое) отображение, тождественное на крае дЖ', т. е. совпадающее с фиксированным гомеомор- ,' О-,!» физмом вложения !»: Л !»(А)с-М; в дальнейшем обозначение !» будем >' '»,',".'.,',!:" 3 а д а ч а А. Можно ли среди всех пар вида (Ж', 1), где %' — всевозможные многообразия с краем Л, Рвс. 11. а 1: %'-».М вЂ” отображения %' в М, тождественные на А, найти пару (йУМ 1») такУю, чтобы отобРажение !» или пленка Х» !» (ЯГ») — образ многообразия %'» в М вЂ” обладали бы разумными свойствами минимальности, в частности, чтобы чо1» (Х») ~ чо!» (Х), гдв Х 1(ву) — любая пленка из указанного выше класса (рис.

11)? Задача А является, тем самым, задачей нахождения абсолютного минимума по всем пленкам Х ~ М (всех возможных топо- логических типов), заклеивающим данный «контур» А ~ М. Э»1 МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО Под «разумными свойствами минимальности» образа Х, = ~,(ИУ») в М, в дополнение к неравенству но1(Х»)~УО1(Х), можно, например, понимать следующее свойство: существует нигде не плотное в пленке Х«подмножество 2 особых (сингулярных) точек такое, что каждая точка Р ен Х»'~2 обладает окрестностью У в М, для которой (Х»~,2) П У состоит из гладких подмногообразий У„ размерностей, не превосходящих й (максимально возможной размерности образа Х» — — г«((У»)), причем каждое У„является минимальным подмногообразием в смысле классической дифференциальной геометрии, т. е. вектор Н средней кривизны тождественно равен нулю.

Вторая задача является уточненной задачей о нахождении абсолютного минимума. в классе всех бордизм-вариаций (см. пункт 2,6) данного замкнутого подмногообразия У» ~ М". У/ Задача В. Пусть (У, д) — пара, где У У" — компактное замкнутое ймерное многообразие, д: У-»-М вЂ” его непрерывное (или кусочно-гладкое) ото- г бражение в М", Х -я(У) — образ У в М. Р(ы скажем, что пара (У', д') является - — --. Е бордизм-вариацией пары (У, и), если У существует компактное многообразие 2 с краем д2= У()('+ У') и непрерыв- Рас. 12, иое отображение Р: 2- М такое, что Р'Уа»»я, Р;'У аяя' (рнС.

12). МОЖНО ЛИ СрЕдИ ВСЕХ Пар (У, я) указанного вида найти такую пару (У», д»), чтобы образ Х„= -л»(У») обладал разумными свойствами минимальности, в частности, чтобы УО1»(Х«)(чо1»(Х), где Х=д(У) — любая пленка из указанного класса? Эта задача, как и задача А, является задачей о нахождении абсолютного минимума в классе всех бордизм.вариаций заданной пары (У, д). Ясно, что эта постановка является уточнением вариационной задачи, решенной в пункте 2.6 для случая комплексных подмногообразий в кэлеровом многообразии.

В задачах А и Б топологический тип варьируемой пленки может меняться, хотя и не произвольно. Класс бордизм-вариаций естественно возникает не только в задаче о нахождении абсолютного минимума (например, по всем пленкам, заклеивающим данный «контур»), но и при изучении поверхностей уровня гладких функций на компактном многообразии. Предположим, что гладкая функция а, заданная на многообразии М, является функцией Морса, т. е. асе ее критические точки невырождены; рассмотрим две произвольные поверхности уровня У =',а=с), У'= (а=с'), где с и с' не являются критическими значениями функции а (т. е. на поверхностях У и У' нет ни одной критической точки функции а); тогда, очевидно, многообразие У' получается из многообразия У 40 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И ЭКСТРАОРДИНАРНЫЕ ТЕОРИИ ~ГЛ.

Е бордизм-деформацией. Соответствующая пленка Е с де = У () ( — У') задается так: 2=(с(а(с'). 3.2. Классические постановки (о нахождении относительного минимума). Снова рассмотрим вариационную задачу с фиксированной границей А ~ М, где А — заданное (й — 1)-мерное подмногообразие (без края). Рассмотрим всевозможные пленки, ограниченные этим подмногообразием и получающиеся друг из друга непрерывной деформацией. Более точно, сформулируем задачу о нахождении минимума в гомотопическом смысле. Вада ча А'. Можно ли среди всех пар вида (ЕУ, 1), где йУ вЂ” некоторое фиксированное многообразие с краем А, а 1: Ж -». -« М вЂ” всевозможные непрерывные (или кусочно-гладкие) отображения, гомотопные некоторому фиксированному отображению ~' и тождественные на крае А (т. е.

совпадающие с фиксированным гомеоморфизмом А на себя), найти такую пару (Ю, 1»), чтобы .отображение )» или пленка Х»=1»(йУ) — образ (У в М вЂ” обладали бы свойствами минимальности, в частности, чтобы ео!А(Х») ~ ~то!,(Х), где Х=г()У) — любая пленка из данного гомотопического класса? Это — задача о нахождении минимума в каждом гомотопичесном классе; в этом смысле мы и говорим об относительном минимуме в отличие от абсолютного минимума задачи А, который должен отыскиваться среди всех гомотопических классов. Вадача Б'.

Можно ли среди всех отображений д: УА-» М' (где У вЂ” некоторое фиксированное многообразие), гомотопных некоторому исходному отображению /: У-»-М, найти такое отображение дм которое обладало бы свойством минимальности, в частности, чтобы чо!»п» (У) чо1»п(У), где й — любой представитель указанного класса отображений? В рамках задач А' и Б' мы рассматриваем задачу о нахождении минимума в гомотопическом классе заданного отображения (в случае А' — с фиксированным краем); в рамках задач А и В вариационная задача рассматривается в более широком классе допустимых вариаций, поскольку разрешено менять топологический тип пленки )У в задаче А и многообразия У в задаче Б, Четыре указанные задачи не следуют друг из друга; например, из существования минимального отображения в каждом гомотопическом классе не следует существование абсолютного минимума (т. е. минимума по всем гомотопическим классам в задаче о заклеивании фиксированного контура), равно как и наоборот.

Поэтому эти задачи надлежит рассматривать как различные; это разграничение подтверждается и отличием методик, приводящих к решению этих задач. Мы начнем с изучения задачи об абсолютном минимуме, поскольку во многих приложениях важно иметь информацию именно о наименьшей пленке, заклеивающей контур, при этом топологический тип этой пленки автоматически будет определяться условием абсолютной минимальности. Фиксн- многомвгн»я з»д»ч» пл»то 41 руем терминологию: задачи типа А и А' будем называть задачами «эаклейкн» (контура), а задачи Б и Б' — задачами реализации (например, нетривиального гомотопнческого класса).

В случае задачи реализации нетривиального класса особый интерес представляют поверхности без особенностей. Минимальные поверхности, которые мы обнаружим в этих задачах, назовем глобально минимальными (в отличие от локально минимальных, характеризующихся равенством нулю средней кривизны). Один нз возможных путей уточнения идеи минимизации отображения ! (задачн А н А') нлн отображения а (задачн Б'н Б') состоит в минимизации функцнонала Дирихле, рассматриваемого на этих отображениях. Этот путь иногда приводит к успеху в том случае, когда объемлющее многообразие М обладает дополнительной достаточно жесткой структурой, например является многообразнем отрицательной кривизны.