А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 13

Заведомо включающий в себя все возможные решения варнационных задач. Настоящий параграф носит технический характер и может быть опущен при первом чтении;, читатель может сразу перейти к постановке вариацнонных задач в терминах екстраорд«парных теорий. ф»1 (ко)гомологии *ПОВГРхностги с осозенностямиэ бз 4Л. Характеристические свойства теорий (ко)гомологий.

Пусть фиксирована некоторая допустимая категория К (см. 1101), и пусть каждой паре (Х, А) ен К и каждому уел, сопоставлена абелева группа И~~>(Х; А). Пусть каждому допустимому отображению ~: (Х, А)-«()', В) и каждому де=У, сопоставлен гомоморфизм 1»'"', определенный на И, (Х, А) (соответственио на Иг(У, В)), и пусть для (Х, А) я К определен (ко)граничный оператор д,: И,(Х, А)- И,,(А, ф) (соответствеино 6,: Ие-т(А, с0)-«И»(Х, А)). Потребуем, чтобы тройка (И,"'(Х, А); 1", д(б)) удовлетворяла шести аксиомам Стинрода — Эйленберга А1 — Аб.

А1. Если ~ыК вЂ” тождественное отображение, то 1„",'-тождественный гомоморфизм. А2. Имеем (д1),- й„1, (соответственно Щ'-~'й'). АЗ. (Ко)граничные операторы д(б) естественны, т. е. коммутируют с индуцированными гомоморфизмами 1„'". А4 (аксиома точности). Если (Х, А) ея К, то следующая последовательность точна: ...-«Ие(А, ф) — "И (Х, ф)-~кИ,(Х, А) в И,(А, ф)-«... (...»-Ие(А, ф) — "Ие(Х, ф))" Иг(Х, А) в Ив-1(А, ф)л „.), где гомоморфизмы 1',»' и 1,"' индуцироваиы вложениями.

А5 (аксиома гомотопии). Если отображения 1 и у гомотопны (В К), то ~» =й» Для приложений полезна следующая переформулировка: А5'. Пусть (Х, А) енК и др (Х, А)-»-(Хх!; АХ!) (1 0,1, а 1 — единичный отрезок), где й,(х) (х, О), д,(х) (х, 1). Тогда (йв)»" = (й»)»'"'. Аб (аксиома вырезания).

Пусть (Х, А) я К; У с Х, 0 с Хв открытые подмножества такие, что Р7с Ус-А ((',à — замыкание 0 в Х), и пусть вложение 1: (Х'~У; А'~,У)«(Х, А) допустимо. Тогда все гомоморфизмы 1',"' являются изоморфизмами. Полезна следующая переформулировка втой аксиомы; Аб'. Пусть Х=1п1(Х,)Ц1п1(Х,), где Х1 замкнуто в Х, н пусть вложение 1: (Х,; Х» П Х,)-«(Х, Хз) допустимо в К, Тогда все гомоморфизмы 1'„"' — изоморфизмы.

О п р е де л е и и е 4,1.1. Функтор И',"' 9 И<ра, удовлетеорлюи4ий аксиомам А1-Аб, будем называть зкстраореинарной теорией (ко)еомоеоеий на категории К со значениями е категории абевевмх ерукп АВ. Для использования языка функторов И~м в вариационных задачах потребуются функторы Й ( Иь"), удовлетворяющие более сильной форме аксиомы вырезания, а именно аксиоме Я. Аб (относительная инвариантность). Пусть /'. (Х, А) « -»-(У, В)-относительный гомеоморфизм (Х, А) на (У» В) (т, в.

ва вх»икцнон»!ыя злдхчи и экстгио»динканыв тео»ии !гл, » Х',А !-У~,В есть гомеоморфизм); тогда все гомоморфизмы /,"' являются изоморфизмами. Ясно, что если функтор Ь на К удовлетворяет Аб, то он удовлетворяет Аб ( Аб'); обратное, вообще говоря, неверно. Мы будем использовать еще один вариант аксиомы вырезания: Аб'. Пусть (Х, А, В) — допустимая тройка в К и Х А()В; й (А, А ПВ)-+-(Х, В) — вложение.

Тогда все гомоморфизмы 1»' являются изоморфизмами, Если функтор Ь удовлетворяет на К аксиоме А6, то он удовлетворяет и Аб', поскольку вложение (А, А ПВ)-~(А () В, В) — относительный гомеоморфизм. Обратное, вообще говоря, неверно. Если Ь на К удовлетворяет Аб', то он удовлетворяет и Аб. Обратное, вообще говоря, неверно. По»тому аксиома Аб' расположена «между» аксиомами А6 и Аб. Пусть х — одноточечное топологическое пространство, и пусть вложение й х-».Х допустимо в категории К. Пусть на К фиксирована некоторая теория когомологий Ь'. Определение 4.1.2.

Приведенной группой Ь«(Х) когомологий размерности д по отношению к точке х назовем подгруппу Кег(!») ~ Ь«(Х); !«: Ь«(Х)-+ Ь«(х). Пусть /: Х-+х — проекция Х в х, и пусть Ь,— теория гомологи й. Определение 4.1.3. Лриведенной группой Ь (Х) гомоеогий размерности д по отношению к точке х назовем подгруппу Кег(/,) с=.Ь,(Х); /„: И,(Х)-~-И,(х). 4.2, Экстраардйнарные теории (ко)гомологий, определенные на конечных клеточных комплексах. Рассмотрим произвольный спектр Е, т. е. семейство Е = (Е„; е„), где и ~ г., Е„ †топологические пространства, е„: ХЕ„-»Е !! — некоторые отображения (через ЕХ обозначена приведенная надстройка над пространством Х).

Спектр Е можно описывать, задавая вместо отображений е„ отображения е„: Е„-'- ИЕ„„ (через ЙХ обозначено пространство петель на Х). Спектр Е иногда называют 11-спектром, если все а„ являются гомотопическими зквивалентностями.

Пример 1. Е (У', е„), где в„: ХВ" -» 5"+' есть тождественное отображение, 5"-сфера размерности и. Пример 2. Пусть Š— некоторый спектр и Х вЂ” произвольный СВ'-комплекс. Положим Е„' Е„ /1 Х (напомним, что А/1 В Ах В/А '!/ В, где через А !/ В обозначен букет двух пунктированных пространств, в данном случае А 1/ В есть «координатный крест»); е„': ЕЕ„'- Е„'+!, где е„' лЕ'„5! /1 Е'„=5! Д «„л! ' /~ Е„Д Х вЂ”" — Е„», /! Х =Е;.!.! (здесь мы воспользовались очевидным соотношением ХА =5! Д А). Тогда совокупность 'Е„'; е„') образует спектр (называемый надстройкой спектра Е, если Х Б'), обозначаемый Е'=Е /1 Х. (КО)ГОМОЛОГИИ <ПОВЕРХНОСТЕН С ОСОБЕННОСТЯМИ» 67 Пример 3. Пусть Š— спектр, Х вЂ” С%'-комплекс; положим Р»=Р(Х, Е„), где Р(А, В) — пространство всех непрерывных отображений А в В; определим отображения )р„: ХР„-)-Р„,) так:1 ч)е(ЕД/)(х) =е„(еД/(х)), где Е=(Е„, е„); /енР„; за У; хе Х; ХР„=В' Д Р„.

Получаем спектр Р(Х, Е) = (Р„, Ч„), который н случае Х = Б' называется спектром петель спектра Е и обозна- чается е'еЕ. Напомним, что спектр Е называется сходящимся, если суще- ствует число й( такое, что пространства Е„,) !.Связны (т. е. п,(Е)е„)=0 при е(() для всех ()О. Например, спентр сфер (см.

пример 1) — сходящийся. Пусть Š— произвольный сходящийся снентр и ае (ее)е Ее — следующий гомоморфизм: е» (»е) л„,е(Е») — 'пе,е»,(ХЕе) — — ' пе+е»,(ЕЕИ), где Хе — гомоморфизм надстройки, а через п„(А) обозначаются гомотопические группы пространства А. Ясно, что группы п,е(Е,) с гомоморфизмами а„образуют прямой спектр (стабилизирующийся при фиксированном л с точностью до гомоморфизмов (е„) ввиду сходнмости Е), что позволяет определить следующие группы: пе(Е)=*!пп (п„,е(Ее), ае). Отметим, что число л может быть как м) положительно, так и отрицательно.

Если Š— спектр из примера 1, то п„(Е) п„(Яе) — л-мерная стабильная гомотопическая группа. Группы п„(Е) называются гомотопическими группами спентра Е, Пусть Р* — категория пар (Х, А), где Х и А суть конечные клеточные комплексы, пусть Р— категория всех конечных клеточ- ных комплексов и Р' — категория конечных клеточных комплек- сов с выделенными точками. Через АВ обозначим категорию абе- левых групп, а через АВС вЂ” категорию компактных абелевых групп. Пусть Е= (Е„, е„) — сходящийся спектр, Х ~ Р' — произ- вольный СК-комплекс, х ен Х вЂ” выделенная точна.

Положим !),(Х)=/)Я(Х, 'Е)=п„(ЕДХ), где через Е/1 Х обозначен спентр нз примера 2. В спектре ЕДХ имеется выделенная точка х= ==(...-)-х,-е-х»„- ...) (хе ен ЕеДХ), и группа п,(ЕДХ) вычис-' ляется по отношению к этой точке. Если /: (Х, х)-»(г, у), то возникает отображение 1Д/: Е/! Х- Е/! 'г и можно положить /)е(/, Е) (1/1/)е: и (Е/),Х) — л,(ЕДУ). Итак, мы построили ковариантный фуннтор Ье(., Е) на категории Р'. Определим гомоморфизм п,(Х, 'Е): йя(Х, Е) И„, (ХХ, Е) как композицию: йе (Х, Е) — — пя (Е /~ Х) х' и „(В' /~ Е /! Х) — ' "— 'пе„) (Е /) В'/) Х) =/)д„(ХХ, Е), где а — перестановка сомножителей Е и В'. Поскольку Х вЂ” конеч- ный С(е-комплекс, то из определения групп п,(Е/! Х) следует, что гомоморфизм О,(Х, Е) является изоморфизмом.

Рассмотрим ВВ ваэихционные вкцачи и экстэхоэдинаэиыа таоэии [гл.э пару (Х, А) и х ен А, тогда СА (/Х гомотопически эквивалентен Х/А и существует каноническое непрерывное отображение р: Х()СА-«ЕА (р(Х)=х, СА — конус над А). Определим оператор де: Й, (Х/А)-«Йе,(А), положив д,* — в„где ае — композиция: Йд (Х/А) Й р(Х () СА) — 'Ид (ЕА) — "е-х (А) а о,' — построенный выше изоморфизм. Легко доказать, что: 1) если /о /м то И,Д, Е) Й„Дм Е); 2) если (Х, А) ея Р" (тогда Х/А ы Р'), Е А -+ Х -вложение и /: Х-«Х/А — проекция, то следующая последовательностьточна: ...-«Й (А)~г)йЙ (Х) лхлЙ (Х/А)-г.Й х(А)-«... Итак, мы построили на категории Р',приведенную теорию гомологий И, (., Е), исходя из произвольного сходящегося спектра Е, Построим теперь по теории Й„на Р' теорию гомологий Ь, на Р', Пусть (Х, А) ен Р', тогда положим И,(Х, А) Йр(Х/А), причем если А = ф (что допустимо в Рэ) то будем считать, что Х/ф Х()(х) (несвязное объединение).

Оператор д;. Ие(Х, А)«йе,(А, ф) определим так: де=де: Йе(Х/А)« -«Б, х (А/ф) =И т(А () х). Можно проверить, что этот функтор И является экстраординарной теорией на Р' в смысле определения 4.1.1. Легко доказывается, что И, на Р' удовлетворяет не только Аб, но и Аб'. Существует взаимно однозначное соответствие между теориями й, на Р' и теориями Й, на Р'. Мы только что построили соответствие, относящее каждой теории И, на Р' теорию И, на Р'.

По* строим обратное соответствие. Пусть йэ — теория йа Р'. Если (Х, х)е-=Р', то можно положить й,(Х) И,(Х, х). Ясно, что оператор д, порождает оператор де, так как о, (Х): Йе(Х)-«й +, (л Х) можно определить как композицйю — р,д-', где д: И „(СХ, Х)-« -«Ие(Х, х) — граничный оператор в последовательйости тройки (СХ, Х, х): р,: И,т(СХ, Х) Йеы(СХ/Х)-«Йе,п(ХХ); р: СХ/Х-«ЕХ. Пусть й, — экстраординарная теория гомологий на Р', тогда группы Ие(х), д~Е, называются группами коэффициентов теории И,. Вопрос: любую ли теорию й, на Р' можно представить в виде И„( °, Е)? Ответ дает следующее утверждение.

Предложение 4.2.1 (см, [481, [491), Для произвольного спектра Е функнюр И (, Е) определяет экстраординарную теорию гамологий на Р', удовлетворяющую А1 — Аб'. Обратно, пусть И вЂ” приведенная экстраординарная пмория гомологий на Р' такая, (КО»ГОМОЛОГИН «ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ» 59 «то всв группы ковффиииентов Й (5») не более чем счетны.

Тогда существует Я-спектр Е, для «оторого имеется естественный ивоморфивм Т: й,(Х, Е)ыЙ,(Х) для любого ХеяР'. Спектр Е определен однозначно с точностью до гомотопической вквивалвнтности. Аналогичное утверждение справедливо и для теорий й на Р'. Рассмотрим когомологический случай. Пусть Е=',Е„, е„)— произвольный спектр, Х еи Р', х е= Х вЂ” отмеченная точка, Построим спектр Р(Х, Е) (см, пример 3) и положим Йе(Х) /»е(Х, Е)= =- и, [Р(Х, Е)]. Каждое пространство Р„(Х, Е) Р(Х, Е„) содержит отмеченную точку х„, где х„: Х -Е„есть отображение в точку (Е„можно счртать связными).