А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

22.!$ ф 7П УДК 313.83 Фоменко А. Т, Варнацнонные методм а топология.— Мл Наука, !982. — 344 с. Иелетеявстяо е Науки». !иееиаи рехекиик Еиеико.иетеиетиееаиоа литературы, 1звт 1703140000-131 Ф вЂ” - — 16.82. 063 (02) -82 Кннга посвящена вопросам современного многомерного варнацнонного исчисления. Центральное место в ней занимает наложение качественно новых методов явного нахождения многомерных экстремалей функционалов н изучения нх топологнческнх свойств. Впервые в форме, доступной для широкого круга спецнилнстов, нзлегается решение класснческой многомерной проблемы Плато. Для математиков, спецналнзкрувщнхся в облестн топологнн, глобального варнацнонного нсчяслення, функцнонального анализа, теорнн днфференцналь. ных уравненнй, групп н алгебр Лн.

Может служить основой спецкурсов н спецсемннаров. ОП)АВЛЕНИЕ 1 12 Предисловие Некоторые часто встречающиеся обознв<сння Г л а н а !. Простейшие классические вариациоииые задачи !3 13 Гу 1, Уравнения зкстреыалей функционалов 2, Геометрия вкстремалей . 2.<. Нульмерныа н одномерныа случаи ()7). 2.2, некоторме примеры простеашнх многомерных функционалов ПВ], 2.3. Клвсснческая задача плато в размерности 2 (26). 2.4. нторан фундаментальнва форма рнманова подмвогообразна (27). 2л. локальная мнннмальность <30]. 2.6, первые примеры глобально мнннмальнмх оаверхнастея <33).

38 36 64 67 76 Г л з в а 2. Многомерные вариацнонные задачи и экстраордянариые теории (ко)гомоаогий 3. Многомерная задаче Плато 3.<. Класснческяе постановки (о нвкомденнн абсолютного мнннмума)(ЗВ) 3.2. Класснческне постановки (о нахождения относительного мнннму. мв) (40). 3.3 Трудности, возннквющне прн мнннмнзапнн функцнанвлв объема то< прн В > 2.

Появление неустранимых стратов малых размер- настей (40). 3.4. Постановки задача Плато нв языке обычных гомологнв (43). 3.5, Клвсснческая многомерная задаче Плато <вбсолютныа мвннмум) н язмк теорнн бордпзмов (45).З.В, Теория борднзмов — ткстраор. дннарнвя теория гомологна (ш). 3.7.

Формулнровкв решеннн «ласснче. ской вадачн Плато (существованне абсолютного мнннмума ь задачах А н 6) <63). $4. Экстраординарные теории (ко)гомологий, определенные нв еповерхностях с особенностями» 4.<. Карактернстнческне саоястаа теория (ко)гомплогня <55). 4.2. экстра. ординарные теорнн (ко]гамологне, определенные нв конечных клеточных комплексах <56). 4.3 Построение ткстраордннврныч теория <ко)гоноло. гнз. определенных на поверхностях с особенностямнз(нв номпактах)<60).

4.4. Проверка харвктернстнческнх свойств построенных теорна <ВП. 4.5. Дополннтельные своаства зкстраордннврных спектральных тео. рня <63). 4.6. прнведенные группм (ко)гомологня на чноверхностяк с особенностямкз (64), $ 6. Когрвница н граница пары пространств (Х, А) ...., ...... 6.). Когрвннцв пары (Х, А) <65) 6.2. Граница пары (И, Л) (66).

6. Определение классов допустимых вариаций в терминах (ко)границы пары (Х, А) . В.(. Варнвцноннме класом В (ж ь, ш) н а (л. 0) (Вт), 6.9. Устовчнвость взрнвцнонных классов (63), 7. Решение задачи о нахождении глобально мянимвльной поверхности (абсолютного минимума) в варивцнониых классах ))(А, (ч (.') н ))(А, Ц гп.

Постановка аадачн (69] 7.2. Основная теорема существования гло. Велько мнннмальнмк паверхностеа (7<). 7.3. Кратквч схема доказатель. ств» теоремы существования <74) 8. Решение чвдвчн о нахождении глобально минимальной поверхно. сти (относн<ельного минимума) в каждом гомотопнческом классе 1а ОГЛАВЛРИИИ Гл а за 3, Вычисвеиие в явном вида яаимеиьших объемов (абсолютный мииимум) топологически иетривпвльиых мииимвльиых поверх- ностей 78 78 83 88 87 93 Глава 4. Локальпо мииимальвые замкнутые поверхиости, реализую щие иетривиальиые (ко)циклы и влемеиты гомотопических групп симметрических пространств 4 !6. Постановка задача.

Вполне геодеаическяе подмиогообразяя в группах Ли 4 17. Сводка иеобходимых результатов о топологической структуре компактиых групп Ли и симметрических яростраиств 17.1. Алгебры когонологнй компвктямх групп Лн (130>. 17.2. Подгруппы, вполне негомологнчнме нулю (132). >Т.З. цнклн Понтрягине в комлект пых группах Лн (188).

17.4. Необходнмме сведения о снмметрнческнх про. стрвнстввх (137). $18. Группа Лв„содержащая вполне геодезическое подмпогообразие, автоматичесйп содержит группу изомвтрий мого подмиогообразия $19. редукция задачи об описании (ко)циклов, реализуемых вполне геодезическими полмиогообразвями, к задаче описания (ко)гомологических свойств квртвновских моделей 129 129 130 143 4 9. Функция исчерпвиия и мииимвльяые поверхиости 9.1.

Неноторые клзсснческне эвдвчн (78). 9.2, борднзмм н функции нсчерпвння (80). 9.3. ГМ-поверхностн (81). 9.4. Постзновкз звдвчн аб оценне сннзу Функции объеме мнннмзльной поверхносгн (82). 6 10. Определение и простейшле свойства козффициеита деформация век. торного поля . 4 11. Формулировка осиовиой теоремы об оценке сиизу фуикцми обьемз 11.1. Функцнн езенмодействня глобально мнннмзльной поверхности с Фрон. том волнм (85). 11.2. Формулировке основной теаренм об оценке объенз (86). 12. Доказательство основной теоремы об оценке объема !3. Некоторые геометрические следствия !3.1.

О ненменьщем объеме глобвльно мнннмвльнмх поверхностей, проходящвх через центр вара в евклндовом пространстве (93> 13.2 О йвямень. !аем объеме глобально мнннмельных поверхностей, проходящнх через фнкснроввнную точку в многоабрвзн» (96). 13.3. О нзнменьюем объеме гло. бельмо мнннмвльных поверхностей, обрвэоввнны» янтегрвльнммн трвекто.

рнямн поля а(96). 9 14. Дефект римвиова компкктиого замкнутого многообразия, геодезический дефект и ивимеиьшие объемы глобально миивмвльиых поверхиостей реализующего типа И.>. Определенне дефекте многообрвзня (97). 14.2. Теорема о связи де. Фектв с нвнменьщнмн объемами поверхностей резлнзующего тнпз (100]. И.З.

Доквзвтельство гнпотезы Рвйфенбергз о сущестэовеннн уннверсель. ной оценки сверху нв «сложносты особых точек мнннмзльных поверхно. стей ревлнзующего тнпз (103). 9 18. Некоторые топологические следствия. Конкретные сервы примеров глобвльио мииимальиых поверхностей иетрвввальиого топологяческого типа 15.1. Глабвльно мнннмельные паверхностн, реелнзующне нетрнвнельные (ко)цикл» в симметрических прострвнствех (106) И.2. компвнтные сн». метрнческне пространства н нвнмй внд геодеэнческого днффсоморфнзме (107). И.з. Вычнсленне в яяном виде коэффнцнентв дефорненнн рвднзль-- ного векторного поля нв снмметрвческнх прострвнствзх (!18>.

15.4 Явная ! .5. Г рмуле для геодезнческога дефекта снмметрнческога прострвнствв (118>. 6.5. Глобельна мнннмзлькые лозерхнастн нзнменьщего объеме («о( Хс Рй) в снмметрнческнх прострвнстввх являются снмметрнческнмн пра« стрвнствзмн ренте 1 (119>, 15.6. Доквщтельство теоремы клвсснфвкепвв поверхностей нвнменьщего объема ° векатормк клвсснческвк свмнетрнче. скнк простренствзх (121). ОГЛАВЛРНИВ 4 29. Теорема классификации, описывающая вполне геодезнческве подмвогообраэдя, ревлизующве нетривиальные (ко)цвклы в (ко)гомологиях компактных групп Ли .

10.1. Формулировке теоремы клвсснфнкецнн <146>. 26.2. Случай пространств типа !1 (149). Ы.З. Случай простренств тнпв 1. <Ко)гомологнческн трнвнель. нме кертвновскне молелн. Свойстве отобреження вазведення в нведрзт снмметрнческого пространстве (160). 20.4. случеэ простренств тнпз 1, про. стрзнстве 50 (а)/50 (а) (163). 20.6. Случай пространств тяпе 1. Простренстве 50 (Зж)/эр (ж) (163>. 20.6. случай простренств тяпе 1, пространства зз 1 50(21)/50(21 — 1>.

Вычнслевне в явном виде коцвклов. реелнзуемых вполне геодеенчвскннн подмногообрззнямн типа 1 (160>. 20.7. Случай пространств тяпе 1. Пространство ЕПР, (162). 4 2!. Теор ма классификации, описывающая коциклы в когомологиях групп Лн, реклизующвеся вполне геодезическими сферами 21.1. Формулировка теоремы клзсснфнкецкв (166). И.2. Вполне геодезические сферы, ревлнзующне перкоднчность Воттэ (170). 21,3. Ревлвзецня элементов гомотопнческнх групп компектных групп Лн вполне геодевнческнмн сфсрзмн (П2>. 21.4.

Необходимые сведення о спннорнмк н полуспннорнмк представлениях ортогонвльяой группы (174>. 21.6. Спнворяое предстееленне ортогональной группы 50 (3) н группа евтоморфвзмов чисел Кэлн (176). 21.0. Опнсенне вполне геодезнческнк с4юр, реелнеующнх яетрйвнзльные <ко)цнклы в ногамологнях простых групп Лн.

Случай группы 50(л) (160). 21.7, Случей групп 50(л) Я Зр(зл) (191). й 22. Теорема классификзцяи, описывающая элементы гомотопическнх групп снмметричесиих пространств типа (, реализующиеся вполне геодезическими сферами Ю.1, Формулировке теоремы клесснфнкецкн <!66>. 22.2. докеввтельство теоремы клвсснфнкецнн. Связь между числом лннейво невевкснммх полей нв сферех н чнслом элементов гомогопнческнх групп, реелнзуемых вполне геодезнческнмн сферемн (!96).