Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 16

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 16 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 16 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница

Пусть (Х, А) ~ М вЂ” компактная пара и А- Х, 1: Х-~М вЂ” вложения. Рассмотрим сначала гомологический случай. Пусть Е,'Ьр) — фиксированный набор подгрупп !.„с:йр(А), где рек Е, а Ь'* (ТД-фиксированный набор подгрупп Ц с: )г«(М). Определение 6.1.1. Через Ю, й„(А, Ц !.') обозначим класс всех таких компактов Х, А ~ Х ~ М, что: 1) Ес: Кег(! ) = = Ь (Х, А); 2) Ь' ~ 1гп(!«). Рассмотрим когомологический случай. Пусть 1.=(!.р) — фиксированный набор подмножеств !.Рсьр(А)",О, а Ь'=(Ц) — фиксированный набор подмножеств Ц с: и„"(М)',О. Оп ределение 6.1.2. Через Ю" й»(А, Ц 1,') обозначим класс всех таких компактов Х, А с Х с М, чпю: 1) Ь с с й*(А)'~1т(!)" =7'(Х, А); 2) !.' сй'(М)',Кег(!').

Класс га состоит из всех компактов Хс М, заклеивающнх (ко)гомологические «дырки» Ь в границе А и одновременно реализующих (ко)гомологические «дырки» 1.' в многообразии М. Теперь мы рассмотрим относительную задачу. Пусть си (Х, А)-+. -~(М, А) — вложение и !. ().,) — фиксированный набор подгрупп !., сЬ,(М, А).

Определение 6.1.3. Через д =й (А, !) обозначим кЛасс всех таких компактов Х, А ~ Х ~ М, что 1. с: 1щ(а ). В случае когомологий будем считать, что !.*=(1,) — фиксированный набор подмножеств ),с:й'(М, А),0 (некоторые из Ц могут быть пусты). Определение 6.1А. Через 6«=)г»(А, !.) обозначим класс всех таких компактов Х, А с Х с М, что 1.с)г" (М, А)",Кег(й«). В общем случае классы Ю и е слабо связаны друг с другом, хотя, например, если А=х, то можно считать, что 1=0(ф), (.'=(„а тогда )г(х, 0(ф), !.')=п(х, Х).

Этот частный случай относится к реализующим классам, т. е. к таким, каждый элемент которых реализует абсолютный (ко)цикл в многообразии. Если же А Фх, то даже в том случае, когда )г Н, знание всех компактов в классе га не позволяет описать компакты из классов д, и наоборот. Пусть п=Н (т. е, выполнена аксиома А7), и пусть в классе ер псбор !. выбран так, что )Р~О(Ч)) только при р=й — 1, а иа- 3' зз ва»икцнонныа задачи н зкстьао»дина»ныв таоьнн 1гл.» бор Ь' выбран так, что Цчь0(ф) только при о Ь. Тогда число Ь приобретает геометрический смысл: в Ю можно выделить непустой подкласс таких компактов, что размерность каждого из них равна Ь.

Сосредоточим основное внимание на классах О, поскольку изучение классов д на М сводится, как оказывается, к изучению классов вз на М/А. Эта редукция обеспечивается инвариантно- стью теории Ь, т. е. если си (Х, А)-».(М, А) — вложение, то гомоморфизм а,: Ь, (Х, А)-»Ь, (М, А) совпадает с гомоморфизмом а,': Ь, (Х/А) -+4, (М/А) (соответственно с гомоморфизмом (а')' в случае когомологий).

Иными словами, вместо классов го на многообразии М можно рассматривать классы О на пространстве М/А, которое является многообразием всюду, кроме одной точки х. Рассмотрим два предельных случая: класс Ь(х, 0((О), Г') и класс Ь(А, ~., 0 (ф)), В первом случае класс ю состоит только из компактов Х, реализующих «дырки» многообразия М без какого-либо дополнительного краевого условия, поскольку А =х; такие компакты мы назовем реализующими компактами (задача Плато Б, см. $ 6), Во втором случае класс Ю состоит из компактов Х, заклеивающих «дырки» в компакте А, и многообразие М играет в этом случае роль вмещающего пространства; такие компакты мы назовем заклеивающими компактами (задача Плато А, см.

з 3). 6.2. Устойчивость варнацнонных классов. Понятие р-устойчивости мы вводим ввиду наличия обстоятельства, которое неоднократно отмечалось выше, а именно: размерность Ь элементов а из группы Ьь~'(Х) имеет слабые связи с геометрической размерностью носителя элемента и в том случае, когда Ь вЂ” экстраординарная теория. Геометрия элемента с« <размазана» по всем размерностям з таким, что зв=(Ь).

Поскольку наши аналитические построения будут требовать от нас некоторой свободы в обращении с клетками малых размерностей (чаще всего — размерностей ! и 2) в компактах Х, то желательно, чтобы операции отсечения маломерных клеток не влияли на реализующие и заклеивающие свойства компакта Х.

Это приводит нас к понятию р-устойчивости. Оп редел ен не 6.2.1. Конечный симплициальный комплекс Е, вложенный в гладкое многообразие М", назовем гладким, если: 1) каждый открытый комплекс А'с: Я размерности 1 является гладким подмногообразием в М; 2) существует положительное число е=е(2) такое, опо для любой точки Р ~ 2 в шаре В"(Р, а) (с центром в Р и радиуса з) можно ввести такие локальные координаты х'...,, х", что пересечение Е () В (Р, е) является в »тих координатах линейным симплициальным комплексом в шаре В(Р, е). Определение 6.2.2. Пусть в М" фиксирован компакт А такой, что класс Ь(А, Ь, 1.') (соответственно класс Ь(А, А)) непуст.

Класс Ь (А, Ь, Е.') (соответственно И (А, Е,)) и набор минимАльные пОВеРхнОсти В ВАРиАпионных клАссАХ а ав (!., Г) (ссютветственно Е) мы назовем р-устойчивыми (где р — целое число, 1 (рч п — 2), если из того, что «омпакт Х принадлежит у(Л, 1„Ь') (соответственно й(Л, 1,)), следует, что и любой его подкомпакт У с: Х такой, что Х' У есть конечный гладкий симплициальный подкомплекс в М, размерности не большей, чем р, та«же принадлежит классу И (А, 1„Г) (соответственно й(А, Ц).

Рассмотрим в качестве примера обычную теорию гомологнй Н иа Ус. Пусть набор (1., Ь') обладает тем свойством, что 1. д~ ччО(ф) только прн р=й и ЦчьО(ф) только прн д й; тогда, если ХЕВН(А, Е, Ь') Н(А, Ь» ь (.») и 1 сХ, й(т(Х~,У)м -.и — 1, то, очевидно, г'~ Н(А, Ц м Ц), т. е. любой класс вх (пли е7) указанного вида является (й — 1)-устойчивым в смысле нашего определения.

Именно поэтому варнационные задачи в классах обычных гомологий Н рассматривались до сих пор Всегда з одной геометрической размерности, совпадающей с размерностью компактов-носителей Х (см. [16], 1171). В дальнейшем основную роль будут играть 2-устойчивые классы, поэтому интерес представляет вопрос: каковы должны быть топо.югическне условия, накладываемые на аргументы (А, Ь, Г), чтобы соответствующие классы й(А, 1., Е') были 2-устойчнвымн7 Для простоты положим 'А =х (тогда 1.

0(ф)) и рассмотрим устойчивость реализующих классов й(х, 0(ф), 1.'). Оказывается, любой класс й(х, 0(ф), Ь') на 2-связном многообразии М (т. е. а, (М) я, (М) О) является 2-устойчивым. Эту теорему мы докажем позднее. й 7. Решение задачи о нахожденнн глобально минимальной поверхности (абсолютного минимума) в варнацнонных классах Ь(А, Е, Е.') н Ь(А, А,) 7.1. Постановка задачи.

Излагаемая ниже постановка варнапионных задач и их решение (доказательство существования глобально минимальных поверхностей) принадлежат автору. Рассмотрим компактное гладкое замкнутое рнманово многообразие М. Пусть й- некоторая экстраординарная теория (ко)гомологий на Ус (непрерывная н относительно ннварнантная на категории компактных пар), А-фиксированный компакт в М. Тогда определены вариацнонные классы й(А, Ь, 1.'), й(А, 1.) (см. з 6). В каждом на ннх возникает задача о нахождении глобально мнннмаль.

вой поверхности. Для каждого Х ен йг (нлн вх) построим его стратификацию Х А (3 8» () 8»-'() ..., где 5» — максимальное подмножество в Х~,А, имеющее в кюкдой своей точке размерность й, б»' — максимальное подмножество в Х~,А~,У, имеющее в каждой своей точке размерность й — 1, н т, д. Подмножества У назовем стратвмн; если онн измеримы, то определен стрзтнфнцнрован- тв вз»ихционныв задачи и экст»хо»дина»иыз тзо»ии ~гл.» ный объем 5У(Х) (чо1»5", чо1»»5»-', ...), изображаемый вектором с Ф координатами. Варьируя «поверхность» Х в классе допустимых вариаций (т.

е. в классе О или Ю), мы варьируем вектор стратифицированиого объема поверхности; задача заключается в нахождении поверхности с наименьшим стратифицированным объемом. Наименьший вектор 5У =(с(„4 „...) мы понимаем в следующем смысле. Сначала попытаемся минимизировать первую координату вектора 5У, т. е. будем искать в классе к» поверхность (компакт) Хы для которой чо1»(5»)=то!»(Х'~А) = с(» 1п1 чо1»(У'~,А). Если такие поверхности Х» существуют, гмс» то приступим к минимизации второй координаты вектора стратнфицированного объема, а именно будем искать в классе поверхностей Х„ с минимальной первой координатой (т.

е. таких, что то1»(Х»'~ А) «Ц такую поверхность Х»,, для которой чо1»-«(Х»»' А'~ 5») 4-» 1п( чо1»» (Х» ~А ~5»). ««1»(х,««») И так далее, т. е. каждый раз будем минимизировать следующую ксюрдинату вектора стратифицированного объема при условии, что все предыдущие координаты уже минимизированы и фиксированы (т. е. минимизация производится по классу тех пленок, предыдущие объемы которых уже являются минимальными).

Если этот процесс корректно определен (именно это мы и будем доказывать), то тог- .~,.'::-:::"Х да он завершится на поверхности, стрэтифицированный объем которой глобально минимален в классе всех Ркс. 28. стратифицированных поверхностей из данного вариационного класса О (Ю). Разработанный нами метод минимизации обьема 5У применим не только к вариационным классам бордизмов (классическая задача Плато), но и к любому классу вида О (Б). При таком подходе каждая теория экстраординарных (ко)гомологий 6 и каждая тройка (А, Ь, Г) (или пара (А, «.)) определяют в пространстве 8(М) всех компактов в многообразии М некоторое подмножество «» (или Ю); поэтому каждая теория И определяет свой тип «краевых условиИ», запас которых чрезвычайно велик ввиду большого разнообразия в множестве теорий И. Приведем здесь пример «контравариантной» вариационной задачи, определяемой К-функтором.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее