Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 5

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 5 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 5 (2659) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

Тогда, е. л ~ А =(ди), то из закона преобра. ЗО пэостеншиа клхссичаскне вагихционныа аадлчи [гл. г аовання квадратичной формы мы получаем А = ВВг (знак указывает транспонирование), т. а, бе!В )/де(А. С другой стороны, из линейной алгебры известно, что чо1 Й(а„..., а„) бе(В, что и завершает доказательство. Таким образом, приведенное нами общее определение объема области нз подмногообразии в !к" совпадает с интуитивным представлением об объеме, получающемся суммированием объемов бесконечно малых евклидовых параллелепипедов.

Рассмотрим гладкую гиперповерхность У"-' с= Р"., заданную, например, в виде графика х"*=/(х', ..., х -'). Пусть областью определения функции / является а(л) ограниченная область Р в К"-'. Рассмотрим на пространстве всех ~ ул-~ ~ таких функций / функционал д 1, объема то!(/) )'г','де(А! ~Ь„,. о Здесь матрица А (ян (х)), х ж — — Р,— юаую Р Р ва метрика на поверхности г'"-', а бо„, дх' /'! Кк' /~ ..; /~ дх"-', где х', ..., х"-' — евклидовы координаты. Лагранжиан )/! де7 ~~~ можно записать в явном виде через функцию /.

Пусть б -' — форма (и — 1)-мерного объема на г'; тогда чо1(/)= ')пт"-'. Пусть Рея р ', п(Р) — единичная О нормаль к У ' в точке Р, гх(Р) — угол между п(Р) и е„ (О, ..., О, 1) (рис. 5). Тогда то!(/)= 1 дт"-'= 1 о О Далее, Итак, Рассмотрим экстремальные поверхности У"-' для функционала объема то!(/) (т. е.

г афики экстремальных функций х" /(х), х ен 0). Уравнение дйлера — Лагранжа имеет вид ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ Определен не 2.2.1. Поверхности, являющиеся экстремаль. ными для функционала объема чо1 (~), называются минимальными (или локально минимальными) поверхностями. Минимальные поверхности моделируются, например, в к' с помощью мыльных пленок, затягивающих замкнутый проволочный контур (в отсутствие силы тяжести); в этом случае чо! (~) совпадает с площадью поверхности. Лемма 2.2.1.

Для двумерной минимальной поверхности, заданной в виде графика г = 7(х, у) в Р(х, у, г), уравнение Эйлера— Лагранжа приобретает вид (1 +в ~„„— 2~„„Ц„+(1 +~И..= О. Доказательство, Имеем ухУ [1+(Ч'+И )'1 '")+ — „(Ы1+Ч )'+(1 )'1 '")-О. Дифференцируя и приводя подобные члены, получаем искомое утверждение.

Уравнение минимальной поверхности У"-' допускает запись на языке локальных инвариантов вложения этой поверхности в Р'. Теорем а 2.2.1. Пусть У"-' с: Р— гладкая гиперповерхность. Средняя кривизна Н равна тождественно нулю тогда и только тогда, когда У ' можно представить в окрестности каждой своей точки в виде графика экстремальной функции для функционала объема (т. е. в виде решения уравнения минимальной поверхности). Таким образом, условие Н ппО н есть условие минимальности поверхности У" т ~ Р. Доказательство сводится к прямому вычислению средней кривизны Н =Бр(А-Че) для графика х" =~(х), где А, ~- соответственно матрицы первой н второй квадратичных форм, и проверке того факта, что уравнение Н О совпадает с уравнением Эйлера — Лагранжа.

Мы не будем проводить это вычисление в общем случае, а рассмотрим только специальную ситуацию: двумерная поверхность в Р. Зададим локально поверхность У' с= Р радиус-вектором г г(и, о). Тогда чо1(г)= ~ УЕΠ— гэйийо, где А= О(и, ю ~ — матрица первой квадратичной формы: Е (г„, г,), ~Я Р~ Р *(г„, г,), 0 (Г„ Г,). Средняя кривизна Н имеет вид Н = Вр(А-1(е) (Еб — рэ)т(О(.+2рМ+ЕН~, где Я=~„н~ — мат- /Е М~ рнца второй квадратичной формы: Е=(г„„п), М=(г„„п), Н = *= (г,„, и), и †единичн нормаль к поверхности.

Выберем на Уэ (локально) так называемые конформные (изотермические) координаты. Докажем существование таких координат для вещегтзенно-аналитических метрик А. Пусть двумерная поверхность зт пьостанюиа кллссичаскиа вмикционныа элдлчи 1гл. ~ в мь(х, у, г) задана параметрически: х х(р, у), у=у(р, у), е=х(р, д), где р, о изменяются в некоторой области пространства Р.

Тогда на поверхности возникает индуцироваииая метрика сЬэ=Е(с(р)'-'с2рйрс(у+6(с(д)', д=Еб — р')О Тео ре ма 2.2.2. Пусть Е, г", 6 — вацестеенно-аналитические функции переменных (р, д). Тогда можно ввести новые локальные координаты и, о такие, что в этих координатах метрика а(* примет следующий вид: Л'=((и, о)(див+Но').

Такие координаты называются изотермическими или конформными. Доказательство. Разложим квадратичную форму сЬ' на множители: Ь*=('уЕ бр+~+' 'удд) [Ь|Е др+' — '~'ау). Ме Мы ищем новые координаты (и, о) как функции от р, д: и = = и (р, у), о = о(р, у), такие, что сЬ' Г (и, о) (Ни'+ с(ой). Этого можно добиться, если удастся подобрать интегрирующий множитель, т. е. такую комплекснозначную функцию Х Х(р, о), что будут выполнены два тождества: Х (3г'Е бр++=у й1) с(и+ (до, )„(~)ГЕ бр+ — =у ду) Ни — йЬ (второе из иих получается из первого комплексным сопряжением), Действительно, если такая функция Х(р, у) найдена, то, перемножая два тождества, получаем дз'=~Хи-а(йи'+до'), и можно положить |(и, о) = ~ Х!-'. Итак, неизвестными функциями являются и, о, Х; они должны удовлетворять уравнению Ъ (~/Е с(р+ — ~ — ~ Йр) с(и+Ив=(~-+ (--)Нр+(д + (дч)ду.

Отсюда ЯŠ— +( —, Х -+(э- — ди дь Е+~ Уу ди дв др др' Е дч Исключение Х дает (Е+(~'у)(~+ ~)- (3+4) илн à — 1~'у -- = Š—, 3Я вЂ” + Š— = Е --. ди — ди ди ди ди ди др др ду ' др др дв ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕН А е! Отсюда ди ди ди др б — — р уд р'=' др др д» Рдт ~др др Поскольку — = —, то получаем следующие уравнения: Еи О, дэ дз дрда дадр' !ш=О, где дифференциальный оператор Е имеет внд е,=у (!Ру — ед-)(ес — Р ! и 1+ д '!!Рд су )(ес — Р)-1 1 Из теории дифференциальным уравнений известно (мы не будем здесь это доказывать), что если функции Е, Р, С аналитические, то уравнение Ц=О (называемое уравнением Бельтрами) всегда имеет решение.

Отсюда н определяются функции и, о, Х. Если мы положим ш = и+ (о, !в = и — (о, то метрика поверхности запишется в виде сЬ'=у(ге, !в)йаг(в. Таким образом, локально пашу поверхность можно считать комплексно-аналитической, Изотермические координаты определяются неоднозначно. Теорема доказана. Итак, будем считать, что (и, о) — уже конформные координаты на поверхности У'~= Р. В конформных координатах Р=О, Е С, следовательно, то! (Г) ** )) У(ги. Ги> '(ге, ге> й~!(и в ')) Ях„'+ у„'+ г„') (х„'+ у, '+ г;",) Йи !(к о Далее, Н=- — (Е-' М)= — (г„+г, «) — (Лг, л), где А — опе- 1, 1 ! ратор Лапласа. Рассмотрим уравнения Эйлера — Лагранжа для то)(г) в координатах (и, и), Прн этом следует иметь в виду, что возможность записать уравнение Эйлера — Лагранжа в конформных координатах следует нз того, что при варьировании функционала чо)(г) с помощью возмущения т) можно считать все функции р(и, о)+ат!(и, а) отиесеннымн к конформным координатам.

Для этого достаточно ввести конформные координаты на каждой поверхности г(и, и)+ац(и, и) (дело в том, что координаты (и, о), вообще говоря, уже не конформны на возмущенной поверхности г+а!)). Координаты (и„о,) можно считать гладко зависящими от а. Уравнения Эйлера — Лагранжа принимают вид д д д д д д де(х„)+~(х,) =О, -„-(у„)+ — (у,) =О, у„-(г„)+е-.

(г„) О, т. е. дг О. Радиус-векторы г, удовлетворяющие уравнению Ьг О, ть ' пгостеишие классические зкьиапионныа задачи ~гл ~ Ряс. 6 называют гармоническими. Итак, в конформных координатах «минимальность радиус-вектора», т. в. его экстремальность для функционала площади, означает его гармоничность. Говорить о гармоничности радиус-вектора г(и, о) можно только относительно какой-либо системы координат. При изменении координат свойство гармоничности, вообще говоря, разрушается. Итак, поскольку бг О, то Н= — (бг, и) О, и мы доказали теорему 1 2.2.1 в одну сторону.

Обратно, пусть Н ям О; мы должны доказать, что Ьг 0 (в конформных координатах). Так как (бг, п)=0, то достаточно проверить еще два равенства: (ЬГ, г„) О, (бг, г,) =О. Отсюда будет следовать, что бг=О. В самом деле, векторы и, Г„, т образуют репер в любой регулярной точке поверхности г(и, о) (по определению поверхности).

В силу выбора координат Е=6 и г =О, т. е, (г„, г„) =(г„г,)=0. ДифференЦИРУЯ ПО и И и, ПОЛУЧаЕМ: (Гане Га) ~(Г« Гп)в (Гнп Га) = — (Тпп Гп) (Гаа Гп) + (Гн Гап) = Ог (Гапв Гп) + (Га Тпп) О, Наы следует проверить тождества (гаа, г„)+(г„, г„) =*О, (г„„г,) + + (г,„, г,)=0, Эти уравнения, очевндно, вытекают из предыдущей системы. Тем самым, мы доказали не только теорему 2.2.1, ио и следующее утвержд ние. У т в е р ж д е н и е 2.2.1. Двумерная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве тогда и только тогда описывается минималькым радиус-вектором, когда АСЕЕВ средняя кривизна тождественно равна нулю.

В конформных координатах минимальный радиус- вектор становится гармоничен«птур л Два зван«ватвттг схим. Топологическая структура минимальных поверхностей )г» ~ с1с» довольно сложна, в частности, если граничный контур фиксирован, то, вообще говоря, на него можно натянуть много «мыльных пленок» вЂ” нет теоремы единственности решения для дифференциального уравнения Н=тО или ЛГ=О. Примеры см. на рис, 6 и рис. 7. Решения уравне- н ний Н=О, ЬГ=О могут иметь особенности. Пример — тройной лист Мебиуса — см.

на рис. 8. Эта Ряс. 7. минимальная пленка содержит сингулярную окружность, заполненную тройными особыми точками. Гармонические радиус-векторы являются решениями уравнения Эйлера — Лагранжа еше для одного двумерного функционала— гаоматгня экстэимхлан функционала Дирихле. Рассмотрим трехмерный радиус-вектор г(и, о) (координаты и, о произвольны).

Функционалом Дирихле называется 0[г1 ~ — йис(о, где Е, О в коэффициенты пер. Е+0 оаь м вой квадратичной формы для поверхности г (и, о). Здесь Е (г„, г,) = —. (х,'+ у,'+г,'-(-х4+ у„'+г,'), а потому уравнение Эйлера — Лаг- 2 ранжа (в векторной записи) имеет вид йг О, его решения — гармонические векторы. Так как — )Р ЕΠ— Р', то 0[г)~чо1(г) Е+О для любого кусочно-гладкого радиус-вектора г(и, о) и равенство достигается тогда и только тогда, когда Е = О, Р =О, т. е. в конформной системе координат. Таким образом, любая экстремаль Рис.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее