А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 5

Тогда, е. л ~ А =(ди), то из закона преобра. ЗО пэостеншиа клхссичаскне вагихционныа аадлчи [гл. г аовання квадратичной формы мы получаем А = ВВг (знак указывает транспонирование), т. а, бе!В )/де(А. С другой стороны, из линейной алгебры известно, что чо1 Й(а„..., а„) бе(В, что и завершает доказательство. Таким образом, приведенное нами общее определение объема области нз подмногообразии в !к" совпадает с интуитивным представлением об объеме, получающемся суммированием объемов бесконечно малых евклидовых параллелепипедов.

Рассмотрим гладкую гиперповерхность У"-' с= Р"., заданную, например, в виде графика х"*=/(х', ..., х -'). Пусть областью определения функции / является а(л) ограниченная область Р в К"-'. Рассмотрим на пространстве всех ~ ул-~ ~ таких функций / функционал д 1, объема то!(/) )'г','де(А! ~Ь„,. о Здесь матрица А (ян (х)), х ж — — Р,— юаую Р Р ва метрика на поверхности г'"-', а бо„, дх' /'! Кк' /~ ..; /~ дх"-', где х', ..., х"-' — евклидовы координаты. Лагранжиан )/! де7 ~~~ можно записать в явном виде через функцию /.

Пусть б -' — форма (и — 1)-мерного объема на г'; тогда чо1(/)= ')пт"-'. Пусть Рея р ', п(Р) — единичная О нормаль к У ' в точке Р, гх(Р) — угол между п(Р) и е„ (О, ..., О, 1) (рис. 5). Тогда то!(/)= 1 дт"-'= 1 о О Далее, Итак, Рассмотрим экстремальные поверхности У"-' для функционала объема то!(/) (т. е.

г афики экстремальных функций х" /(х), х ен 0). Уравнение дйлера — Лагранжа имеет вид ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ Определен не 2.2.1. Поверхности, являющиеся экстремаль. ными для функционала объема чо1 (~), называются минимальными (или локально минимальными) поверхностями. Минимальные поверхности моделируются, например, в к' с помощью мыльных пленок, затягивающих замкнутый проволочный контур (в отсутствие силы тяжести); в этом случае чо! (~) совпадает с площадью поверхности. Лемма 2.2.1.

Для двумерной минимальной поверхности, заданной в виде графика г = 7(х, у) в Р(х, у, г), уравнение Эйлера— Лагранжа приобретает вид (1 +в ~„„— 2~„„Ц„+(1 +~И..= О. Доказательство, Имеем ухУ [1+(Ч'+И )'1 '")+ — „(Ы1+Ч )'+(1 )'1 '")-О. Дифференцируя и приводя подобные члены, получаем искомое утверждение.

Уравнение минимальной поверхности У"-' допускает запись на языке локальных инвариантов вложения этой поверхности в Р'. Теорем а 2.2.1. Пусть У"-' с: Р— гладкая гиперповерхность. Средняя кривизна Н равна тождественно нулю тогда и только тогда, когда У ' можно представить в окрестности каждой своей точки в виде графика экстремальной функции для функционала объема (т. е. в виде решения уравнения минимальной поверхности). Таким образом, условие Н ппО н есть условие минимальности поверхности У" т ~ Р. Доказательство сводится к прямому вычислению средней кривизны Н =Бр(А-Че) для графика х" =~(х), где А, ~- соответственно матрицы первой н второй квадратичных форм, и проверке того факта, что уравнение Н О совпадает с уравнением Эйлера — Лагранжа.

Мы не будем проводить это вычисление в общем случае, а рассмотрим только специальную ситуацию: двумерная поверхность в Р. Зададим локально поверхность У' с= Р радиус-вектором г г(и, о). Тогда чо1(г)= ~ УЕΠ— гэйийо, где А= О(и, ю ~ — матрица первой квадратичной формы: Е (г„, г,), ~Я Р~ Р *(г„, г,), 0 (Г„ Г,). Средняя кривизна Н имеет вид Н = Вр(А-1(е) (Еб — рэ)т(О(.+2рМ+ЕН~, где Я=~„н~ — мат- /Е М~ рнца второй квадратичной формы: Е=(г„„п), М=(г„„п), Н = *= (г,„, и), и †единичн нормаль к поверхности.

Выберем на Уэ (локально) так называемые конформные (изотермические) координаты. Докажем существование таких координат для вещегтзенно-аналитических метрик А. Пусть двумерная поверхность зт пьостанюиа кллссичаскиа вмикционныа элдлчи 1гл. ~ в мь(х, у, г) задана параметрически: х х(р, у), у=у(р, у), е=х(р, д), где р, о изменяются в некоторой области пространства Р.

Тогда на поверхности возникает индуцироваииая метрика сЬэ=Е(с(р)'-'с2рйрс(у+6(с(д)', д=Еб — р')О Тео ре ма 2.2.2. Пусть Е, г", 6 — вацестеенно-аналитические функции переменных (р, д). Тогда можно ввести новые локальные координаты и, о такие, что в этих координатах метрика а(* примет следующий вид: Л'=((и, о)(див+Но').

Такие координаты называются изотермическими или конформными. Доказательство. Разложим квадратичную форму сЬ' на множители: Ь*=('уЕ бр+~+' 'удд) [Ь|Е др+' — '~'ау). Ме Мы ищем новые координаты (и, о) как функции от р, д: и = = и (р, у), о = о(р, у), такие, что сЬ' Г (и, о) (Ни'+ с(ой). Этого можно добиться, если удастся подобрать интегрирующий множитель, т. е. такую комплекснозначную функцию Х Х(р, о), что будут выполнены два тождества: Х (3г'Е бр++=у й1) с(и+ (до, )„(~)ГЕ бр+ — =у ду) Ни — йЬ (второе из иих получается из первого комплексным сопряжением), Действительно, если такая функция Х(р, у) найдена, то, перемножая два тождества, получаем дз'=~Хи-а(йи'+до'), и можно положить |(и, о) = ~ Х!-'. Итак, неизвестными функциями являются и, о, Х; они должны удовлетворять уравнению Ъ (~/Е с(р+ — ~ — ~ Йр) с(и+Ив=(~-+ (--)Нр+(д + (дч)ду.

Отсюда ЯŠ— +( —, Х -+(э- — ди дь Е+~ Уу ди дв др др' Е дч Исключение Х дает (Е+(~'у)(~+ ~)- (3+4) илн à — 1~'у -- = Š—, 3Я вЂ” + Š— = Е --. ди — ди ди ди ди ди др др ду ' др др дв ГЕОМЕТРИЯ ЭКСТРЕМАЛЕН А е! Отсюда ди ди ди др б — — р уд р'=' др др д» Рдт ~др др Поскольку — = —, то получаем следующие уравнения: Еи О, дэ дз дрда дадр' !ш=О, где дифференциальный оператор Е имеет внд е,=у (!Ру — ед-)(ес — Р ! и 1+ д '!!Рд су )(ес — Р)-1 1 Из теории дифференциальным уравнений известно (мы не будем здесь это доказывать), что если функции Е, Р, С аналитические, то уравнение Ц=О (называемое уравнением Бельтрами) всегда имеет решение.

Отсюда н определяются функции и, о, Х. Если мы положим ш = и+ (о, !в = и — (о, то метрика поверхности запишется в виде сЬ'=у(ге, !в)йаг(в. Таким образом, локально пашу поверхность можно считать комплексно-аналитической, Изотермические координаты определяются неоднозначно. Теорема доказана. Итак, будем считать, что (и, о) — уже конформные координаты на поверхности У'~= Р. В конформных координатах Р=О, Е С, следовательно, то! (Г) ** )) У(ги. Ги> '(ге, ге> й~!(и в ')) Ях„'+ у„'+ г„') (х„'+ у, '+ г;",) Йи !(к о Далее, Н=- — (Е-' М)= — (г„+г, «) — (Лг, л), где А — опе- 1, 1 ! ратор Лапласа. Рассмотрим уравнения Эйлера — Лагранжа для то)(г) в координатах (и, и), Прн этом следует иметь в виду, что возможность записать уравнение Эйлера — Лагранжа в конформных координатах следует нз того, что при варьировании функционала чо)(г) с помощью возмущения т) можно считать все функции р(и, о)+ат!(и, а) отиесеннымн к конформным координатам.

Для этого достаточно ввести конформные координаты на каждой поверхности г(и, и)+ац(и, и) (дело в том, что координаты (и, о), вообще говоря, уже не конформны на возмущенной поверхности г+а!)). Координаты (и„о,) можно считать гладко зависящими от а. Уравнения Эйлера — Лагранжа принимают вид д д д д д д де(х„)+~(х,) =О, -„-(у„)+ — (у,) =О, у„-(г„)+е-.

(г„) О, т. е. дг О. Радиус-векторы г, удовлетворяющие уравнению Ьг О, ть ' пгостеишие классические зкьиапионныа задачи ~гл ~ Ряс. 6 называют гармоническими. Итак, в конформных координатах «минимальность радиус-вектора», т. в. его экстремальность для функционала площади, означает его гармоничность. Говорить о гармоничности радиус-вектора г(и, о) можно только относительно какой-либо системы координат. При изменении координат свойство гармоничности, вообще говоря, разрушается. Итак, поскольку бг О, то Н= — (бг, и) О, и мы доказали теорему 1 2.2.1 в одну сторону.

Обратно, пусть Н ям О; мы должны доказать, что Ьг 0 (в конформных координатах). Так как (бг, п)=0, то достаточно проверить еще два равенства: (ЬГ, г„) О, (бг, г,) =О. Отсюда будет следовать, что бг=О. В самом деле, векторы и, Г„, т образуют репер в любой регулярной точке поверхности г(и, о) (по определению поверхности).

В силу выбора координат Е=6 и г =О, т. е, (г„, г„) =(г„г,)=0. ДифференЦИРУЯ ПО и И и, ПОЛУЧаЕМ: (Гане Га) ~(Г« Гп)в (Гнп Га) = — (Тпп Гп) (Гаа Гп) + (Гн Гап) = Ог (Гапв Гп) + (Га Тпп) О, Наы следует проверить тождества (гаа, г„)+(г„, г„) =*О, (г„„г,) + + (г,„, г,)=0, Эти уравнения, очевндно, вытекают из предыдущей системы. Тем самым, мы доказали не только теорему 2.2.1, ио и следующее утвержд ние. У т в е р ж д е н и е 2.2.1. Двумерная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве тогда и только тогда описывается минималькым радиус-вектором, когда АСЕЕВ средняя кривизна тождественно равна нулю.

В конформных координатах минимальный радиус- вектор становится гармоничен«птур л Два зван«ватвттг схим. Топологическая структура минимальных поверхностей )г» ~ с1с» довольно сложна, в частности, если граничный контур фиксирован, то, вообще говоря, на него можно натянуть много «мыльных пленок» вЂ” нет теоремы единственности решения для дифференциального уравнения Н=тО или ЛГ=О. Примеры см. на рис, 6 и рис. 7. Решения уравне- н ний Н=О, ЬГ=О могут иметь особенности. Пример — тройной лист Мебиуса — см.

на рис. 8. Эта Ряс. 7. минимальная пленка содержит сингулярную окружность, заполненную тройными особыми точками. Гармонические радиус-векторы являются решениями уравнения Эйлера — Лагранжа еше для одного двумерного функционала— гаоматгня экстэимхлан функционала Дирихле. Рассмотрим трехмерный радиус-вектор г(и, о) (координаты и, о произвольны).

Функционалом Дирихле называется 0[г1 ~ — йис(о, где Е, О в коэффициенты пер. Е+0 оаь м вой квадратичной формы для поверхности г (и, о). Здесь Е (г„, г,) = —. (х,'+ у,'+г,'-(-х4+ у„'+г,'), а потому уравнение Эйлера — Лаг- 2 ранжа (в векторной записи) имеет вид йг О, его решения — гармонические векторы. Так как — )Р ЕΠ— Р', то 0[г)~чо1(г) Е+О для любого кусочно-гладкого радиус-вектора г(и, о) и равенство достигается тогда и только тогда, когда Е = О, Р =О, т. е. в конформной системе координат. Таким образом, любая экстремаль Рис.