Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 52

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 52 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 52 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 52 - страница

»14 ВАРНАЦНОнныа метОДы в ТОПОЛОГнчвсхнх ЗАДАЧ»х ~гл. 3 Пусть 6 — компактная группа Ли, действующая ортогонально на Р без изменения ориентации (т. е. 6с:80(п)), и пусть А«-» с: Я" — компактное ориентированное замкнутое 6-инвариантное подмногообразне в 1«" (тогда А"-' с= Я" '). Рассмотрим А«-» с= с= 8"-' как «контур» — границу в многомерной задаче Плато. Фиксируем класс поверхностей Х ен В(А) =еТ(Н»»(А)), т. е. закленвающих границу А в смысле обычных гомологнй; гомоморфнзм Н„,(А)-«.Н„,(Х) тривиален.

Тогда всегда сущестзует глобально минимальная поверхность Х"-' ев Ю (А) такая, что ее объем наименьший. Естественно ожидать, что наличие какого- либо типа снмметрнн у границы А (напрнмер, 6-ннвариантность границы) повлечет за собой соответствующую симметрию минимальной поверхности, закленвающей эту границу.

Это предполо* жение оправдывается для случая многообразий А, вложенных в сферу. Т е о р е м а 24.2. 1 (см, 1981). Пусть 6 — замкнутая подгруппа в группе 80(п), и пусть многообразие А" » вложено в сферу 5"-» с: Р" и 6-инвариантно. Тогда существует глобально минимальная поверхность Х"-' с границей А"-» (граннца здесь понимается в смысле теории потоков), инвариантная относительно группы 6. Если вта 6-инвариантная поверхность единспменна, то тогда решение задачи Плато единственно и в классе всех поверхностней Х"-» я «Т(А) (уже не обязательно 6- инва риантных). Таким образом, в том случае, когда граница А допускает нетривиальную группу симметрий, для нахождения абсолютно минимальной поверхности, закленвающей А, иногда бывает достаточно найти минимальную поверхность в классе 6-ннвариантных пленок; если получившееся 6-инвариантное решение единственно, это влечет за собой единственность н в классе всех поверхностей, т.

е. наша 6-инварнанткая поверхность реализует н абсолютный минимум (уже в классе всех несимметричных пленок). Различные уточнення этой теоремы на языке потоков см. в 1981. Требование, чтобы группа 6 содержалась в группе БО(п), существенно. Отказ от него невозможен, как показывает простой пример. Возьмем в качестве границы А двумерный тор Т', вложенный в трехмерную сферу 5» следующим образом: Т' = = ((г, в) евС», (г~=,'в,~). В качестве группы 6 возьмем группу Е»~ О(4), образующая которой реализована ортогональным отображением (г, ш)-» (ш, х). Тогда, как можно подсчитать, миннмальные поверхности, заклеивающие тор Т' в четырехмерном пр~хтранстве Р«„ не инвариантны относительно действия группы 6, хотя тор ннварнантен (см.

1981, 117]). Итак, в случае 6-инвариантной границы А (где 6«=БО(п)) для нахождения глобально мннимальной поверхности достаточно найти 6-ннварнантную мнннмальную поверхность; если эта поверхность единственна, то она автоматнческн реализует абсолют- тРи ГеометРические задачи ный минимум во всем классе ЕР(А). Воспользуемся этим обстоятельством в задаче о конусах. Предположим, что многообразие А"-'с 8"-' является главной орбитой действия группы б, тогда л(А)с Р'/б является некоторой точкой д (мы считаем, что А связно).

Тем самым, задача о нахождении минимальной пленки, натянутой на А"-' н выдерживающей действие группы б, эквивалентна нахождению кратчайшей геодезической, идущей нз точки а на границу двумерного многообразия Р"'/6, рассматриваемого с метрикой о'(а) й'. Выделяются две задачи: (А) дать список всех возможных ортогональных действий связных компактных групп Лн б на х" с главными орбитами коразмерностн два (й = 1); (Б) з рамках этого списка описать все интересующие нас геодезические у, идущие нз точки а на границу дР"/б. Оказывается, что метрика Ж на факторе Я"'/б всегда евклидова и, следовательно, д/! с~э(а)(дх'+г(у'), где (х, у) -декартовы координаты на Я"'"/б с= сР(х, у). Используем простую механическую аналогию. Поскольку о (а) л (х, у) — гладкая функция, равная нулю на границе дк'/6, то геодезические метрики й11 — это в точности траектории световых лучей, распространяющихся в соответствнн с прннцнпом Ферма в двумерной сплошной прозрачной среде, заполняющей конус Я"'/б, с показателем преломления л (х, у) с/о (х, у), где с — скорость света, а о (х, у) — скорость распространения луча в точке (х, у).

Прозрачная среда предполагается нзотропной в каждой точке, но неоднородной на конусе. Принцип Ферма утверждает, что световой луч, распространяющийся нз точки А в точку В, выбирает путь с нанменьшнм временем прохождения от А до В прн фиксированной, энергии. Сделаем одно общее замечание. Если 0=((х, у) ~Р; у~0), л(х, у)вил(у), л(уг)»л(у,) прн у1)уэ н л(0)=0, то световые лучи, выпущенные нз фиксированной точки оее0 по направлению к границе д0, распро. страняются так, как показано на рнс. 55. Приведем полный список компактных групп Лн 6, ортогонально действующих на пространстве 1»' с коразмерностью два.

Мы укажем также н стационарные подгруппы Н, соответствующие главным орбитам этого действия, т. е. орбитам 6/Н: 1) (80 (Г) х 80(з))/(80 (à — !) х 80 (з — 1)); 2) (80 (2) х х80(й))/(Еэх80(й — 2)); 3) (8() (2)х8(3 (й))/(Т'хЯ3 (й-2)); 4) (8р(2) х8р(й))/(8р !!) х8р (й-2)); б) (/(8)/(8()(2) х80(2) хт ); 6) 80(З)/Х$; 7) 80(З)/Т', 8) 8р 13)/8р*(1); 9) 8р(2)/Т', 10) бэ/Т', 11) у,/8р!п(8); 12) (8р!п(10) х[3 (1))/(8%3(4) хТ').

Способ вложения Н-»б на языке теории представлений описан в 1971, 198]. В приведенном списке пространства 1) н 2) разнятся представлением Н-»б, 214 влгнхционныв мвтоды в топологичаскнх злдлчак 1гл.з Вернемся к конусам. Положим л = 2т н в Р'" рассмотрим -ь с.,=(24= я,~~, т.,а с.,пл-- я--,в.- (с-~ с- +~ н дС, т=5"-'х5 -'. Легко показать, что А"-'=5 -'х5м-т вложено в сферу 5а-т как локально минимальное подмногообразие, а потому конус С~ , локально минимален, т. е. аннулирует оператор Эйлера для функционала объема.

Кам мы уже знаем, при т< 4 конус С~„ ~ не мини- У мален, так как в его вершине Ч существует сокращающая дефор. мация (уменьшающая объем). Однако прн т ) 4 положение резко меняется. Пусть А' -' = 5"-' х 5"-т— стандартное минимальное подмногообразие в сфере 5' -' (см. вы- О и ше), и пусть т= 4. Тогда лкбая «(х,у) «Гу) малая вариация конуса Сз = СА' ' увеличивает его объем, т.

е. Сз , минимален по отношению к любой малой вариации н, значит, является локальным минимумом (см, 1201). Тем самым, конусы С з при т) 4 являются явными кандидатами на то, чтобы опровергать теорему о внутренней регулярности минимальных поверхностей коразмерностн один при и ) 8. Остается пока открытым вопрос об их глобальной минимальности при фиксированной границе 5"-' х5 '. Эта задача полностью решается на основе зквнвариантной задачи Плато, Рассмотрим в качестве примера какую-либо одну серию (6, Н), например, положим г= з в серии 1) (см. список выше).

Изучим соответствующие минимальные поверхности Т, с границей дТ, = = 5"-'х5 -'с5з -'с=И"'. Здесь мы считаем, что Р'~ Р"'(х) 3+ ®Р" (у), где х=(х', ..., х"), у 4у', ..., у"), и А'"'-'=(~х~ = ~уЦ, группа ЗО(т) действует на Р'(х) и группа 50(т) на Я (у). Ясно, что Р /6 есть первый квадрант на плоскости Р(х)0, у.= О). Мы будем обозначать координаты на плоскости Рс= ~~ также через х и у. Конформная метрика д11 имеет вид д!1 = (ху)' -4 (дх'+ йу').

Многообразие А'"-' изображается на К=У"у6 точкой д с координатами (1, 1). Абсолютно минимальная поверхность Т, с границей А'"-' изображается в К минимальной геодезической, идущей из точки д на границу области К. Элементарно доказывается, что А'"-'~ 5' -' является локально минимальным подмногообразием (эта орбита — критическая точка функции объема орбит), Отсюда следует, что биссектриса х=у является геодезической, соединяющей точку д с 0 (зто следует и нз симметрии метрики й~ относительно переменных х 217 тРи ГеометРические 3АдАчи 4 М! и р), поэтому конус СА'"-' для любого «4 является локально экстремальным н аннулнрует оператор Эйлера, Однако вопрос о нахождении минимальной геодезической н, следовательно, абсолютно минимальной поверхности Т, требует специального исследовання, достаточно нетривиального.

Прямое вычисление показывает (проверьте!), что если минимальная геодезическая у„, идущая нз точки 4) на границу дК, выходит на границу дК',(О), то она встречается с соответствующей координатной осью под прямым углом, н, следовательно, соответствующая минимальная поверхность Т, = п,'(уи) является аналитическим подмногообразнем без углов я особенностей, Имеющим границу Аи и Рис.

57. Рис. 56. Будем считать размерность л4 непрерывным параметром, 1 = (п4(со. Прн т'=1 имеем 4!!1=4(х'+4(у' и световые лучи, входящие нз точки-источника 47, Изображены на рнс. 56. В этом случае Од — не минимальная геодезическая: таковымн являются лннннЯд н О'4). Пусть 4п= е+ 1, е) О, тогда мы покажем, чтоточки () н ((' начинают двигаться по направлению к вершине О н распределение световых лучей, выходящих нз точки-источника, качественно выглядит так, как изображено на рнс. 57.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее