Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 34

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 34 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 34 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

каденция злдлчи !45 в 19. Редукция задачи об описании (ко)циклов, реализуемых вполне геодезическими подмногообразиями, к задаче описания (ко)гомологических свойств картановских моделей Из теоремы 18.1 извлекается важное следствие. Следствие 19.1. Пусть У вЂ” компактное односвязное вполне геодезическое подмногообразие в компактной группе 9=А(У) и У = Уь к Уь ~...

м У м У +з х...'кУ, — разложение У на неприводимые компоненты в группе 9 (см. теорему 18.1). Тогда подмногообраз е У реализует нетривиальный цикл в Н, (9; Р) тогда и только тогда, когда все подмногообразия Уь 1~1(з, реализуют нетривиальные циклы в Н, (9; И). (Предполагается, что ни адно многообразие У~ не является точкой.) Доказательство. Обозначим через (ь вложение Уь в группу 9, и пусть 1 — вложение У в 9. Рассмотрим в Н,(9; )ч) элементы 1„[Уь]. Так как в Н,(9; Р) определена структура понтрягинского произведения, то определен элемент и= 1„ [Уь]... ...1,„ [У,], реализованный в группе 9 в виде цикла У = У,Уь... У„ т. е.

У = (х„ ..., х,,), хь ы У,. Докажем, что и = (э[У]. Сначала докажем, что У = У У,... У,. В теореме 18.1 было установлено, что [Вю В„]=0 при й„ьп и [Н, Вь]=0, т(йч в, откуда и следует требуемое соотношение. Следствие доказано. Следствие 19.! сводит исходную задачу к следующей: дана произвольная связная компактная группа Ли 9 и компактное односвязное вполне геодезическое неприводимое подмногообразие; требуется выяснить, когда это подмногообразие реализует нетривиальный вещественный цикл.

Выше было указано, что если У вЂ” подгруппа, то вопрос полностью решается исследованием гомоморфизма р*(У; 9); более того, при этом не предполагается односвязность У. Поэтому мы можем целиком сосредоточить свое внимание на изучении вложения в группу 9 подмногообразия У', где У'=У,~х...хУ, (см. теорему 18,1). Вложение В У-~-9 имеет вид композиции: 1=1ь(м где 1,: У-~-А(У), 1,: А(У)-+.9. Так как 1„= 1„1,ь, то в первую очередь исследуем гомоморфизм 1, . Эта задача будет нами ниже полностью решенш мы вычислим элемент 1„[У] ~ Н, (А (У); Р) для каждого неприводимого компактного симметрического пространства У.

Поскольку вложение 1: У - А (У) однозначно (с точностью до сопряженности), то пару (А (У), У) можно рассматривать как элементарную ячейку, которую можно мономорфно отображать в компактные группы Ли. Если 1„ [У]=0, то и 1 [У] =О. Если же 1„ [У]чь О, то это не означает, что и 1„ фФ О; поэтому в том случае, когда 1„ [А (У)] = О, требуется дополнительное исследование гомоморфйзма 1„ на элементе 1~,[У]. Ясно, что в каждом конкретном случае этот вопрос может быть до конца изучен, Итак, неприводимое односвязное компактное пространство У вложено как вполне геодезическое подмногообразие в группу А (У), Ы6 повггхности. гвллизлощие нзтгивилльные циклы ~гл.4 которая, вообще говоря, не односвязна.

Легко видеть, что подмногообразие У реализует нетривиальный цикл в А(У) тогда и только тогда, когда нетривиальный цикл реализует подмногообразие У, днффеоморфное У, в накрытии А (У), Достаточно изучить вложения многообразия У в односвязную группу гь(У) А(У). Этн вложения можно описать каноническим образом, используя наличие ннволютивного автоморфнзма 6, определяющего симметрическое пространство У. Вложение неприводимого симметрического пространства У в А(У) порождает в алгебре б, инволютивный автоморфнзм 6, 6(В)= — В, 6(Н)=Н. В силу одно- связности А (У) автоморфизм 6 продолжается до ннволютивного автоморфизма всей группы; тогда множество неподвижных точек автоморфизма о связно (см, (91), откуда следует, что это множество совпадает с подгруппой $.

Вполне геодезическое подмногообразие У с: А (У) состоит, очевидно, из тех элементов, для которых о(а) =д-'. оказывается, что, н обратно, любое неприводимое симметрическое пространство У допускает вложение в группу 1ь(У) в виде вполне геодезического подмногообразня. Предложение 19.1 (см. [711). Пусть о — инзолютивный овтоморфизм компактной связной группы Ли 9. Обозначим через $ множество всех его неподвижных точек и предположим, опо на 9 задана инвариантная метрика. Тогда отоброзсение йф- ао(д ') является диффеоморфизмом многообразия 9/гр на замкнутое вполне геодезическое подмногооброзие У в группе 9, которое является симметрическим пространством в индуцированной римановой метрике.

Если группа 9 односвязна, то и многообразие 9/р, где ф — множество неподвижных точек автоморфнзма о, также одно. связно. Поскольку любое вложение й У -~А (У) определяет один н только один автоморфнзм 6 (с точностью до сопряженности), то из предложения 19.1 следует, что это вложение является картановскнм в том смысле, что подмногообразие У допускает представление в виде (йо(й-')), где а ев, а элемент а пробегает всю группу А (У). Легко доказать, что действие группы А (У) на У можно представить так: я(а) =йчкг(й-'), где а я У, дя А(У). Если яеиУ, то Ы(а) дад; если дев,(р, то д(а) пай ', т, е. подгруппа $ действует посредством вращений, а подмногообразне У действует на У сдвигами.

В дальнейшем через 9 будем обозначать универсальную накрывающую максимальной связной группы нзометрнй 1ь(У) компактного односвязного неприводнмого пространства У. Рассмотрим отображение р: 9-~- У с= 9, р ((г) ао (й-'). Ле м ма 19.1. Непрерывное отображение р определяет главное расслоенное пространство ф-~9-~-У со слоем ф. эвдэкпня злдлчн Доказательство, Рассмотрим в Е классы смежности йф по подгруппе (р. Если и, и й» принадлежат одному классу смежности, то, очевидно, р(п») р(п»).

Обратно, если р(к») р(к»), то д,а(д,'), д»а(д,'), или о(Ь-')=Ь-', где Ь й»'цм т. е. Ьеи4 и у,=д»Ь,*так как множество неподвижных точек связно. Лемма доказана. Л е м м а 19.2. Каждый класс смежности йьф имеем с подмногоабразием У нел уст се игр<сечение. Доказательство. Допустим противное: пусть существует такой класс йьф, что (й,ф)1) У ф.

РассмотРим на подмногообразии У точку гл,=р(у>9), и пусть и'=У'т, есть обозначение такой точки из У, что (т')' иь. Если таких точек несколько„ то возьмем любую нз них. Если о ен У, то о=до(д-') для некоторого пена, а потому п(о) (па(я-'))-', т. е. п(о) =о-', причем выбор элемента и несуществен. Отображение р является отображением группы Е на подмногообразие У, что позволяет рассмотреть сквозное отображение р(: У -~ У, р( (с) оп (о-'), т.

е. р((о)=о' и отображение р1 действует на У как «возведение в квадрат» в смысле операции в группе(3. Поскольку ть=(т')», то т» р((т'). Рассмотрим класс ги'.Р; тогда т'елл»'РПУ и р(гл'Р)=ть, т. е. полный прообраз точки ть при проекции р содержит точки двух классов смежности: л»'гр и д,ф. Из леммы 19.1 следует, что т'ф й»$1 а потому д»ФПУФф и содержит, по крайней мере, точку гл', что противоречит исходному предположению. Лемма доказана. Из леммы 19.2 следует, что произвольный класс д$ можно представить в виде глР, где глен У.

Если лена, то через ~/й будем обозначать такой элемент д', что (и')» и, а через (У й'1 — множество всех таких элементов из Е. Л е м м и 19.3. Пусть тЯ вЂ” лроизвольный класс смежнссгли, т =У. тогда ш,~ПУ-(1 ~)()У. Доказательство. Докажем, что (З~г~п»~()У«=тфп У. Действительно, пусть л«ь тен У и гл,' гл»; тогда тгп(т,') лы(пг') (см. выше) и (т-'щ,)п(т,'гл)=е, т. е. Ьп(Ь-') е, где Ь=лг'ль.

Так как р(Ь) е, го Ьен.р и гл,=тЬ, где Ь еда. Обратно, покажем, что ~УлР~ Д У ~ льр П У. Пусть и ен тф, сея У; тогда и тЬ, Ьыф и о»=оа(о-') т», т. е. пы(3~'аР). Лемма доказана. Отметим, что <нулевой класс смежности» вЂ” подгруппа Р— пересекается с У по множеству таких точек о, что о» = е. Отображение «возведения в квадрат» можно было бы определить и вне зависимости от вложения У с= 5, используя представление произвольной точки вен У как точки на геодезической, исходящей из фиксированной точки г ы У, а затем удваивая значение 1, параметра 1, отвечающее точке р нз этой геодезической.

Выше мы 143 повзгхности, гвллизтющив нитгивилльныв циклы [гл. « доказалн корректность этого определения для симметрических пространств. У т в е р ж д е н н е 19.1. Пусть р1 — отображение «возведения в квадрат» симметрического пространства У = 9/ф. Вполне геодезическое подмногосбразие У ~ 9 реализует нетривиальный цикл в Н„(9; 1«) тогда и толысо тогда, когда степень отображения рй У«-У отлична от нуля. Доказательство. Достаточность этого условия очевидна.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее