А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 71

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 71 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 71 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 71 - страница

Пусть с„, п > 1, — случайные величины с характеристическими функциями ус„(1), и > 1. Показать, что Е„ - О тогда и только тогда, когда ре„(1)- 1, и -+ оо, в некоторой окрестности точки 1 = О. 5. Пусть Хь Хз, ... — последовательность независимых случайных векторов (со значения ми в Й~), имеющих нулевое среднее и (конечную) матрицу ковариаций Г. Показать, что Х!+ "+Х з Р(О Г) ~/а (Ср. с теоремой 3.) 6 Пусть (н 6з, ". и нь пз, ... — две последовательности случайных величин такие, что Е„и п„независимы при каждом и.

Предположим, что х 5„- б,п - п прил- оо, глеб но независимы.Доказать,чтопоследовательность двумерных случайных величин (Е„, и„) сходится по распределению к (6, и). Пусть 1 = )(х, у) — непрерывная функция. Проверить, что последовательность Я„, г)„) сходится по распределению к Я, и).

$4. ))ЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. ) 42! Т. Привести пример, показывающий, что в утверждении 2) теоремы 1 условие непрерывности «предельной» характеристической функции ,(1) = 1)гп 1»,(1) в нуле, вообще говоря, не может быть ослаблено. (Ина« че говоря, если р(1) не непрерывна в нуле, то может случиться, что ,р„(1)- Р(1), но Р„~ Р.) УбедитьсЯ на пРимеРе, что отсУгствие непРерывности р(1) в нуле может привести к нарушению свойства плотности семейства вероятностных распределений Р„, и > 1, с характеристическими функциями р„(1), и > 1.

$ 4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 1. Условие Линдеберга (1.) — ~~~ $ (х — ть) др»(х) — О, и — со. (1) 1 ь=) [»:)»-еч)в«о„) Тогда Зл — Е5» г 4(0 1) ~5» (2) Доказательство. Без ограничения общности можно считать та =О, й > 1. Обозначим рь(1) = Ееиь, Т„= —" = — ", уз„(1) = Ееиз", уг„(1) = » ).)» = Ееиг". !. В этом параграфе центральная предельная теорема для (нормированных и центрированных) сумм 5„ независимых случайных величин С), Сь ..., С„, п > 1, будет доказываться при традиционном предположении выполнения классического условия Линдеберга.

В следующем параграфе будет рассмотрена более общая ситуация: во-первых, центральная предельная теорема будет сразу формулироваться в «схеме серий>, и, вовторых, ее доказательство будет идти при выполнении так называемых неклассических условий. Теорема 1. Пусть с), сз, ... — последовательность независимых случайных величин с конечными вторыми моментами. Пусть т»=Е(ы о~ ~— -0(ь>0, 5»=~) +...+4„, 0«э= ~ оьз и Рь=рь(х) — фунФ=) к)(ия распределения случайной величины сь Предположим, что выполнено «условие Линдеберга»: для всякого е>0 ГЛ.

ВЬ СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Тогда .()=Ееи" =Е' "= '®)=П "® (З) »ьи и для доказательства (2) достаточно (в силу теоремы ! из $ 3) установить, что для каждого ! ЕЛ рг„(!)- е 'Рз, и- оо. (4) Возьмем некоторое ! е !! и будем считать его фиксированным на протяжении всего доказательства. В силу разложений В,у' ееа =1+(у+ — ' 2 ега=1+!у — — + В,!у!' 2 справедливых для каждого действительною у с В~ =В~(у), уз=02(у) таки- ми, что !В~!<1, !В2(<1, находим, что ОО В (Гх)2 р»(!)=Ееле'= ') ем е(Г»(х)= ) (!+!(х+ ' )е(Г»(х)+ — ЕО !Е!>ЕО„ Гзхз В2)Гх!з х + 1 (Ь+ !х- — + — ВГ,(х) = 2 6 ) /Е/<ЕО„ 12 гз !г!3 = 1+ — ~ В~х~г(Г»(х) — — ~ х г(Г»(х) + — $ В2!х(~ г(Г»(х) /Е!>ЕО /Е/<еО, !.е/<ЕО, (здесь мы воспользовались также тем, что, согласно предположению, гп»= ~ хг(Г»(х)=0).

Следовательно, ~р»( — ) = ! — — ~ хтг(Г»(х)+ — к ~ В~хзг(Г»(х)+ 0е 2!!й 2~е !е!в О. + — з $ ~2!~!'ВГ»(~) (б) ! !з ВОз Поскольку ! В~хз г!Г»(х) < — ') х2 ВГ»(х), !е! >ЕО„ !Е!ВЕО э 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.! 423 то 01х~г(Г4(к) =01 ~ х~Ы4(к), !к!>ео„ 1к!В<0„ (е) 64х~~г(Гд(к) =дя ~ е0„ххах(х), 1к!<к0„ !х!«О„ где дя = 92(1, К и) и Я < 1/6. Положим теперь Ах, = — ~ к ЫР4(х), 1к!<хо„ (7) В»„= — 2 ) х 4(Ра(х). !<1>во„ Тогда в силу (5) — (7) 12А р41 — 1=1 — — ""+1~В~Вал+!1)~кдтА4» (=1+Сея).

( )= Заметим, что (8) я (Аа„+ Вк„) = 1 4=1 (9) и, согласно условию (1), л Вк„-+О, л- оо. 4=1 (10) Поэтому для достаточно больших и гпах )Ск„) <1 ех+е!!)~ ~<4<а )С,„) < !2+,)!!з 4=! Воспользуемся теперь тем, что для комплексных чисел г с 1г! < 1/2 1п(1+ к) = г+ 01г!2, (12) !4» где 01 = д1(1, К й) и !др ! < 1/2. Точно так же Вя)к 1~ г(Ри(х) < — ~ —" (х)~ НЕА(х) < - ~ е0„х йГ4(х), !к!<хо !к1«0„ !к1«0„ и, значит, ГЛ. и!. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 424 где В =В(г) с )В) < 1 и 1и обозначает главное значение логарифма (!и а = =!и (а(+! агфа, -я<агре<я). Тогда для достаточно больших и из (8) и (11) следует, что для достаточно малых е > 0 !И Ч24( — 1 = !И(1+ Сал) = Сад+ Вад)Сад! ~Рд) где (Вал! < 1.

Следовательно, из (3) тз — + )и Ч!Г„Я вЂ” — + ~ !и <Ра( — ) = — + ~ Са + Ч ~' Вьд!Сад~~. 2=! ь=! 4=! Но л — + ~~' Сал = — 1 — ~~~ Аьл + т ~Ч~ В!(С й, и)Вал+ 2=! ид! 4=! +е(т)з ~ В2(т, й, и)А ., Ф=! и в силу (9), (10) для любого В > 0 можно найти столь большое иа и такое е>0, что для всех п>ао !' — +~ С,л <-,. Далее, в силу (11) и (! 2) л л ~ Вьд(Сад! ~ (и!ах )Сад/ ~~! !Сад/ ~<(г е +е!г! ) (! +е!г! ).

!<Й<л а ! 4=! Поэтому для достаточно больших и за счет выбора е > 0 можно добиться того, что л ч~! В„!С„! и, следовательно, 12 ~ 2 + 1и Рт„(!) ) < 6 Таким образом, для любого действительного ! Э!т„(т)е! т2- 1, и-+со, и, значит, рт.Я- е ' 2, и- со. $4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕЙЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. ! 425 2. Остановимся на некоторых частных случаях, в которых выполнено условие Линдеберга (1) и, следовательно, справедлива центральная предельная теорема.

а) Пусть выполнено условие Ляпунова: для некоторого б > 0 к — Е[С вЂ” т»[з+г- О, и- оо. Р2+6 »=! (13) Пусть е > О, тогда Е[с — т [я+4= ~ [х-т»[з+гс(р»(х)> > ~ [х т [з+г др»(х) > »Р» ~ ( )з Ро )л-юла)>го„) (х;(к-ич(>со„) и, значит, л л — (х — т») аР»(х) < — г ° з+г ~~ Е[С» — т»[ ~~. »=1 (к: !х-е~!>еа,) л — [х-т[зЫ»(х)= — з ~ [х-т[зИр)(х)- О, " »=)(:)х- (>го„) (х: (к-а!>гоЩ поскольку(х: [х — т[>еоз,(й)) е), и- со, а от= Еф — т[з <со.

Таким образом, условие Линдеберга выполнено и, следовательно, теорема 3 из $3 вытекает из доказанной теоремы 1. с) Пусть 5, сз, ... — независимые случайные величины такие, что для всех п>1 [с [<К<со, где К вЂ” некоторая постоянная, и Р„ — со, и†оо. Тогда из неравенства Чебышева [х — т»[ г(Г»(х) =Е[(4» — т») 1([Р» — т»[>еР„)[ < (х:(к-е~!Вео„) , 2 <(2К) Р([~» — т»[>еРк)<(2К) з з Следовательно, условие Ляпунова обеспечивает выполнение условия Линдеберга.

Ъ) Пусть (н Сз, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с т=Е~~ и дисперсией 0<озжР~~ <оо. Тогда 426 ГЛ. ВЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР и, значит, ! — 1х — т»1 аГ«(х) < — О, и оо. (2К)2 а=! !к:1к-и»!В»О„) Следовательно, снова выполнено условие Линдеберга и, значит, справедлива центральная предельная теорема. 3. Замечание 1. Пусть Т„= 5„— Е5„ и Гг„(х) = Р (Т„< х). Тогда утверТк» ждение (2) означает, что для всякого х Е 14 Гт„(х)- Ф(х), л- со.

Поскольку функция Ф(х) непрерывна, то на самом деле сходимость здесь равномерная (задача 5 в $1): зир !Гг„(х) — Ф(х)(- О, л - со. (14) кея В частности, отсюда следует, что Р(5„<х) — Ф( ") — О, н- оо. Это утверждение часто выражают словами, что при достаточно большом и величина 5„примерно нормально распределена со средним Е5„и дисперсией Р»взР5„.

Замечание 2. Поскольку в соответствии с предыдущим замечанием сходимость Гг„(х) -+Ф(х), и- со, равномерна по х, то естественно поставить вопрос о скорости сходимости в (14). В том случае, когда величины 5ь 52, ... независимы, одинаково распределены и Еф !а <со, ответ на этот вопрос дается теоремой (неравенством) берри — Эссеена ($1!): Е4 !з зир 1Гг„(х) — Ф(х)) < С к ез,/л (15) где С вЂ” универсальная константа, точное значение которой до сих пор неизвестно. (В [90, гл.

5, $4.3] для этой константы приводятся такие 1 неравенства: — < С < 0,7555.) ~/2« Доказательство (!5) дается в $!!. Замечание 3. Придадим условию Линдеберга несколько иную (и даже более компактную) форму, особенно удобную в случае «схемы серий». Пусть 4Н 52, ... — последовательность независимых случайных вели» чин, та = Есы о~я = Р5ы 02 = 2 „а»2 > О, и > 1, и 5„» = 44». С учетом 44. цн!4трлльндн прндельндн теоре»чй. ! 427 этих обозначений условие (1) принимает следующий вид: л Е[(з l(]~„~] > е)] О, и оо. »ьн (16) Если 5,=6„1+...+6, то 05„=1 н теореме 1 можно придать такую форму: если выполнено условие (16), то 5, — .4'(О, 1). сы сьз ",6- — последовательность независимых случайных величин таких, что Е$ц, = О и 05, = 1, где 5„= с,~ +... + (, . Тогда выполнение условия Линдеберга (!6) достаточно для сходимости 5„- .4'(О, 1).

4. Поскольку щах Есз»(аз+~~> Е[4~»!(К,»]>е)], 1с»сь то ясно, что из условия Линдеберга (16) вытекает, что щах Ес»з„- О, п- оо. 1к»<л (17) Примечательно, что при выполнении этого условия из справедливости центральной предельной теоремы автоматически следует выполнение условия Линдеберга.

Теорема 3. Пусть при каждом п>1 1т,6з, ",6. — последовательность независимых случайных величин таких, что Е6» = О и 05„= 1, где 5„= 6„~ +... +С„„. Пусть выполнено условие (17). 7огда условие Линдеберга является необходимым и достаточным для справедливости центральной предельной теоремы, 5„- Ф'(О, 1). Достаточность следует из теоремы 2. Для доказательства необходимости нам понадобится следующая лемма (ср. с леммой 3 в 3 3). В таком виде центральная предельная теорема справедлива и без предположения о том, что величины С„» имеют специальную форму 4» — т» сы Именно, имеет место следующий результат, доказываемый буквально так же, как теорема 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее