А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 39

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 39 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 39 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 39 - страница

Пусть теперь г) — произвольная случайная величина с Ег)> -оо. Если Еп = со, то в силу В Ес„= ЕС = со и утверждение доказано. Пусть Ег1< со. Тогда, учитывая сделанное предположение Е!1> — со, получаем, что Е)п! < оо. Ясно, что О < с„— ц7~-г) для всех ь! е(). Поэтому, согласно доказанному, Е(4„-г)) Т ЕК-г!) и, значит (по свойству Е и задаче 2), Е( — Еп Т Е4- Ег). Но Е)п! <оо, поэтому Ес„! ЕС, и оо. ,((оказательство утверждения Ь) следует из а), если вместо исходных величин рассмотреть величины со знаком минус. С) Следствие.

Пусть (п„)ыд ! — последовательность неотрицательных случайных величин. Тогда Е ~ ~ц„= ч~! Е!)„. и=! и=! Доказательство следует из свойства Е (см. также задачу 2), теоремы ь ао о монотонной сходимости и того замечания, что 2' г), ! 2" и„, й- со. С) п=! ч=! Теорема 2 (лемма Фату).

Пусть г), С!, Сэ, ... — случайные величины. а) Если с„> !) для всех и > 1 и Еп > — оо, то Е !нп ~„<!пп Е~„. Ь) Если С„<!) для всех и> ! и Еп<со, то !пп Ес„< Е !нп с„. с) Если !~„!<г) для всех и >1 и Еп<со, то Е !нп 6 < !нп Е4„< !!гп Е~„< Е !нп ~„. (7) 234 ГЛ, Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. а) Пусть ~„= 1и! с, тогда ы)п 1пп Сп=!!щ 1п! С =1пп 1п. л ы>п и Ясно, что ~„( 1пп с„н ~„> г) лля всех и > 1. Тогда нз теоремы 1 Е 1пп ф, = Е )пп ~„= 1пп Е('„= (пп Е~„<!пп ЕС„, л что н доказывает утверждение а). Второе угвержденне следует нз первого. Третье — есть следствие первых двух. С) Теорема 3 (теорема Лебега о мажорнруемой сходнмостн). Пусть случайные величины таковы, что (б„(<гг, Ег1 <со и 4„- с (л, и.).

Тогда Еф<оо и (8) ЕЕп- ЕЕ, и — оо, Šʄ— 4! - О, а -+ оо. (9) Доказательство. По предположению )пп С„= )пп С„=С (и. н.). Поэтому в силу свойства С н леммы Фату (угвержденне с)) Е~=Е)пп („<йп Е(„=!пп Е~п=Е 1пп ~п=Е(, что н доказывает (8). Ясно также, что 1С ! < г1. Поэтому Е(С ! < оо. Утверждение (9) доказывается так же, если только заметить, что !сп -с! <2п П Следствие. Пусть и, С, 4н Сз, ...

— случайные величины такие, что Кл) (г) 6 "~ (и. и ) и Епи <оо для некоторого р >О. Тогда Е)Я!и <оо и Е 1С вЂ” С«1Л -+ О, П -+ СО. Для доказательства достаточно заметать, что ф < и н )( - ~„(л < < (К1+ К.1)' < (2п)'. Условие «!С„! <г), Ег) < со»ч входящее в лемму Фату н теорему о мажорнруемой сходнмостн н обеспечнвающее выполнение формул (7) — (9), можно несколько ослабить. Для формулировки соответствующего результата (теорема 4) введем Определение 4. Семейство случайных величин К„)„>~ называется равномерно интегрируемым (по мере Р), если зпр $ !~„! Р(ды)- О, с оо, (1О) Щ,1>с] нлн (в других обозначениях) эпр Е(Кп!(1!4„1>п11 О, с оо.

и 46. НнтеГРАл леБеГА. мАтемАтическОе Ожидлние 235 Е 1пп 6 <!кп Е~, ~<!пп Е(, < Е 1нп ( Ь) Если к тому же с„- с (п. н.), то случайная величина С инте- грируема и Ес„- Ес, и-+со, Е(с,— с!- О, и-+оо. Доказательство. а) Для всякого с > 0 Е1л = Е(лУ!е„<-с) + Е6/!4„>-с!. (12) В силу равномерной интегрируемости для всякого г > 0 можно выбрать с столь большим, что зпр !ЕС„/!6,<,1! < е.

(! 3) В силу леммы Фату 1нп ЕС„I!6,>,! > Е!пп ~„)!Е„>,!. Но („(!Е„>,! > С„, поэтому !пп Е(„l!Е„>,1>Е!пп С„. Из (12) — (14) находим, что (14) 1пп Е(„> Е 1пп („— г. В силу произвольности г > 0 отсюда следует, что! пп Ес„> Е 1нп с„. Аналогичным образом доказывается, что 1пп ЕС„< Е !пп С„. Что же касается утверждений Ь), то они доказываются так же, как соответствующие утверждения в теореме 3. С) Наиболее полно значение понятия равномерной интегрируемости раскрывается в следующей теореме, дающей необходимое и достаточное условие для предельного перехода под знаком математического ожидания. Теорема 5.

Пусть 0<С„- С и ЕС„<оо. Тогда ЕС„- ЕС <ос тогда и только тогда, когда семейство случайных величин (Я„>~ равномерно интегрируемо. Доказательство. Достаточность следует из утверждения Ь) теоремы 4. Для доказательства необходимости рассмотрим (не более чем счетное) множество А =(а: Р(с =а) >0). тогда с„/!е„<,1- с/!6<,> для каждою Ясно, что если случайные величины С„, п>1, таковы, что (С„)<п, Егг < со, то семейство (С„)„>1 будет равномерно интегрируемым.

Теорема 4. Пусть (с,)„>~ — семейство равномерно интегрируемых случайных величин. а) Тогда 236 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ афА, причем семейство величин (6„/16„<,1)„в~ будет равномерно интегри- руемым. Поэтому в силу «достаточности» Е~„)16„<,1- Е016<«1, афА, а значит, Е(„716>«1- ЕЕlм>«1, афА, п- оо.

(16) Зафиксируем е>0 и выберем сначала аь)ьА столь большим, что Еб)16>„1 < е/2, а затем Нь таким, что для всех п > Фь Е6/16, >ао1 < ЕЦ(г>ао1 + е/2' н, значит, Е(„!16„>„1 <е. Выберем, наконец, а~ >аь столь большим, что для всех п < Мь Е(„/16„>„1 < е. Тогда ацр Е(„/16„>„1<с, п что н доказывает равномерную ннтегрируемость семейства случайных ве- ЛИЧИН (С«)ь>ь П 6. Остановимся на некоторых критериях равномерной ннтегрируемостн. Прежде всего заметим, что если (С„)тв~ — семейство равномерно интегрируемых случайных величин, то зцр Е!Е„!<со. л В самом деле, для фиксированного е > 0 н достаточно больших с > 0 (16) зцР е!~п! =ацу (е!~л!)цг.1>а+ е!е.!/цг.1<а! <( » л <зцр Е!(ь!/06„1>с)+знр Е((«!!116„1<С1<е+с, Е(Кл!)л) = Е(Ы»(/до116„1>с1)+ Е(Кл))лоцг„1<ь1) < Е(К«!/цг 1>с1)+сР(А).

(17) что н доказывает (16). Оказывается, что условие (16) вместе с так называемым условнем «равномерной непрерывности» является необходимым н достаточным для равномерной ннтегрнруемостн. Лемма 2. Для того чтобы семейство случайных величин К„)„>~ было равномерно интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы Е!~„!, и > 1, были равномерно ограничены (т е. было выполнено условие (16)) и чтобы Е(К„!)л), и > 1, были равномерно непрерывны (т.

е. ацр Е((с„!)л)- О, когда Р(А) -~0). ь Доказательство. Необходимость. Условие (16) было проверено выше. Далее, 237 $6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Выберем с столь большим, что зир Е(]4ь ]7114„1>,!) < г/2. Тогда если Р(А) < л <г/2с, то из (17) зир Ефь])л) ~(г, ь что и доказывает равномерную непрерывность. Достаточность. Пусть г>0 и й>0 таково, что из условия Р(А) <б следует, что равномерно по и Е(]с„]!л) < г. Поскольку для всякого с > 0 Е]4„! > Е]~„]71!Е„!>,! > сРЯ„! > с) (ср. с неравенством Чебышева), то зир РЩ>с)( — зир Е]Я О, с- оо, 1 а значит, для достаточно больших с в качестве множества А можно взять любое из множеств (]с„! > с), и > 1.

поэтому зир е(](„!7!161>,!) <г, что и доказывает равномерную интегрируемость. Сз В следующем предложении дается удобное достаточное условие равномерной интегрируемости. Лемма 3. Пусть (и Сз, ... — последовательность интегрируемых случайных величин и 6=6(1) — неотрицательная возрастающая функция, определенная для 1> О, такая, что )пп — = оо, 6(г) (18) са аир Е6Щ) <со. (19) Тогда семейство случайных величин (Я„>~ является равномерно интегрируемым. Доказательство. Пусть е > О, М =зир Е6(]с„!), а = —.

Выберем с М Ю г столь большим, что — >а для 1>с. Тогда 6(г) 1 М Е(Кь]71!61>с!] ~ <-Е]6(Кл!)766!>с!] (~ — =г равномерно по всем и > 1. С) 6. Если С и 77 — независимые простые случайные величины, то, как и в п.

5 5 4 гл. 1, доказывается, что Е(П= ЕС. Еп. Установим теперь справедливость аналогичного утверждения в общем случае (см. также задачу 6). Теорема 6. Пусть с и г) — независимые случайные величины с Е]с! <со, Е]г!! <оо. Тогда ЕКП! (оо и Есг) = Ес ° Еп. (20) 238 ГЛ. П.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. Пусть сначала Е > О, 21 > О. Положим ч я и 1, - <Е< -~- ) ' л и ( й <ч< -~- ) э=о э=о Тогда С„<С, ]ń— С] <1/и и 21„<21, ]и„— т)]<1/и. Поскольку ЕЕ<со, Е21 < со, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости 1пп ЕС„= ЕЕ, 1пп Ет)„= Еп. Далее, в силу независимости б и 2) ч А! Е~„ц„= 2 — Е)(ь ь+~))~й аз>о А! — — 2 Е)гй 4+11 Е/(Е 1~)1 =Ебп Е21„. ьз>о Заметим теперь, что РК>е]<— Е~ е Доказательство сразу следует из того, что (21) ЕЕ > Е[О!гик!] >е Е114>,! =вР[с )~е].

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее