А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 37

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 37 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 37 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 37 - страница

Пусть Е и т! — две случайные величины на (й, Я) и множество А е Я. Тогда функция )~А также является случайной величиной. б, Пусть Еь ..., 4„— случайные величины и р(хь ..., х„) — борелевская функция. Показать, что функция р(Е,(ит), ..., 4„(ит)) также является случайной величиной. 7, Пусть Е и т) — две случайные величины, принимающие значе- ниЯ 1, 2, ..., А!. ПРедположим, что Уге=,йгч. Показать, что сУществУет такая перестановка (!и тз, ..., тн) чисел (1, 2, ..., А!), что для каждою ! =1, 2, ..., Ат множества (иц Е= т) и (иц тг=т'+ !) совпадают.

8. Привести пример случайной величины Е, функция распределения которой имеет плотность )(х) такую, что 1!щ 1(х) не существует и, следовательно, Дх) на бесконечности не аннулируется. 9. Пусть Е и т! — ограниченные случайные величины Я(<ст, ф <с2). Доказать, что если для всех пт, л > 1 Е4 т!" =ЕЕ Ет!", то 4 и т) независимы. 10. Пусть Е и т) — случайные величины и их функции распредления Ре и гч совпадают. Доказать, что если х Е )1 и (ьн Е(ит) = х) Ф Ет, то существует у Е !т' такое, что (иц Е(ти) = х) = (ю: т!(ит) = у).

11. Пусть Š— не более чем счетное подмножество )т, 4 — отображение й- Е. Доказать, что Е является случайной величиной на (й, Я) тогда н только тогда, когда (ит: Е(ит) =х) ЕЯ для каждого х ЕЕ. 5 5. Случайные элементы 1. Наряду со случайными величинами в теории вероятностей и ее приложениях рассматривают случайные объекты более общей природы, например, случайные точки, векторы, функции, процессы, поля, множества, меры и т.д. В связи с этим желательно иметь понятие случайного объекта произвольной природы. Определение 1. Пусть (й, лг) и (Е, в") — два измеримых пространства.

Будем говорить, что функция Х =Х(ю), определенная на й н принимающая значения в Е, есть я/й'-измеримая функция, или случайный элемент (со значениями в Е), если для любого В е ет (ит: Х(ит) Е В) Е йг. 222 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Иногда случайные элементы (со значениями в Е) называют также Е-значными случайными величинами. Рассмотрим частные случаи этого определения. Если (Е, й') =(В, Я(В)), то определение случайною элемента совпадает с определением случайной величины ($4). Пусть (Е, в) = (В", ЯЯ")). Тогда случайный элемент Х(ы) есть «случайная точка» в В".

Если я» — проекция В" на й-ю координатную ось, то Х(ы) можно представить в виде Х(ы)=ф(ы), ..., Е,„(ы)), (2) где с» = я» о Х. Из условия (1) вытекает, что Е» — обычные случайные величины. Действительно, для любого В Е Я(В) (ы. 'с»(ы) ЕВ) = =(их 6(ы) ЕВ, ..., с» ~(ы) ЕЯ, Е»(ы) ЕВ, Е»+~(ы) ЕВ " Е«(м~) Еф)= = (ин Х(ы) Е (В х ... х В х В х й х... х В)) Е М, поскольку множество В х... х»1 х В х В х ... х В Е Я(В").

Определение 2. Всякий упорядоченный набор случайных величин (гл(ы), ..., »)«(ы)) будем называть л-мерным случайным вектором. В соответствии с этим определением всякий случайный элемент Х(ы) со значениями в В" является и-мерным случайным вектором. Справедливо и обратное: всякий случайный вектор Х(ы) = К~(ы), ., с„(ы)) есть случайный элемент в В". Действительно, если В» Е Я(11), й = 1, ..., и, то л (ин Х(ы) Е (В~ х ...

х В„)) ««П(ин Ыы) Е В») Е» . »=! Но наименьшая в-алгебра, содержащая множества В~ х... х В„, совпадает с Я(»1"). Тогда из очевидного обобщения леммы 1 из $4 сразу получаем, что для любого В Е Я()с") множество (ис Х(ы) Е В) принадлежит М. Пусть (Е, в)=(Х, Я(Х)), где Š— множество комплексных чисел г =х+ (у, х, у Е )т, а Я(Х) — наименьшая в-алгебра, содержащая множества вида (г: г=х+(у, а~ <х<Ьн аз <у <Ь2).

Из предыдущею рассмотрения следует, что комплекснозначная случайная величина Х(ю) представляется в виде 2(ы) =Х(си) + (У(ы), где Х(ы) и У(ы) — случайные величины. Поэтому 2(ы) называют также комплексными случайными вели чинами. Пусть (Е, в) =(йг, Я(йг)), где Т вЂ” некоторое подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент Х =Х(ы), представимый, й 5. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 223 очевидно, в виде Х =(сл)тг с 6 = кс оХ, называют случайной функцией с временнйм интервалом Т.

Так же, как и для случайных векторов, устанавливается, что всякая случайная функция является в то же самое время случайным процессом в смысле следующего определения. Определение 3. Пусть Т вЂ” некоторое подмножество числовой прямой, Совокупность случайных величин Х =(~~)~ег называется случайным (стохастическим) процессом с временным интервалом Т.

Если Т =(1, 2, ... ), то Х = ((н С2, ... ) называют случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если Т = (О, 1], (-оо, оо), (О, оо), ..., то Х = (~~)~ег называют случайным процессом с непрерывным временем. Используя структуру о-алгебр Я()гг) 5 2), нетрудно показать, что всякий случайный процесс Х =(Ел)гег (в смысле определения 3) является в то же самое время случайной функцией (случайным элементом со значениями в )(г), Определение 4. Пусть Х =(4~)~ег — случайный процесс.

Для каждого фиксированного РЕП функция (Ел(ш)),ег называется реализацией или траекторией процесса, соответствующей исходу ы. По аналогии с определением 2 $4 естественно следующее Определение 5. Пусть Х = (Ел) ег — случайный процесс. Вероятностная мера Рх на (11~, Я(й~)) с Рх(В) = Р(ип Х(ы) е В), В Е Я(тс~), называется распределением вероятностей процесса Х. Вероятности Рн ь(В)аэР(ип ((н, ...,(ц)ЕВ) с Й < 12 «... 1„, Й е т, называются конечномерными вероятностями (или распределениями вероятностей). Функции Рп Ы(хн ..., х„) из Р(ип (Ь <хн ..., (Ь < х„) с Й < 12 «...

1„, 0 е Т, называются конечномерными функциями распределения процесса Х =Я)~ег. Пусть (Е в') = (С Яо(С)) где С вЂ” пространство непрерывных функций х = (х~)~ег на Т = [О, 1! с о-алгеброй Яе(С), порожденной открытыми множествами 5 2). Покажем, что всякий случайный элемент Х пространства (С, Яа(С)) есть в то же самое время случайный процесс (с непрерывными траекториями) в смысле определения 3.

В самом деле, согласно $2, множество А = (х е С: х~ < а) есть открытое множество в Яа(С). Поэтому (ин (~(м) <а)=(ин Х(ы)еА)еУ', 224 ГЛ. Н, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С другой стороны, пусть Х =(Е|(ш)),ег есть случайный процесс (в смысле определения 3), траектории которого при каждом шей являются непрерывными функциями.

В соответствии с (17) 5 2 (х Е С: х е 5„(х )) = [ ] (х е С: [х|, — х,„[ < р», где !» — рациональные точки отрезка [О, 1]. Поэтому (ш: Х(ш) Е Вр(Х (ш))» = П (ш. [Еь (ш) — Е,,(ш) [ < р» е Х, а значит, и (ш: Х(ш) е В» е дг для любого В е бге(С). Аналогичные рассуждения показывают также, что всякий случайный элемент пространства (О, иге(0)), введенного в 5 2 (п. 7), может рассматриваться как случайный процесс с траекториями из пространства функций без разрывов второго рода, и наоборот. 2.

Пусть (й,,эг, Р) — вероятностное пространство и (Е, в' ) — измеримые пространства, где индекс а принадлежит некоторому (произвольному) множеству й. Определение 6. Будем говорить, что эг/ег -измеримые функции (Х (ш)), оей, независимы (или независимы в совокупности), если для любого конечного набора индексов а|, ..., а„случайные элементы Х „..., Х „независимы, т.

е. Р(Хм| ЕВмо ..., Ха„6 Ва„»=Р(ХМ ЕВт»...Р(Ха„Е Ва„» (3) где В ее'. Пусть й = (1, 2, ..., и», Š— случайные величины, а е й, и Рс(х|, ..., х„) =Р(Е! <х|, ..., ~„<х„» — п-мерная функция распределения вектора с = (Е|, ..., Е„). Пусть Рв(х;) есть функция распределения случайной величины Е|, ! = 1, ..., и. Теорема 1. Для того чтобы случайные величины Е|, ..., Е, были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для всех векторов (х|, ..., х„) е)с" Ес(х|, ..., х„) = гб(х!)...гс„(х„). (4) Доказательство.

Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности положим (а = (а|, ..., а,), Ь = (Ь!, ." Ьп)) Рг(а, Ь] = Р(а| <Е! < <Ь!, ..., ал < Еп 1~ Ьп», Ро(ан Ь;] = Р(а| <6 <Ь!». э 5. СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 225 тогда в силу (У) лэ 3 и (4) л л Ре(а, /7] =П (Ре (31) Ре (а1)]=П Ро(а;, /71] и, значит, РК! Е /! . 6л Е /л) = П РК1 Е /;», 1=! ГДЕ /; =(а1, О1]. Зафиксируем /2, ..., /л и покажем, что для любого В! Е Я(/т) Р(~! 6 В1, (2 Е/2, ", (л Е/л) = РК! Е В!) П Р(6 Е/1).

(6) 1=2 Пусть .эх' — совокупность множеств из Я(/г), для которых выполнено (6) («принцип подходящих множеств», $2). В .9К входит, очевидно, алгебра Ф множеств, состоящих из сумм непересекающихся интервалов вида /! = (а!, ь1]. поэтому а|с.79 с Я(/г). из счетной аддитивности (а следовательно, и непрерывности) вероятностной меры следует также, что система ле является монотонным классом. Поэтому (см. п, ! $2) /1( 9Е)С 9ЕСЯ(В), Но, согласно теореме ! из $2, /1(лУ) =о(лг) =Я(//). Поэтому .9К= Я(/(). Итак, (6) доказано.

Фиксируя теперь В1, /з, ..., /л, тем же методом доказываем справедливость (6) с заменой /2 на борелевское множество Вэ. Продолжая этот процесс, очевидным образом приходим к требуемому равенству Рф ЕВ1, ..., (лЕВл)=Р(6! ЕВ!)...Р(блЕВл), где В1 Е Я(/2), П 3. Задачи. !. Пусть 61, ..., С„ — дискретные случайные величины.

Показать, что они независимы тогда и только тогда, когда для любых действительных чисел х,, ,хл (6 н" с ) П (6 2 Провести доказательство того, что всякая случайная функция л(ь!)=(с1(ь7))1ег есть случайный процесс (в смысле определения 3), и наоборот. З вЂ” 9727 226 ГЛ.

и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3. Пусть Хн ..., Մ— случайные элементы со значениями в (Ен !й), ..., (Е„, Ю„) соответственно. Пусть, далее, (Е,', в,"), ..., (Е„', © — измеримые пространства и дн ..., д„являются в1/в, ..., Ф„/й'„'-измеримыми функциями соответственно.

Показать, что если Хн ..., Х„независимы, то независимы также и случайные элементы йч о Хн ..., д„оХ„. 4. Пусть Хн Хз, ... — бесконечная последовательность лересгпановочных случайных величин (т. е. таких, что совместное распределение каждой группы случайных величин, состоящей из й элементов с разными индексами, скажем, Х;„..., Х;„зависит лишь от й и не зависит от конкретного выбора значений (н ..., (м где!О ..., (А попарно различны; ср. с определением в задаче ! ! из 2 !). доказать, что если ЕХ2 < со, и > ), то ковариация к(Х, Х ))О.

5. Пусть с, г), ~ — независимые случайные величины. Доказать, что случайные величины С+и и ~2 независимы. 6. Пусть (н ..., (', пн ..., т!„— случайные величины. Образуем случайные векторы Х = (5, ., С ) и У = (гн, ..., и„). Предположим, что выполнены следующие условия: (!) случайные величины (н ..., С независимы; (й) случайные величины г)н ..., г)„независимы; (и!) случайные векторы Х и У, рассматриваемые как случайные элементы со значениями в )г и )т" соответственно, независимы. Доказать, что случайные величины ~н ..., С', гь, ..., п„независимы. 7. Даны случайные векторы Х = ф, ..., 5 ) и У = (гп, ..., г)„).

Известно, что случайные величины 4н ..., С, пн ..., г)„независимы. (!) Доказать, что случайные векторы Х и У, рассматриваемые как случайные элементы, независимы (ср. с задачей 6). (й) Пусть 7:)г — )г, д:)т" - )г — борелевские функции. Доказать, что случайные величины ~®, ..., С ) и д(гп, ..., и„) независимы. ф 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание 1.

В том случае, когда (й, лг, Р) — конечное вероятностное пространство и С =С(ь) — простая случайная величина, понятие математического ожидания ЕС было определено в $4 гл. !. Та же самая конструкция математического ожидания ЕС от простых случайных величин С используется и в случае произвольного вероятностного прост- 46. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИЛАНИЕ 227 ранства (й, Я, Р). А именно, по определению полагается » Е5 = ~~~ хаР(А»). э=1 (2) Это определение корректно (в том смысле, что значение ЕС не зависит от способа представления 5 в виде (!)), что показывается точно так же, как и в случае конечных вероятностных пространств. Аналогичным образом устанавливаются простейшие свойства математического ожидания (см.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее