А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 32

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 32 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 32 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 32 - страница

Итак, покажем, что функция Рь счетно-адднтнвна (т. е. является вероятностной мерой) на алгебре лх. Согласно теореме нз $ !, для этого достаточно проверить непрерывность Ре в ~В, т.е. проверить, что Ро(А,) 1 О, А„1 ш, А„Е лФ. ПУсть Ан Аз, ... — некотоРаЯ выбРаннаЯ последовательность множеств нз лФ со свойством А„1 а. Предположнм сначала, что все множества А„принадлежат некоторому замкнутому интервалу [-АГ, М], М < ос.

Поскольку А„состоят из конечного числа сумм интервалов вида (а, Ь] и поскольку в силу непрерывности справа функций Г(х) Рь(а', Ь] =Г(Ь) — Г(а') — Г(Ь) — Г(а) = Ре(а, Ь] $3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ А7ЕР !93 прн а') а, то для каждого Ап найдется множество Вп езФ такое, что его замыкание [Вп] С Ап и Ро(Ап) — Ро(Вп) » (е2 ", где е — некоторое заранее заданное число, большее нуля. По предположению П Ап пп и!, а значит, и П [Вп] = Е!.

Но множества [Вп] замкнуты, поэтому найдется такое конечное по = но(е), что (4) (В самом деле, [ — М, М] — компакт, а система множеств [[ — М, М] ~ [В„])„>! образует открытое покрытие этого компакта. Тогда по лемме Гейне— Бореля (см., например, [(], [33]) существует конечное подпокрытие: Ц ([-М, М]~[Во]) =[-М, М], и=! по а значит, [] [Вп]=Е!) л=! Учитывая (4) и то, что А, САп, ! С ... СА!, находим ло / по '! /' ло Ро(Ал,) =Ро Ап,~ Д Вл) +Ро~Д Вл) =Ро~Ал,~ П Ва < ь=! л=! л=! / ло ло ло <Ро~ [ ] (Ал'~Вц)) <~~о, Ро(АА~ВА)<~ е2 "<е.

А=! л=! а=! Поэтому Ро(Ап) (О, п-~со. Откажемся теперь от предположения, что все Ап С [-М, М] для некоторого М. Зададим е > 0 и выберем такое М, что Ро[ — М, М] >! — е/2. Тогда, поскольку АпппА„Г7[ — М, М]+Апй[ — М, М], то Ро(А,) =Ро(А„Г7[-М, М])+Ро(А„Г7[-М, М]) <Ро(А„Г7[-М, М])+е/2, и, пРименЯЯ пРедшествУющие РассУждениЯ (с заменой Ап на Ап О [ — М, М]), полУчаем, что длЯ достаточно больших л Ро(Ап О [-М, М]) < е/2. Тем самым снова Ро(Ал))0, л- оо.

П 7 — 9727 194 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Итак, между вероятностными мерами Р на (14, ЯЯ)) и функциями распределения г" на числовой прямой )! существует взаимно однозначное соответствие. Меру Р, построенную по функции Р, принято называть вероятностной мерой Лебега — Стилтьеса, отвечающей функции распределения Е. Особо важен случай, когда О, х<0, Р(х) = х, 0 < х < 1, 1, х ) 1. В этом случае соответствующую вероятностную меру (обозначим ее Л) называют мерой Дебега на отрезке [О, 1].

Ясно, что Л(а, Ь] =Ь вЂ” а, где 0 < а ~ Ь < 1. Иначе говоря, мера Лебега интервала (а, Ь] (а также любого из интервалов (а, Ь), [а, Ь], [а, Ь)) равна просто его длине Ь вЂ” а. Обозначим Я([0, 1[)=(АП[0, 1]: А ЕЯ(14)) совокупность борелевских множеств отрезка [О, !]. Наряду с этими множествами часто приходится рассматривать так называемые лебеговские множества отрезка [О, 1].

Мы говорим, что множество Л С [О, 1] относится к системе Я([0, ! ]), если можно найти такие борелевские множества А и В, что А СЛСВ и Л(В!А)=0. Нетрудно проверить, что система Я([0, 1]) является а-алгеброй. Именно ее и называют системой лебеговских множеств отрезка [О, 1]. Ясно, что Я([0, !]) С Я([0, 1]). Меру Л, определенную пока лишь на множествах из Я([0, 1]), естественным образом можно продолжить и на систему лебеговских множеств Я([0, 1]). А именно, если Л ЕАФ([0, 1]) и А СЛ С В, где А, В е Я([0, 1]), Л(В ЛА) =О, то положим Л(Л) =Л(А).

Так определенная функция множеств Л = Л(Л), Л ЕЯ([0, 1]), является, как нетрудно проверить, вероятностной мерой на ([О, 1], Я([0, 1])). Ее называют лебеговской мерой (на системе лебеговских множеств). Замечание 1. Проведенная процедура пополнения (продолжения) меры применяется и оказывается полезной не только в рассмотренном случае. Например, пусть (й,,йг, Р) — некоторое вероятностное пространство. Обозначим через УР совокупность всех подмножеств Л пространства й, для которых можно найти такие множества А и В из йг, что А С Л С В и Р(В 1А) =О. Естественным образом (с помощью равенства Р(Л) = Р(В)) вероятностная мера определяется и для множеств ЛЕГАР. Полученное таким образом новое вероятностное пространство (й,УР, Р) называется пополнением пространства (й,,йг, Р) относительно меры Р.

$3. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Если вероятностная мера Р такова, что УР =У', то она называется полной, а соответствующее пространство ((), .Уг, Р) — полным вероятностным пространством. Замечание 2. Кратко остановимся на идее доказательства теоремы Каратеодори, считая, что ро(й) = 1. Пусть А — множество из й и А и Аз, ...

— множества из лг, накрывающие множество А в том смысле, что А С !.) А„. Определим внешнюю »=! меру р'(А) множества А, полагая р'(А) = !п( Х~~ ро(А„), л=! где (п( берется по всем указанным покрытиям (Ан Ая, ...) множества А. Внутренней мерой р.(А) множества А будем называть величину р,(А) = 1 — р'(А). кэ хз Р((х»)) = сзг(х») > О, ~ Р((х»)) = 1. Обозначим лг совокупность тех множеств А из (), для которых ,ы'(А) =р.(А). Система лР является, как нетрудно показать, о-алгеброй (задача 12), н, следовательно, лг Св(лг) Слг.

Припишем множествам А из лг «меру» р(А), полагая ее равной,и'(А) (=р.(А)). Эта функция множеств р(А), А еле, действительно является мерой (задача 13), т. е. является счетно-аддитивной функцией множеств (при этом вероятностной, поскольку а(й) = ро(й) = 1). Устанавливаемое равенством Р(а, Ь] = г(Ь) — Р(а) соответствие между вероятностными мерамн Р и функциями распределения г дает возможность конструирования разных вероятностных мер с помощью задания Г(х) соответствующих функций распреде- ! ~~~(хз) ления.

! ав(х2! Дискретные меры. Так называ- ~ (ьв(х1) ют меры Р, для которых соответ- х~ ствуюшая функция г"=г(х) является кусочно постоянной, меняющей Рис. 25. свои значения в точках хн хщ ". (б'г(х;) > О, где лзг(х) = г(х) — г(х †)) (рис. 25). В этом случае мера Р ~осредоточена в точках хн хя, ...: !96 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Набор чисел (р!, рт, ...), где рх =Р((хл)), называютдискретным распределением вероятностей, а соответствующую функцию распределения Р =г(х) — дискретной. Приведем таблицу наиболее употребительных типов дискретных вероятностных распределений с соответствующими наименованиями.

Таблииа 2 Абсолютно непрерывные меры. Так называются меры, лля которых соответствующая функция распределения г =Р(х) такова, что для некоторой неотрицательной функции 1 = Г((), ! Е й, имеет место равенство к Р(х)= 1 Р)д(, (5) где под интегралом сейчас понимается интеграл в смысле Римана (а в общем случае — в смысле Лебега (см. $6)). Функция ! = Г(х), х Е !(, называется плотностью функции распределения Р =Р(х) (плотностью распределения вероятностей или просто плотностью), а сама функция Р = г(х) — абсолютно непрерывной. Понятно, что всякая неотрицательная функция / = Г(х), интегрируемая по Риману и такая, что $ ((х) дх =!, определяет формулой (5) некоторую функцию распределения.

В таблице 3 приведены особо важные для теории вероятностей и математической статистики примеры разных типов плотностей Г' = Г(х) с указанием их наименований и параметров (плотность Г(х) считается равной нулю для не указанных в таблице значений х). Сингулярные меры. Так называют меры, функции распределения Р(х) которых непрерывны, но точки их роста (х — точка роста Р(х), если ЬЗ. ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 197 Таблица 3 Плотность Парамегры Тнп распределения Равномерное на [а, Ь[ Нормальное, нлн гауссовское Гамма Бета Ле "", х>0 Л>0 Л -е л! 1, «Е)Г 2 Л>0, аЕ)7 х е, х 0 п=!,2, Стьюдента, Г-распределение с и степенями свободы п=!, 2, Р-распределение т,п=1,2, а л.!«л + ал)' , «Е)Г Коши ))>О Р(х + е) — Р(х — г) > 0 для любого е > 0) образуют множество нулевой меры Лебега. Опуская подробности относительно структуры таких функций (см., например, [70]), приведем лишь один «классический» пример.

Возьмем отрезок [О, 1] и построим функцию гс(х) с помощью следующего приема, принадлежащего Г. Кантору. Разделим отрезок [О, 1] на три равные части и положим (рис. 26) 1/2, х Е (1/3, 2/3), Р)(х) = О, х = О, 1, х = 1, доопределяя ее в остальных точках с помощью линейной интерполяции. Экспоненцнальное (гамма-распределение с а=1, )3= !/Л) Двустороннее зкспоненцнальное Хн-квадрат,)гл (гамма-распределение с а=п/2, 4=2) с и степенями свободы —, а<х<Ь ! Ь-а' а- ~) — е Бт, «Е)7 ~/2«а «»-~«-«7Л , х>0 Г(а) Р» х» '(! -«)л , 0<«<! В(а, Р) , «Е)7 ~/паг(2) ()+ «)+ (-„)' Т- (2'2) ( л ) а, ЬЕ)7; а<Ь т Е)7, а>0 а>0, )3>0 а>0, )3>0 193 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Далее, каждый из интервалов [О, 1/3) и (2/3, 1] снова делим на трн части н определяем функцию (рис. 27) 1/2, х Е (1/3, 2/3), 1/4, х Е (1/9, 2/9), 3/4, х е (7/9, 8/9), О, х=О, 1, х=1, Ез(х) = со значениями в остальных точках, полученными линейной интерполяцией.

Продолжая этот процесс, построим последовательность функций Е„(х), п=1, 2, ..., которые сходятся к некоторой неубывающей непрерывной Е1 (х) 1 Ез(х) О 1/3 2/3 1 О 1 2 $2 Г З 1 эзз зээ Рис. 26. Рис. 27. функции Е(х) (называемой канторовой), точки роста которой образуют множество лебеговской меры нуль. Действительно, из конструкции Е(х) видно, что общая длина интервалов (1/3, 2/3), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), ..., на которых функция принимает постоянные значения, равна 1 2 4 1 (21" — + — + — +„,= — ~~~ Н =1.

3 9 27 "' 3 ~3/ (6) п=е Обозначим через .Ф' множество точек роста канторовой функции Е(х). Из (6) следует, что Л( Ф') = О. В то же самое время, если р — мера, соответствующая канторовой функции Е(х), то р( т") = 1. (В этом случае говорят, что мера сингулярни по отношению к лебеговской мере Л.) Не останавливаясь более на вопросе о возможных типах функций распределения, ограничимся лишь замечанием о том, что на самом деле указанными тремя типами исчерпываются все такие функции. Точнее, произвольная функция распределения может быть представлена в виде а1Е1 + азЕз+ азЕз, где Е1 — дискретная, Ез — абсолютно непрерывная, Ез — сингулярная функции распределения, си — неотрицательные числа, а1+ аз+ аз = 1 (задача 16).

й 3. ЗАПАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 2. Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностными мерами на (!т', Я(!т)) и функциями распределения на )г. днализ доказательства этой теоремы показывает, что на самом деле справедлив более общий результат, позволяющий, в частности, ввести так называемую меру Лебега на всей числовой прямой.

Пусть,и — некоторая е-конечная мера на (й, лФ), где ~Ф вЂ” алгебра подмножеств й. Оказывается, что утверждение теоремы Каратеодори о продолжении меры г! с алгебры л~ на наименьшую е-алгебру е(ле) остается справедливым и лля о-конечных мер, что и дает возможность обобщения теоремы 1. Назовем мерой Лебега — Стилтьеса на ()т, М()г)) всякую (счетноаддитивную) меру г! такую, что для любого ограниченного интервала / его мера !!(I) < со.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее