Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 22

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 22 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 22 - страница

Доказать, что существует распределение О, такое, что й = Р ~ О. 5.52. Являются ли относительно компактными следующие семейства вероятностных распределений: а) множество всех равномерных распределений на отрезках, симметричных относительно нуля; б) мнон<ество всех нормальных распределений; в) множество всех равномерных распределений на отрезках, содержащихся в отрезке [О, 11; г) множество всех нормальных распределений с фиксированным математическим ожиданием.

н равномерно ограниченными дисперсиями? З1О 5.53. Указать, какие из семейств вероятностных распределений, приведенных в предыдущей задаче, являются плотными 5.54 (теорема Ю. В. Прохороеа). Доказать, что семейство распределений на прямой является относительно компактным тогда и тольке тогда, когда оно является плотным. 5.55. Докааать, что множество всех распределений, математическое ожидание которых равно а, а дисперсия о*, является относительно компактным. 5.56. Доказать, что семейство нормальных распределений является плотным тогда и только тогда, когда равномерно ограничены математические ожидания и дисперсии элементов етого семейства. 5.57.

Докааать, что счетное семейство вероятностных мер плотно тогда и только тогда, когда соответствующие функции распределения удовлетворяют соотношениям Иш Р„(х) = 1 и 1пп г"„(х) — 0 равномерно по п. 5.56. Доказать, что слабая сходимость распределений эквивалентна сходимости в метрике Леви (определение см. во введении к гл. 3) г„-»г' ». х. (Р„, г) — э О. 5.59. Пусть совместное распределение $„ и Ч, слабо сходится к совмеетному распределению $ и т1. Докааать, что распределение $„ + т), слабо сходится к распределению 5 + т1. 5.66. Доказать, что из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению, 5.61. Привести пример, показывающий, что из сходимости по распределению не следует сходимость по вероятности.

и Р 5.62. Пусть|„- а, где а — постоянная. Доказать, что $ -» а. и и 5.63. Пусть $„-»$. Верно лп, что $„— $ — »07 и 5.64. Доказать, что если $„— »$ и и„— » О, то: о «1 $е+ та -+$ и б) $пЦл — '0 и Р 5.65. Доказать, что если е„- $, 1$„— ц„((~„(~„( и ~„- О, то и т)„-» $. и 5.66. Доказать, что если зе — ь, (ье та )к~1я~Че( н ье О» то и т) 5.67. Пусть $в $м ...— такая последовательность случайных величин, что Р(Иш $„оо) р Р(Иш $„= — оо1 д, Р(1пп $„0) г 1»»» 1»»-» / 1»»-» р+г+о 1.

111 Что можно сказать о последовательности функций распределения Г„(х) = Р ($„» х)? 5.68. Пусть функция ?*(х) имеет производную в точке х= О. В Р Доказать, что если $»>Ь,-+ т) и ть,- О, то 2.У(„„) — >(О)) ' У'(О)„. 5.69. Пусть функции ?'(х), /,(х)', У>(х), ... имеют непрерывные производные, причем?„(х)>-Г (х) равномерно по х. Доказать, что В Р если $зтр,-э>) и т>,>- О, то 1„У. (>).) — ~. (О)) ~' (О) >). 5.70. Пусть з, $„5н ...— последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (Й,,Ф, Р), причем при каждом юый з (е>)- з(ю) при и- . Примером покажите, что Ей„не обязано сходиться к Е$ даже в том случае, когда все эти математические ожидания существуют.

5.71. Привести пример, показывающий, что из слоднмости яо вероятности не вытекает слодимость математических ожиданий. В 5.72. Пусть ьз $. Привести пример, когда Е$ существуют, а Е$ — нет, и наоборот. 5.73. Пусть последовательность случайных величин сходится в среднем квадратическом к случайной величине с, причем Е!$1„», п= т, 2, ...

Доказать, что Е!$!» н 1>п> ЕС„= Е$, 5.74. Пусть последовательность функций распределения Г,(х), Р,(х), ... слабо сходится к функции распределения Р(х). Обозначим а~ и о' дисперсии распределений Г„и Г соответственно (и = = 1, 2, ...). Доказать, что 1>щ !и( о„')а'. 5.75. Пусть Р(х), Р,(х), Р,(х), ...— последовательность функций распределения с математическими ожиданиями а, ао а„ и дисперсиями а, ом ою ... соответственно, Доказать, что если 3 3 Ä—. Г и о~->.о'> то а„-+а. 5.76. Пусть последовательность функпий распределения Р,(х), Р,(х), ...

с дисперсиями о>, о„... слабо сходится к функции з з распределения Р(х) с дисперсией с*, причем последовательность а з п„с„... сходится к некоторому конечному пределу Ь. Обязано ли выполняться равенство Ь = о'? ыз 5 77. Пусть $и-о$. Доказать, что Е ) $ ( ~ 1пп 1п( Е ( $„(. 5.78. Последовательность случайных величин $о фв, ... равномерно ннтегрируема.

Доказать, что зпрЕ($,((оо. и 5.79. Пусть ~о фв, ...— последовательность случайных величин. Доказать, что если при некотором е ) О впР Е) ь (и-в ( то последовательность фо $„... равномерно иптегрируема. 5.80. Пусть $о ф„...— последовательность случайных величин п пусть существует случайная величина гь такая, что Е!ч! С и для любого а > О и всех п Р(1~„! -в а) ~ Р(! т~! > а) . Доказатьи что последовательность фо ф„... равномерно интегрируема.

5.81. Пусть $о $„...— равномерно интегрируемая последовав тельность случайных величин и пусть $и $. Доказать, что Ес„- Е$. 5.82. Пусть $, $о $„...— последовательность неотрицательных случайных величин с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если з -оь и Еи„- Е$, то последовательность фо В в $ь ... равномерно интегрируема. 5.83. Доказать, что последовательность случайных величаи $о $„ ...

равномерно иптегрируема тогда и только тогда, когда впр Е ! $„( ( оо п и для лгобого е ) О существует б, такое, что при всех п из неравеиства Р(Е)( б следует ) ($„)о(Р(е„ 5.84. Пусть $, зо с„.. — последовательность случайных величин и Е~~.(- Е~У при п — . Обязана ли иметь место сходимость Е!Ц„ + а! — Е!ф + а(7 В А. В. прохоров и вр. 5.85. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если дополни Р тельно известно, что $а +ву 5.86.

Пусть $о 4, ...— последовательность. случайных величин, у(х) — положительная измеримая функция, удовлетворяющая уело виго Доказать, что если впр Е (У ( ! Би ! )) < ос в то последовательность $о $„... равномерно интегрнруема. 5.87. Пусть а~Де ...— последовательность случайных величин, Доказать, что если последовательность ($,!', !$~!", ...

(г) 0) равномерне интегрируема, то для любого 0»г'»г равномерно интегрируема последовательность ! $, (, ! $, (, ... 5.88. Пусть $„ -+ ь и для некоторого г) 0 зпр Е ! $„!' < со. а Доказать, что 1!ш Е(З„!" Е!~!' для любого положительного г' » г. 5.89. Пусть $е вм ...— последовательность случайных величин, причем $„принимает значения и" и 0 с вероятностями 1/я и 1 — 1/я соответственно (п 1, 2,,). Исследовать сходимость последовательнестей (й„) (по вероятности) и (Е!с„!') в аависимости от выбора сз и г. 5.99.

Пусть $о с„ ... — последовательность неотрицательных слу- Р чайных величин, таких, что $~ +ь и Е$„Е3»». Докааать, что Е($„— $! - О. 5.91. Пусть $о $„ ... и 9„ ц„ ... — две последовательности слу- Р Р чаиных величин, такие, что Р($„~т!„~0)=1, $„$„т1„- т! и Е$„- Е$. Доказать, что Е(ц.— т!! — О. 5.92. Пусть с - $ в среднем порядка г)0: при и- . Доказать, что Е(3 !'- Е($!'. 5.93.

Пусть $„$„...— последовательность случайных величин, такая, что для некоторого р > 0 Х ЕБ.!'(-. а — 1 Доказать, что $„- 0 п. н. Р 5.94. Пусть $л-+$ и П ~зпрЕ)~„)~Е)~(. Доказать, что последовательность фо фм ...— равномерно интегрируема и 1пп Е($„— $) =-О. Р 5.95. Пусть $„- $ и 11ш зпр Е! $и )' ( Е ) $ )з, Доказать, что 1пп Е!$„— $)'=О. 5.96.

Доказать, что если последовательность Щ~, (ф,!', ... рав« померно интегрируема кри некотором б >О, то последовательность распределений случайных величин ф„$п ... плотна, 5.97, Пусть $ь 5„... и т1о т1з, — две последовательности положительных случайных величин. Могут ли существовать положительные числа п и р, такие, что 5.98. Пусть $о $в ...— последовательность неотрицательных случайных величин с функциями распределения р,(х), Р,(х), ... и о конечными математическими ожиданиями. Будем говорить, что эта последовательность сходится к нулю ио Хинчину, если для любого х>0 — ~~ИР„(1)- О 1 ей„,) х х х при п - ао (будем обозначать $э-+ О/.

Доказать, что если з„- 0 Р то $„- 0 (п-~- со). 5.99, Следует ли из сходимости по вероятности сходимость по Хинчину (определение сходимости по Хинчину см. в предыдущей задаче)? 8* х Х х 5ЛОО. Пусть| -+О и Ч„-+О. Доказать, что $ + ть, О. 5Л01. Пусть $о $м ...— последовательность независимых слу Р чайных величин н пусть $ -+$. Доказать, что 2 имеет вырожденное распределение. 5.102. Доказать, что если $о ф„ ... — последовательность неаависимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин, то РД„сходится) О.

Р 5.103. Пусть $„-+$, где $ имеет невырожденное распределение. Возможно ли иа последовательности 2» 2п ... выделить подпоследовательность $„о ~„„..., такую, что все $„, не зависят от 2? "Р' "' 5Л04. Пусть $~ — ' $ н при каждом и распределение $„содержит в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. Доказать, что распределение $ также содержит в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. 5ЛО5. Пусть $„2„... и 0„0„...— две последовательности случайных величин, такие, что для любого е > 0 Х р(й — Ч.)~е)( а=1 Доказать, что если т~, — а и. н., то $„- а п. н. 5ЛОО.

Пусть ~о $~, ...— последовательность случайных величин, чо тм ...— последовательность положительных целочисленных случайных величия, таких, что т„не зависит от $о 2ь ... при любом я. Р 1. Доказать, что если т„-+со и $„- з, то ~~„-+$. Р и и 2. Доказать, что если т„- со и з„- з, то $»„- $.

5Л07. Пусть для любого и = 1, 2, ... случайные векторы (2„... ..., $,) и (Чо ..., ц„) одинаково распределены. Доказать, что если последовательность $е 2м ... сходится по вероятности, то последовательность 0„0„... также сходится по вероятности, причем предельные случайные величины одинаково распределены. 5Л08. Пусть я(хо ..., х,) — непрерывная-вещественная функция Р й аргументов.

Доказать, что если $ — ь при и- с», т=1, 2„... ...,Й,то Р з йж~ ° ° ° а $ль) з ($м ~ ° ° ~ ьА) пря п5ЛО9. Пусть $, $о $м ...— последовательность случайных векторов, принимающих значения в В, Доказать, что $~-+5 тогда и Э только тогда, когда для любого вектора 1ж гг" ($, 1) — (з, Й ((, ) — скалярное произведение). пз и Р 5.110. Доказать, что если ь: ь и ть — а, то распределение случайного вектора (з„, з) ) слабо сходится к распределению случайного вектора ($, а). 5.111. Доказать, что последовательность вероятностных распределений на плоскости плотна тогда и только тогда, когда плотны обе последовательности ее маргинальных распределений. 5112.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее