В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 9

— + [Ляш(Л )ув+Ляпв(Л )] — = О. ах ау Главный интеграл: Б = ' + Л / Евтп(Лх) с(х, Е = вхр[ —,' сов(2Лх)]. у -~- соя(Лт) 1Е. + [[Л+ авш (Лх)]у + Л вЂ” а+ авш (Лх)) дх !'ванный интсграя Б = и- / [Л-Ь ляпв(Лх)]Ес(х, Е = у -~- сгк(Лх) ехр [ — соя(2Лх)] . юпв(Лх) 2Л вЂ” [(Ь + 1)х у — ах ~ (яп х)™у + а(яп х)™] = О. а. ау Главный интеграл; — — (1-Ь 1) / и, Е = вхР[о, / ха~~'(в(пх) с(х]. 12. + [авш" (Лх+ 1в)(у — Ьх — с) + у — Ьх + Ьпх т — с] а, ду Главный интеграл: х = + а / е'яп (Лх+ р) с(х.

у — Ьх — с 13. х — + [а яш™(Лх)у + Ьу + абвхв вш (Лх)] — = О. дх ву 1"лавный интеграл; х = агсвл~ ' ! — аб~ х вш" (Лт) дх. !Ьн! 'у 14. [ая!п(Лх) + Ь) + [ух + ся!п(ргх)у — ю~ + сея!п(!вх)] = О. ах ду Главный интеграл: Е )" Есе: + у -~- Ь,/ а впа(Лх! -~- Ь ' Г Р свя(рх) — 26 ! Е = евра дх] У вюп(Лх) -~- Ь 2.6.2. КоэФФициенты уравнений содержат косинус 1. — + [а сов (Лх) + Ь] — = О.

днп и Вте дх ду !'ванный интеграл: Б = у — Ьх — о, / сонг(Лх) ах. 2. + [асов" (Лу) + Ь] — = О. ах ау с!у Главный интеграл: Б = х — ~ а сов"(Лу) -~- Ь дх в а 3. — + а соя (Лх) сов" (!ву) — = О. ах ду 1' Лу Главный интеграл: х = о 1 сов (Лх) дх — [ сов"(Ну) 9. 2 — + ([Л+ а — аяп(Лх))у + Л вЂ” а — аяш(Лх)) — = О. днп в дх дх ду Главный интеграя Е 1 Г 1 гп + — ~ [Л-Ьа — ояп(Лх)]Едх, Е=, ехр[ — яп(Лх)]. сн(ЛЛх -1 Лв) 2,/ 1 — юп(Лх) Л дннвйньа п ьвненнв внлв 1(х, у) е + Р(х, У) о 44 йв Е = х — [ в = я+Лу. 1 -1- иЛ сове г + [у — а + аЛ соя(Лх) + а сов~(Лх)~ — = О.

дх ар Главный интеграл: Е Е г(хй р — и в! н(Лх),1 2и. Е = ехр[ — — 'соя(Лх)]. Л Е = ехр[ — в соя(2Лх)~. 2 + ([Л+ а+ асов(Лх))у + Л вЂ” а+ асов(Лх)) Ох др Главный интеграл: Е 1 Г -г — / [Л-1-и-1-асов(Лх) )Е 4х,. р — гй(+Лх) 2 — + ([Л+ асов~(Лх))у~ + Л вЂ” а + а сояв(Лх)) — = О. Ох Ор Главный интеграл: Б = +/ [Л+ исоье(Лх))ЕИх, р — гй(Лх) Е = ехр[Ь(п — Ц / Е = ехр[Ь(п — Ц / О. Е = ехр [Ь(п — Ц / ' ]. )" гов УЕггр ,) сояг(ЛУ) Е с р[Ь(п Ц / ь(ЛУ) ] — +асоя (х+Лу) — = О.

две ь Ого ах ар Главный интеграл: 6. + [Лсоя(Лх)у + Лсов~(Лх)~ = О. Ох др Главный интеграл: Е Б = -ь Л/Есов(Лх)г(х, р — в1н(Лх) 9. (ах"у + Ьх) — + сов (Лу) = О, ах ар Главный интеграл: /-"Р,) 10. (ах + Ьх соя™у) + у = О. а* Ор Главный интеграл: Б = х' "Е -Ь о(п — Ц / р Ег(р, 11. (ах + Ьх соя у) — + сов (Лу)— Ою , ах Ох ду Главный интеграл: Е = х' "Е+ и(п — Ц сов"(Лр) Ого а 12. (ах соя у+ Ьх) — + сов (Лу)— Ох Ор ! 'ванный интеграл: Е = ехр [ — — сов(Лх)] . 1 -Ь сов(Лх) [ Л 1 г и Е= елр [ — — соя(2Лх)].

сове(Лх) " 2Л Лб. Уривненпн, содорз~сищие тригоненнтринсскис Еснклин 2.6.3. КоэФфициенты уравнений содержат тангенс — + [а Ед (Лх) + Ь1 — = О. дно и О ах ау !'лавный интеграл: х = у — Ьх — о / гд (Лх) Дх. 2. — + [аед (Лу) + 6~ — = О. Ох Оу иу Главный интеграл: Б = х — ) 1 исаи(Лу) 4 Ь ' 3. + авд" (Лх) Фд (1иу) = О. Ох Оу Главный интеграл: х = а / Гд (Лх) с)х — / сгдп(ру) с)у. 4. — + [у + аЛ+ а(Л вЂ” а) Ьд~(Лх)~ — = О.

ах ау ) -и.гл [сов(Лх)! — и /л 1'лавный интегрхл х = ' -Г ~ [сов(Лх)1 дх. у — о ги(Лх) 5. + [у + Ла + ЗаЛ+ а(Л вЂ” а) Ед~(Лх)] — = О. О ду 1лавный интегрхн [сов(Лх)] [сов(Лх)[ с)х, Ипи(Лх) [у — огй(Лх) -~- Л сей(лх)[ .I в1пг(Лх) — + [у + ах Ед (6х)у + а Сд (Ьх)~ — = О.

Ох ду Главный интеграл Е = + / х аЕИх, Е = ехр [о /хей" (Ьх) Нх~. х(ху -~- 1) — — [(Ь+ 1)х у — ах ~ (Ьдх) у+ а(тдх) ~ — = О. Ох ду Главный интеграл: Б = ии, иы — (1+ 1) / ги„, Е = ехр[о/ х (Гдх)" с)х~. + [ ~дп(~ )у' — 6'Ед"+В(Л ) ЬЛЬГ( )+ЬЛ[ Ох Оу Главный интеграл: -1-о / Ееди(Лх)с(х, Е = ехр12аЬ / гд"~ (Лх)с1х~. у — Ьсе(Лх) 9. + [аедн(Лх+ 1и)(у — Ьх — с) + у — Ьх + Ьпх ' — е| = О. Ох ду е и 1'лавный интеграл; Б = + о 11 е' тд (Лх -Ь р) с(х. у — Ьх" — с 10. х — + [аЬд (Лх)у +)еу+аЬ х Ед (Лх)1 — = О. Вх ау Г 1 — и Л 1' и — г Главный интеграл: Б = агстд( — х у) — иЬ| х Гди'(Лх) йх. Ь Линейные тглвнення внал ~(х,у) Е. +У(х:у) Е + ей те(1тх)] — = О а ау Е = ехр[6(п — 1) / Е = ехр [6(л — 1) / 2.6.4.

Коэффициенты уравнений содержат котангенс Главный интеграл: х = у — Ьт — и / сей (Лх) г(х. — + [асти (Лу) + Ь] — = О. дю в дю о оу Ду Главный интеграл: Б = т — ~ иесн~(ЛУ) -~- 6 Ою а Ою — + а сьй (х+ Лу) — = О. о ау Главный интегрхс 2. гд Е=х — ~, х=х-слу. ./ 1 -~- а,л сгйв Ох + [у + аЛ+ а(Л вЂ” а) сьн~(Лх)] = О. ау [Ил(Лх)] " Г . — а ~л Главный интеграл: = = -'г ( [вин(лх)] с(х. у -~- и оса(лх) — + [у + Л + Зал+ а(Л вЂ” а) сьй (Лх)] — = О.

Ох ду Главный интеграл [яв(Лх)] [а1п(лх)] г(х . сова(Лх) [у — Л Гк(ла) — ' а сей(лх)] У сове(Л*) и. [а ен(Лх) + Ь] — + [у' + с ей(нх)у — (е' дх Главный интеграл Е ~' Еих [~ с Е(Н~) — УУ й ] йх . у+в л иск(лх)-нь' (у ига(лх)+ь 12. (ах "у + Ьх) — + ЕК (Лу) — = О. дю в дю дх ду Главный инге|рал: 2 сйь (Лу) Ою вою 13.

(ах + Ьх Фн у) — + у — = О. ох ау 1лавный интегрхс х = х' "Е+ (и — Ци / у аЕНУ> Е = ехр (Ь(н — 1) / у а тн'" ус(у~. 14. (ах" + Ьхьй у) — + ей (Лу) — = О. дх ду Главный интеграл: 15. (ах Сн у + Ьх) — + 1К (Лу) — = О. Ою в Ою дх ду Главный интеграл: гйе(лу) 2.б. Уроенення, содержал/не тригонотетринееиие Ьунинии 6. — + [у — 2асЬК(ах)у+6 — а ~ — = О. дно 2 , д дх др яш 2(Ьх! 1 Главный интеграл: Б = — — сгк(Ьх). у — осси(ох) -!- 6глн(Ьх) Ь Оно д — + асЬК(/ту) — = О. дх Ор интеграл: Б = а/г!п!соя(Лх) ~ — Л!п!соя(/тр)~.

Ото Ого — + а сЬК(Лх) — = О. Ох др интеграл: Б = ор,!п!вш(Лх)[ — Л1п[яп(рр)[. инте~рыл Б = Л!и!я!п(/гр)( + одсГК(Лх) + оЛрх. д д а) — + с сЬК(х + Ь) — = О. дх др интеграл: В = с!п!я!п(х+ Ь)[ — 1п[вш(р+ а)!. Ош Ото сЬК(НУ) + а = О. Ох Ор ингеграш Б = Л!п!я!п(/гр) ~+ о/г!и~со (Л, )[ Ого Оно сЬК(/гу) + а сЕК(рх) = О, дх вр / стк(ых) интеграл: = = о/г ' цх !гг!я!гг( ./ с!я(Лх) 7. сСК(Лх) Главный с!К(/еу) Главный сСК (/гу) ! лавный сЬК(у + 1"лавный 11. сЯК(Лх) Главный 12. сЬК(Лх) Главный — + [у — УЬКх+ а(1 — а) сЬК х~ — = О. дго дто дх ду 1', Главный интеграл при о, Ф- —.': (япх) г'соях 1 г г-х + (я!п х) р -!- ос!их 1 — 2о.

2'. Главный интеграл лри о = 2: соя х + 1п !яш 2~ рн!пх-Ь вЂ”,, соя х СКх+ Ь соя х) — = О. 2 2 дт др Б = агсЬК( — у соя '" х) — 6 / соя'" х Нх. гЬ в 3. — + (у — тау в Главный интеграл 4. — +(у +гну дно 2 дх сякх+6 яш х) — =О. дго вр В = агсгК! — Уяп х) — Ь| яп хНх. ' Ь Главный интеграл: 2.5.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции дго дго 1.

+ а ям (Лх) соя (/гу) = О. Ох ду Г, и кр Главный интеграл: Б = о, / яп (Лх) 42 — / ' . В частном случае о = 1, 6 = 1, сов"(рв) и = — 1 имеем В = рсоа(Лх) -Ь Л яш(рр). .,'1инвйныя УРАВнвния ВилА 1(х,р) в, +у(х;р) в — О ву — -(- [уа — 2Л 18~(Лх) — 2Л с18 (Лх)] — = О. ах ар в!пт(Лх) сову(Лх) 1 1лавный интегран Б — + х у — Л 18(Лх) Х Лги(Л*) 8 1 я!п(Лх) соя(Лх) соя(2Лх). 8Л вЂ” + [Ляп(Лх)у + а соя (Лх)у — асов" (Лх)] — = О. дх вр Главный интеграл: Е ( Еяп(Лх) сов(Лх) [рсоа(Лх! — 1) у' сояя(Лх) Е = ехр [а / сов" (Лх) у)х) . 8. — + [Лвш(ЛХ)у + авш(ЛХ)у — аск(ЛХ)] — = О.

виу 2 дну дт, др Главньнй интеграл: Е /' Ея!п(Лх) [ а а = ' -!- Л I ', г)х, Е = евр[ — — сов(Лх)1. сов(ЛХ))усов(Лх) — 1),/ сову(Лх) ' Г Л + [Ляп(Лх)у + ах сов(ЛХ)у — ах ] = О. ах др Главный интеграл; Е Г Еяп(Лх) + Луг, с(х, Е = ехр[о / х" сов(Лх) с(х~. соя(ЛХ) (у соЦЛХ) — 1) сову(ЛХ) 10.

— + [Ае" сов(ау) + Вен яп(ау) + Ае" ] = О. ах ар ВУ Г НВ Р„Л 1 / НВ у Л Главный интеграл: Б = 18 — ехр( — — Р ' у1 — НА( вхр(ЛХ вЂ” — е А1 уйг,. 2 11. я!и" У (2х) + (ау вш х+ Ьсов х) = О. дх ау Главный интеграл: — 2 " ' !пгйх, оиу -~-п2"Агу Е Ь о=818 х. 2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 2.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус дну в 1. + [аагсяп ах (Лт) + Ь] = О. ар Б = у — Ьх — о (' вгсвгпв(Лх) г(х.

Главный интеграл: дпу В 2. — + [аагсяп ах (Лр)+Ь] д" = О. ар у!у о вгся!пг (Лу) -~- Ь Главный интегрхг 6. — + [у + Л(а+ Ь) + 2аЬ+ а(Л вЂ” а) 18~(ЛХ) + Ь(Л вЂ” Ь) с18~(ЛХ)] — = О. ах др Главный интеграл: ь -Ь / Ес!х, Е = [сов(ЛХ)] А [я!Н(ЛХ)] у — о 18(ЛХ) -~- Ь сгй(Лх) 2 7.

Уравнении, еодерлеаицие обратные тршонотетринеекне функции д д~ 3. — + Ьагся(п (ах+ Ьу+ с) — = О. дх ду Главный интеграл Ии а -~- ЬЬ агсв1пи и о = ахц-ьуц-с. дта и дто 4. — + а агсяш (Лх) агснш" (Ьеу) — = О. дх ду ну 1лавный интеграл: Е = а ( вхссйп (Лх) дх — ( в агсяш" (рр) + [у + Л(агсяшх) у — пи + аЛ(агсяшх) ] = О. дх др Главный интеграл; Е = * -1- / е иЕйх, Е = ехр[Л /(вгся1пх)" йх1. у -~- и + [у + Лх(агсяшх) у+ Л(агся1пх) ] = О. дх др Главный интеграл: Б = -Ь / х Е Йх, Е = ехр [Л / х(агсгйп х)" Их~, х(хр -~- Ц 7.