В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 4

15.1. Прсдварительныс замечания 15.1.! . Квазилинейные уравнения 15.1.2. Нелинейные уравнения 15.1.3. Обобщенные вязкие решения 15.2. Квазилинейные уравнения 15.2.!. Уравнения с тремя переменными 15.2.2. Уравнения с произвольным числом переменных 15.3.

Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 15.3.1. Уравнения содержат квадраты одной или двух производных ............ 15.3.2. Уравнения содержат квадраты трех производных..................... 15.3.3. Уравнения содержат произведения производных по разным переменным 15,3.4. Уравнения, содержащие квадраты и произведения производных 15.4. Другис нслинейныс уравнения с тремя переменными, содержащие параметры 15.4.1. Уравнения третьей степени относительно производных ................

15.4.2. Уравнения, содержащие корни или модули производных ............... 15айЗ. Уравнения, солсржащис произвольные степени произволных 15.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции 15.5.! . Уравнения квадратичные по произволным 15.5.2. Уравнения со степенной нелинейностыо по производным 15.5.3.

Уравнения с произвольной зависимостью от производных.............. 15.5.4. Нелинейные уравнения общего вида . 15.6. Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными 15.6.1. Уравнения квадратичные по производным 15,6.2. Уравнения солержат степенные функции по произволным.............. 15.7. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольныс параметры 15.7.1. Уравнения квадратичные по производным 15.7.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным 15.8. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольные функции 15.8.!.

Уравнения квалратичные по производным 15.8.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным 15.8.3. Уравнения содержат произвольные функции двух аргументов ........... 15.8.4. Нелинейные уравнения общего вида . Дополнение. Метод обобщенного разделения переменных ..................... Д.!. г!Редварительные замечания Д.2. Решения с обобщенным разделением переменных. Рассматриваемые классы уравнений Длй Решение функционально-дифференциальных уравнений методом лифферснцирования Д.4.

Решение функционально-лиффереициальных уравнений метололг расщепления ... Д.5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным разлелением переменных . Список литературы 340 340 343 345 345 347 350 352 354 354 354 356 362 364 364 367 369 369 373 374 376 376 376 377 378 380 380 385 387 388 391 391 393 394 394 396 397 397 401 402 403 407 407 407 408 409 412 414 ПРЕДИСЛОВИЕ Дифференциальные уравнения с частными производными первого порялка встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в лифференциальной геометрии, аналитической механике, газовой динамике, геометрической оптике, теории фильтрации, гидродинамике, теории волн, теории оптимального управления, дифференциадьных играх, химической технологии, экологии и др.).

Точные решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений играют важную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения могут использоваться в качестве «тестовых залач» для проверки корректности и оценки точности различных асимптотичсских, приближенных и численных методов, Справочник содержит более 3000 дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и их решения.

Приведено много новых точных решений линейных и нелинейных уравнений (значительная часть решений получена путем «пересчша» соответстнующих результатов, полученных авторами в послелнсс лссятилетис в области обыкновенных лифференпиапьных ураяненнй) Осооое внимание улстяется уравнениям обпгсго яила, которые зависят от произвольных функций. Остазьные уравнения содержат один и.ти более свободных параметров (фактически в книге рассматриваются сразу целые семейства дифференциальных уравнений), значения которых можно фикснроваз ь по усмотрению читателя.

В це:юм справочник содержит в несколько раз болыпе уравнений с часпзыми производными первого порядка н точных решений, чем любыс другие книги. В начаче каждой главы кратко описаны основные методы решения соответствующих типов дифференциальных уравнений и привелены конкретные примеры их применения. Рассматриваются как классические (гладкие), так и обобщенные (негладкие и разрывные) решения задачи Коши для нелинейных уравнений, которые возникают теории волн, теории оптимального управления, дифференциальных играх и других приложениях. В книге имеется дополнение, ~де описан новый метод построения точных решений нелинейных уравнений с обобщенным разделением переменных.

Этот метол основан на исследовании соответствующих функциональных и функционально-дифференциальных уравнений, которые содержат неизвестныс функции разных переменных. Приведены примеры использования метода обобщенного разлеления переменных для построения точных решений нелинейных уравнений. Расположение уравнений внутри всех разделов отвечает принципу «от простого к сложному». Эзо существенным образом облегчает рабозу с материалом. Обширное огпавлсние поможет читателю находить нскомыс ураннепия. Для максимального расширения круга потенциальных читателей с разной математической подготовкой авторы по возможности старались избегать использования специальной терминологии. Поэтому нскоторыс результаты описаны схематически и упрощенно (опущены детали), чего вполне достаточно для их применения в большинстве приложений.

Авторы благодарны А. И. Журову за неизменную и многообразную помощь при написании этой книзи и признательны А. А. Меликяну за полезные замечания и обсуждения разд. !4.! и 15.1. Авторы особо признательны А. Мусье (А. Моная!апх) за тестирование рида решений. Авторы надеются, что справочник окажетсн полезным для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в области приклалной матЕматики, механики, физики, теОрии оптимальнОгО управ.чения и химичЕской тЕхнологии. Автори НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ 1.

При записи исходных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка независимые переменные обозначаются через х, д, - (или хг, ..., т ), а искомая функция через ш. 2. В приведенных решениях (интегралах)произвольные постоянные интегрирования обозначаются С, Со, Сы Сз 3. Иногда используются краткие обозначения ддя частных производных: дм дю дх дш шк = ш- =, рь дх ' ду ' д» ' дхь 4.

производная функции одной переменной 1" = 7"(х) обозначается Д = г(7"г'цх. 5. Все уравнения содержат произвольные функции 7 = 7(х), д = д(у), и = й(ш), Цх,юк), ... нли свободные параметры а, Ь, с ... Озноснтельно этих функций и параметров обычно предполагаются выполненными слелующие предположения (в тексте нижесказанное специально не оговаривается): (а) 7" = 7"(х), д = д(д), л = 6(ш), г'(х, и), ... являются непрерывно дифференцируемыми действительными функциями действительных ар~ ументов; (б) свободные параыегры а, Ь, г, ... могут принимать любые действительные значения, при которых рассматриваемое уравнение и его решение имеет смысл. Например, если решение содержит комбинацию, .го предполагается, что а ~ 2. 2 — а ь«г 6.

В решениях комбинации вида узь(х) = т т обычно можно доопределять при к«1 й = — 1 по правилу: у г(х) = 1п1х~. Это связано с тем, что такие комбинации появляются в результате интегрирования степенной функции: Эзь (х) = / х г)х. Для краткости, решение при к = -1 часто опускается. л* 7. В решениях комбинации вида фх(х) = — е обычно можно лоопределять при Л = 0 Л по правилу: фо(х) = х. Это связано с тем, что такие комбинации появляются в результате интегрирования экспоненциальной функции: фх(х) = ) е г)х. Для краткости, решение при 1 л* Л = О часто опускается.

8. Общие решения многих линейных и квазилинейных уравнений описываются с помощью произвольной функции Ф одного или нескольких аргументов. Функция Ф считается непрерывно дифференцируемой по всем ар1 ументам; в з скоте это, как правило, не оговаривается. 9. В главах 12 — 15 нс приводятся особые решения. Процедура их построения достаточно проста, поскольку не требует решения дифференциальных уравнений (см.

равд. 14.1.1 и 15.1.2). 10. При ссылках в тексте на конкретные уравнения запись вида «7.8.3.5» означает «уравнение 5 из раздела 7.8.3». 11. Для вычисления неопределенных интегралов, встречающихся в решениях дифференциалы<ых уравнений, полезно использовать справочники И. С. Гралштейна, И. М. Рыжика (1975) и гг. П. Прудникова, Ю. Л. Врычкова, О. И. Маричева (!981, 1983). 1. Уравнения, содержащие одну частную производную Обозначение: Ф = Ф(в) — -произвольная функиия аргуменша и — = ~(х,у). а а Общее решение: ш = ( г"(х, у) дх + Ф(у).

При интегрировании у рассматривается как параметр. а — = У(х у). оу Общее решение: ш = / т(х, у) г(у+ Ф(х). Прн интегрировании х рассматривается как параметр. = ~(х,у)то. Общее решение: го = Ф(у) ехр [/ Д(х, у) дх~. При интегрировании у рассматривается как параметр. — = У(х у) дш оу Общее решение; и~ = Ф(х) екр [/ ((х, у) ду1. При интегрировании х рассматривается как параметр.

— = З(х, у)то + д(х, у). а ах Общее решение: ш =- Е(х.у) [Ф(у) + / ' 4х~, Е(х, у) = ехр [ ( Д(х, у) 4х~. При интегрировании у рассматривается как параметр. уу = л( у) +у( у). Общее решение: Е(х, у) = ехр[/ т(х, у) Ну|. При ишегрировании х рассматривается как параметр. Уравнения с двумя независимыми переменными, содержащие одну частную производную, можно рассмазривать как обыкновенныс дифференциальные уравнения лля функции го(х, у), где у (или х) играет роль параметра.

Решения линейных уравнений такого вида приведены ниже. 2. Линейные уравнения вида ~(х, у) ~ + д(х, у) ~ = О 2.1. Предварительные замечания 2.1.1. Метод решения 2.1.1-1. Характеристическое уравнение. Рассмотрим линейное однородное уравнением с частными производными первого порядка с двумя независимыми вида диг дю 7" (х, у) — Ч- д(ад у) — = О. (1) дх '' ду Обыкновенное дифференциатьное уравнение первого порядка дх ду г"(х у) д(х у) называется характеристическим уравнением, соотвег ствующим уравнению в частных производных (1).