В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 5

Интегральные кривые уравнения (2) называются характеристиками. Замечание 1. Считаем, что переменные х и у принадлежат области С, Пусть в этой области функции 7(х, у) и д(х, у) имеют непрерывные частные производные по обоим аргументам и выполняется условие 7"'(х, у) -Ь д (х, у) ~ О. Тогда через кажлую точку области С прохолит олна и только одна характеристика.

2.1.1-2. Формула для общего решения. Пусть общее решение характеристического уравнения (2) дается формулой Б(х,у) = С, (3) тле С' -- произвольная постоянная. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вил ю = Ф(Б), (4) где Ф = Ф(Б) -- произвольная функция. Левая часть форлгулы (3) а(х, у) называется главным интегралом уравнения в частных производных (1). Замечание 2. Для краткости палее в главе 2 часто булем приводить только главный интеграл. Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой (4). 2.1.1-3. Физическая интерпретация, Уравнение (1) описывает стационарное распределение концентрации вещества в плоском потоке (без учета диффузии).

При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям х и у задаются функциями 7" и д. Ов Литература краадеау 2.1.1: Эь Камке (!966), И. Г. Петровский (!970). Н. й!юе, К. Апа, Н. Р.. Апшпгноп (1986). 2.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными) 2.1.2-!.

Классическая задача Коши. Формулировка классической задачи Коши: требуегся найти реп!ение ю = ю(х, у) уравнения (1), уловлстворяющее условию ю=й(у) при х=хс, (5) Лвньйныв гглвнвния ви гл !(х у) В -1- 9(х у) — = О 2.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши. Пусть х и у пространственные координаты, ш концентрация.

Считается, что распределение концентрации описывается стационарным уравнением переноса (1) и в начальном сечении х = хо задан профиль концентрации (5). Требуется найти ти = ш(х, у) в потоке за начшзьным сечением (при х ) ха). Возможна и другая нестационарная интерпрстапия залачи Коши. Пусть х время, у пространственная координата, ш --- концентрация (( = 1), Считается, что распределение концентрации описывается нестационарным уравнением переноса (1) и в начальный момент времени х = хс залая профиль концентрации (5). Требуется найти ш = ш(х,у) в послелующие моменты времени (при х ~ )хо). 2.1.2хй Обобщенная задача Коши.

Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение ш = нг(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям х = 6г(6), у = бг®, ш = 6г(6)., (6) где 6 — параметр (о ( 6 ( д), а 6ь(Я) — заланные функции. ! еометрическая интерпретация: требуется найти интеграиьную поверхность уравнения (1), проходящую через линию (6), заданную параметрически.

Решение обобщенной задачи Коши можно получить из формулы для общего решения (4), в которую слелуег подставить исходные данные (6). Замечание 1. При формулировке задачи Коши (1), (6) считается, что плоская кривая х = 6г (6), у = 6 (6) ни в одной точке не касается характеристик, т. е. выполняется неравенство Х()м,6г)6г — у(6„6г)!гг ~ О. Замечание 2. Если кривая х = 6г(6), у = 6г(6) является характеристикой, то: 1) прн )гз(6) ф сопгф задача Коши нс нмсег решения, 2) при 6з(6): — сопя! задача Коши имеет бесконечное множество решений.

Ов Лиаеуиауди куагдглу 2.1.2: Э. Камке (!966), И. С Петровский (1970), 1!. Кбее, К. Апа, Н. К. Ашаабаоп (!986). 2.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дш дш ау — Ф бх — = О. дх ду (7) Общее решение соответствующего характеристического уравнения дх ду ау бх имеет вид бхг — аут = С. Позтому обшее решение исходного уравнения с частными производными выражается через произвольную функцию Ф сложного аргумента с помощью формулы ш = Ф(бх — аут). Пример 2.

Рассмо|рим уравнение „ дш дш ие* — -1- Ь вЂ” = О. дх ду где 6(у)- -известная функция. Решение задачи Коши можно получить из формулы лля общего решения (4), в которую следует подставить исходив!с данные (5). В результате имеем выражение !г(у) = Ф(В(хо, у)), позволяющее определить функцию Ф. 22 Урипннния, соднраеищиг степенные гбункчигг Общее решение характеристического уравнения имеет вид ау-1-Ье = С. Поэтому общее ренгенис исходного уравнения с часгными производными дается формулой ш = Ф (ау -!- Ье ' ) .

Пример 3. Требуется найти решение задачи Коган дяя уравнения (7) с начазьным условием ги =- р при х =!. (9) Подставляя в общее решение (8) начальныс данные (9), получим уз = Ф(Ь вЂ” ауз). Ь вЂ” и Отсюда определяем функцию Ф(а) = . Подставвяя эту зависилюсть в (8), находим решение задачи а Коши Ь(1 — хз) ф ауз Пример 4.

Требуется найти решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям в параметрическом виде х=б, у=6, ш=б'. (10) Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой (8). Учитывая начатьныс условия (!О), отсюда имеем б~ =. Ф(сбз)г с = Ь вЂ” а.

Определяем конкретный вид функции Ф(а) = (аггс) 2. подол валяя эту зависимость в (8), находим решение задачи Коши ( Ьхз — ауз ) з 2.2. Уравнения, содержащие степенные функции 2.2.1. Коэффициенты уравнений линейны ло х и у дш дш 1. а — +Ь вЂ” = О.

д др Общее решение: пг = Ф(бх — ау), где Ф О» Лггпгпрппгураг Э. Камкс (!966). произвольная функция. 2. а — + (Ьх+ с) — = О. дю д д др Главный интеграл: Б = 2 бх + сх — ау. 3. + (ах+ Ьу+ с) = О. дх др 1"лавный интеграл; Б = (аЬх + Ь у ф а. -1- Ьс)е 4. ах +Ьу =О. дх др При а = Ь вЂ . уравнение коноида. Главный интеграл: Б = (х~ )у~ О» Литерам»ри. Э. Камке (!966). дш д ау — + Ьх — = О.

д ду Главный интеграл; Б = бхз — ауз. О» Литнрапшрп, Э. Камке (!966). 2 Вь Ф. Зайпоп, А Д. Попяиии Полученное решение справедливо при а т' Ь. При а = Ь прямая линия у = х .= 6 (на ней задаются начальные ланные) является характеристикой; в этом случае рассматриваемая затаив Копги не имеет решения. линейные ю ьвнения виль У(х, у) и" + у(х; у) я = О 18 дю дгп 6.

у — + (у + а) — = О. д др Главный интеграл: Б = х — у -1- а !п !у -!- а!. 7. (ау + Ьх + с) — — (Ьу + Их + в) — = О. дю дю дх ду Главный игпеграп: Б = ауг + 1сх + 2(Ьху + су + ях). д дю (азх + 6гу + сз) + (агх + Ьзу + сг) = О. д др Главный интеграл определяется решениями вспомогательной системы алгебраических уравнений для параметров я, Л, 1г,а, 3. т: (аг — я)(6 — я) = агЬы (1) азЛ 4- агу = яЛ, ЬзЛ + Ьг1з = я1ь, (2) сза+сг~З яг=сзЛ+сап (3) (аг — я)а -1- аг(1 = Лв, Ьза -1- (Ьг — я),3 = 1гя.

(4) Случаи 1г (аг — Ьг)г + 4агбг ф О. Уравнение (!) имеет два различных корня яг и яг, которым соответствуют два набора решений системы (2): Лы уг и Лг, 1гг. 1.1. Если а~бг — агбз ф О, то яг ~ О и яг ~ О. Главный интеграл имеет вил (в,(Лзх-1-П,у) -!-Лзг 1 дгсг(г (вг(Лгх 4 игу) -1- Лгсг 4 Дгсг(н 12. Еслиагбг — агбг =О,тояг = я =а1+Ьг ивг =О. Главный игшег рва при Лгсз + 1ггсг Зь О: Лгх+ Пгу Б = я — 1и(яз(Л~х -1-1ггу) -1- Лгсг 4-упсг).

Лгсг -1- пгсг Главный интеграл при Лгсг + 1ггсг — — О: Б = Лгх -1-1ыу. Случай 2: (аг — Ьг) 4-4агбг =О. Уравнение (1) имеет двойной корень в= г (аг 4-6г), а система (2) лает значения Л и у, не равные нулю одновременно. 2.1. Если я ~ О, то находим у из (3) и выбираем не равные нулю а и 11, удовлетворяющие соотношениям (4). Главный интеграл имеет вид ( пдр-~ т) Б =!и)в(Лх -!-Уу! -1- сгЛ -1- сед~в я(Лх, др) -!- сгЛ + сгд 2.2.

Если я = О, то Ьг = — аы Гтавный интеграл имеет вид Б = агх — 2азху — Ьгу + 2ггх — 2сгу. (~) Пвглерагл>ра. Э. Камке (!966) 2.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у дх др Главный интегршн Б = — 'ахз+ —.' Ьхг+ ох — у. з г 2. — + (ау + Ьу + с) — = О.

дю г дю д др 1'. Главный интеграл при -1ас — Ьг > О: 2 2ар -!- Ь Б = х —,, вхстй ъ'4ас — Ьг тгпас — Ьг 2'. Главный интеграл прн 4ас — Ьг < О: 2 ( 2ау -1- Ь вЂ” тГЬг — 4ас Б=х — 1п~ тГЬг — 44аас с! 2ау -~- Ь -1- ывг — 44аагг 2.2 Уривнвниа видврявии1нв сн~внвнннгв гдунхцни О г Ою 3.

— + (ау+ Ьх + сх) — = О. Ох Ор Частный случай уравнения 2.8.1. ! при 2 (х) = а, д(х) = бхг 4- сх. 4. + (аху+ Ьх +ах+ Ьу+в) = О. дю г Ою дх др Главный интеграл: Б = у ехр( — г ах — Ьх) — ( (бх -1- ст. -1- в) ехр( — фах — Ьх) г!х. 5. — +(у — а х. +За) — =О. г г г Ою дх ду ехр(ахг) Г г Их Главный интеграл Е =, + / ехр(ах ) — г.

х(ху — ахг -!- 1) хг б, — +(у — а х +а) — =О. дю дх др Частный случай уравнения 2.2.5.4 при и = 1. 7. +(р +аху+а) =О. дю г Ою Ох др Частный случай уравнения 2.2.5.5 при и = 1. дю г г Ою 8. — + (у + аху — аЬх — Ь ) — = О. Ох ду Частный случай уравнения 2.2ийб при и = 1. 9.

+ !с(ах+ Ьу+ с) = О. др Частный случай уравнения 2тй2. ! при 1(х) = Ьг~. 1О. х — +(ау +сх +у) — =О. дю г г Ою дх др Частный случай уравнения 2.2.5.20 при Ь = 1. 11. х — + (ау + Ьху+ сх + у) — = О. дю г О Ох Ор Частный случай уравнения 2.2.5.21 при и = 1. 12. (ах+ с) — + (а(ау+ Ьх) + Яау+ Ьх) — Ьх+ 7) — = О. дю г дю д. Ор ! лавный интсграт: дн и = 1п!ах+ с~ — 2! и = ау+ бх.