Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка

В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 5

DJVU-файл В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 5 Уравнения математической физики (УМФ) (2618): Книга - 4 семестрВ.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка: Уравнения математической физики (УМФ) 2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

Интегральные кривые уравнения (2) называются характеристиками. Замечание 1. Считаем, что переменные х и у принадлежат области С, Пусть в этой области функции 7(х, у) и д(х, у) имеют непрерывные частные производные по обоим аргументам и выполняется условие 7"'(х, у) -Ь д (х, у) ~ О. Тогда через кажлую точку области С прохолит олна и только одна характеристика.

2.1.1-2. Формула для общего решения. Пусть общее решение характеристического уравнения (2) дается формулой Б(х,у) = С, (3) тле С' -- произвольная постоянная. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вил ю = Ф(Б), (4) где Ф = Ф(Б) -- произвольная функция. Левая часть форлгулы (3) а(х, у) называется главным интегралом уравнения в частных производных (1). Замечание 2. Для краткости палее в главе 2 часто булем приводить только главный интеграл. Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой (4). 2.1.1-3. Физическая интерпретация, Уравнение (1) описывает стационарное распределение концентрации вещества в плоском потоке (без учета диффузии).

При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям х и у задаются функциями 7" и д. Ов Литература краадеау 2.1.1: Эь Камке (!966), И. Г. Петровский (!970). Н. й!юе, К. Апа, Н. Р.. Апшпгноп (1986). 2.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными) 2.1.2-!.

Классическая задача Коши. Формулировка классической задачи Коши: требуегся найти реп!ение ю = ю(х, у) уравнения (1), уловлстворяющее условию ю=й(у) при х=хс, (5) Лвньйныв гглвнвния ви гл !(х у) В -1- 9(х у) — = О 2.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши. Пусть х и у пространственные координаты, ш концентрация.

Считается, что распределение концентрации описывается стационарным уравнением переноса (1) и в начальном сечении х = хо задан профиль концентрации (5). Требуется найти ти = ш(х, у) в потоке за начшзьным сечением (при х ) ха). Возможна и другая нестационарная интерпрстапия залачи Коши. Пусть х время, у пространственная координата, ш --- концентрация (( = 1), Считается, что распределение концентрации описывается нестационарным уравнением переноса (1) и в начальный момент времени х = хс залая профиль концентрации (5). Требуется найти ш = ш(х,у) в послелующие моменты времени (при х ~ )хо). 2.1.2хй Обобщенная задача Коши.

Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение ш = нг(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям х = 6г(6), у = бг®, ш = 6г(6)., (6) где 6 — параметр (о ( 6 ( д), а 6ь(Я) — заланные функции. ! еометрическая интерпретация: требуется найти интеграиьную поверхность уравнения (1), проходящую через линию (6), заданную параметрически.

Решение обобщенной задачи Коши можно получить из формулы для общего решения (4), в которую слелуег подставить исходные данные (6). Замечание 1. При формулировке задачи Коши (1), (6) считается, что плоская кривая х = 6г (6), у = 6 (6) ни в одной точке не касается характеристик, т. е. выполняется неравенство Х()м,6г)6г — у(6„6г)!гг ~ О. Замечание 2. Если кривая х = 6г(6), у = 6г(6) является характеристикой, то: 1) прн )гз(6) ф сопгф задача Коши нс нмсег решения, 2) при 6з(6): — сопя! задача Коши имеет бесконечное множество решений.

Ов Лиаеуиауди куагдглу 2.1.2: Э. Камке (!966), И. С Петровский (1970), 1!. Кбее, К. Апа, Н. К. Ашаабаоп (!986). 2.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дш дш ау — Ф бх — = О. дх ду (7) Общее решение соответствующего характеристического уравнения дх ду ау бх имеет вид бхг — аут = С. Позтому обшее решение исходного уравнения с частными производными выражается через произвольную функцию Ф сложного аргумента с помощью формулы ш = Ф(бх — аут). Пример 2.

Рассмо|рим уравнение „ дш дш ие* — -1- Ь вЂ” = О. дх ду где 6(у)- -известная функция. Решение задачи Коши можно получить из формулы лля общего решения (4), в которую следует подставить исходив!с данные (5). В результате имеем выражение !г(у) = Ф(В(хо, у)), позволяющее определить функцию Ф. 22 Урипннния, соднраеищиг степенные гбункчигг Общее решение характеристического уравнения имеет вид ау-1-Ье = С. Поэтому общее ренгенис исходного уравнения с часгными производными дается формулой ш = Ф (ау -!- Ье ' ) .

Пример 3. Требуется найти решение задачи Коган дяя уравнения (7) с начазьным условием ги =- р при х =!. (9) Подставляя в общее решение (8) начальныс данные (9), получим уз = Ф(Ь вЂ” ауз). Ь вЂ” и Отсюда определяем функцию Ф(а) = . Подставвяя эту зависилюсть в (8), находим решение задачи а Коши Ь(1 — хз) ф ауз Пример 4.

Требуется найти решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям в параметрическом виде х=б, у=6, ш=б'. (10) Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой (8). Учитывая начатьныс условия (!О), отсюда имеем б~ =. Ф(сбз)г с = Ь вЂ” а.

Определяем конкретный вид функции Ф(а) = (аггс) 2. подол валяя эту зависимость в (8), находим решение задачи Коши ( Ьхз — ауз ) з 2.2. Уравнения, содержащие степенные функции 2.2.1. Коэффициенты уравнений линейны ло х и у дш дш 1. а — +Ь вЂ” = О.

д др Общее решение: пг = Ф(бх — ау), где Ф О» Лггпгпрппгураг Э. Камкс (!966). произвольная функция. 2. а — + (Ьх+ с) — = О. дю д д др Главный интеграл: Б = 2 бх + сх — ау. 3. + (ах+ Ьу+ с) = О. дх др 1"лавный интеграл; Б = (аЬх + Ь у ф а. -1- Ьс)е 4. ах +Ьу =О. дх др При а = Ь вЂ . уравнение коноида. Главный интеграл: Б = (х~ )у~ О» Литерам»ри. Э. Камке (!966). дш д ау — + Ьх — = О.

д ду Главный интеграл; Б = бхз — ауз. О» Литнрапшрп, Э. Камке (!966). 2 Вь Ф. Зайпоп, А Д. Попяиии Полученное решение справедливо при а т' Ь. При а = Ь прямая линия у = х .= 6 (на ней задаются начальные ланные) является характеристикой; в этом случае рассматриваемая затаив Копги не имеет решения. линейные ю ьвнения виль У(х, у) и" + у(х; у) я = О 18 дю дгп 6.

у — + (у + а) — = О. д др Главный интеграл: Б = х — у -1- а !п !у -!- а!. 7. (ау + Ьх + с) — — (Ьу + Их + в) — = О. дю дю дх ду Главный игпеграп: Б = ауг + 1сх + 2(Ьху + су + ях). д дю (азх + 6гу + сз) + (агх + Ьзу + сг) = О. д др Главный интеграл определяется решениями вспомогательной системы алгебраических уравнений для параметров я, Л, 1г,а, 3. т: (аг — я)(6 — я) = агЬы (1) азЛ 4- агу = яЛ, ЬзЛ + Ьг1з = я1ь, (2) сза+сг~З яг=сзЛ+сап (3) (аг — я)а -1- аг(1 = Лв, Ьза -1- (Ьг — я),3 = 1гя.

(4) Случаи 1г (аг — Ьг)г + 4агбг ф О. Уравнение (!) имеет два различных корня яг и яг, которым соответствуют два набора решений системы (2): Лы уг и Лг, 1гг. 1.1. Если а~бг — агбз ф О, то яг ~ О и яг ~ О. Главный интеграл имеет вил (в,(Лзх-1-П,у) -!-Лзг 1 дгсг(г (вг(Лгх 4 игу) -1- Лгсг 4 Дгсг(н 12. Еслиагбг — агбг =О,тояг = я =а1+Ьг ивг =О. Главный игшег рва при Лгсз + 1ггсг Зь О: Лгх+ Пгу Б = я — 1и(яз(Л~х -1-1ггу) -1- Лгсг 4-упсг).

Лгсг -1- пгсг Главный интеграл при Лгсг + 1ггсг — — О: Б = Лгх -1-1ыу. Случай 2: (аг — Ьг) 4-4агбг =О. Уравнение (1) имеет двойной корень в= г (аг 4-6г), а система (2) лает значения Л и у, не равные нулю одновременно. 2.1. Если я ~ О, то находим у из (3) и выбираем не равные нулю а и 11, удовлетворяющие соотношениям (4). Главный интеграл имеет вид ( пдр-~ т) Б =!и)в(Лх -!-Уу! -1- сгЛ -1- сед~в я(Лх, др) -!- сгЛ + сгд 2.2.

Если я = О, то Ьг = — аы Гтавный интеграл имеет вид Б = агх — 2азху — Ьгу + 2ггх — 2сгу. (~) Пвглерагл>ра. Э. Камке (!966) 2.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у дх др Главный интегршн Б = — 'ахз+ —.' Ьхг+ ох — у. з г 2. — + (ау + Ьу + с) — = О.

дю г дю д др 1'. Главный интеграл при -1ас — Ьг > О: 2 2ар -!- Ь Б = х —,, вхстй ъ'4ас — Ьг тгпас — Ьг 2'. Главный интеграл прн 4ас — Ьг < О: 2 ( 2ау -1- Ь вЂ” тГЬг — 4ас Б=х — 1п~ тГЬг — 44аас с! 2ау -~- Ь -1- ывг — 44аагг 2.2 Уривнвниа видврявии1нв сн~внвнннгв гдунхцни О г Ою 3.

— + (ау+ Ьх + сх) — = О. Ох Ор Частный случай уравнения 2.8.1. ! при 2 (х) = а, д(х) = бхг 4- сх. 4. + (аху+ Ьх +ах+ Ьу+в) = О. дю г Ою дх др Главный интеграл: Б = у ехр( — г ах — Ьх) — ( (бх -1- ст. -1- в) ехр( — фах — Ьх) г!х. 5. — +(у — а х. +За) — =О. г г г Ою дх ду ехр(ахг) Г г Их Главный интеграл Е =, + / ехр(ах ) — г.

х(ху — ахг -!- 1) хг б, — +(у — а х +а) — =О. дю дх др Частный случай уравнения 2.2.5.4 при и = 1. 7. +(р +аху+а) =О. дю г Ою Ох др Частный случай уравнения 2.2.5.5 при и = 1. дю г г Ою 8. — + (у + аху — аЬх — Ь ) — = О. Ох ду Частный случай уравнения 2.2ийб при и = 1. 9.

+ !с(ах+ Ьу+ с) = О. др Частный случай уравнения 2тй2. ! при 1(х) = Ьг~. 1О. х — +(ау +сх +у) — =О. дю г г Ою дх др Частный случай уравнения 2.2.5.20 при Ь = 1. 11. х — + (ау + Ьху+ сх + у) — = О. дю г О Ох Ор Частный случай уравнения 2.2.5.21 при и = 1. 12. (ах+ с) — + (а(ау+ Ьх) + Яау+ Ьх) — Ьх+ 7) — = О. дю г дю д. Ор ! лавный интсграт: дн и = 1п!ах+ с~ — 2! и = ау+ бх.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее