В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 8

у' губ т 22 Уравнения, со77ерксок777к эксионенпигккнные фупк77и77 — + (ае л у + Лху+ абв) — = О. дх др Главный интеграл; = = агстй [ — уехр( — —.Лх )~ — аб ( ехр(- —.Лх ) 7!х. ! ! 1 Г 2 (б в ) / в + (ах у + Лху+ аЬах ел ) = О. д др Главный интеграл: Б = асс!8 ~ — ехр( — —.' Лх~)" — пЬ х" ехр( —,' Лхв) 7!х. — +(ае у'+Ье у +су+72е ) — =О.

дх ду Главный интеграл: 7!в — х, .в=с 'у. авз -1- бве + (с -~- Л)в -!- 71 2б 27 +Ьс) =О. др 28. + (ае у + Забе "у + су — 2аЬ е дх ! лавный интеграл: Е +2п1( !л~е! Е ! (р -!- б)в есбя Е = ехр ( — е *) . х — +(аел"ул+йу+аЬ х е ) — =О. дх др 1лавный интеграл: = = асс!8 ' — аб ( х с '7!х. р Г я-7 л, бх! дкв ( а л в (! л ) ! л ) дкв Главный интеграл: 38. с!в 1' — ( Х Е 7!Х, В =ХоУ. ове -7- бв -!- с ! у — + ел [(2аЛх+ а+ Ь)у — е (а Лхл+ абх — с)) — = О. дх ду Главный интеграл: Б=хЕ-б вЕ 7!в Лвв — бв — с в=с *у — ах, где Е = ехр(п / ).

д др 1 7 1 у -б — е б(1 — 7771 Ла 1 Б = — !и ~у~ -~- — с 1 -лк б Ла 1'. Главный интеграл при кп ф 1 2'. 1'лавный интеграл при п7 = 1 33. (ае" + Ьх) — + — = д д дх др 1'. Главный интеграл при Ь О с О О„ = хе е 1 — б =1: Б=хе "— пу.

2'. Главный интеграл при Ь 34. (ах е "+Ьху ) — + дх Главный интеграл: Б = х' нŠ— и / е!Л и!"Е7!у, Е = ехр[Ь(п — 1) / уые '"7!и1. 1 — 77 линейные и хвнвния нилл у (х, у) у + д(х. У) —. = О а ву 35. (ах"у + бхе ") — + у — = О. а ар Главный интеграл: Б = х" Е+ п/ у™ мЕг!у, и — ! Е = ехр[б(п — 1) / у Уехх г!У1. 36. (ах у +бху ) — +е "— =О.

а ' ар Главный интеграус Б= х à — а/У е Ег(У 1 — п Е = ехр [б(п — 1) / у е "г!у~. 2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 2.4.1. Козффициенты уравнений содержат гиперболический синус вме апу 1. — + авЬ(Лх) — = О. вх ар 1лавпый интеурал: Е = Лу — и сЬ(Лс). 2. — + а вЬ(ггд) — = О. дну дп> вх ар Главный интеграл: Б = пух — !гг]1Ь( у !уу) ]. 3.

+ [у — а +аЛяЬ(Лх) — а яЬ (Лх)] = О. ах ар Главный интеграл: Б = -и ! Ег1х, Е = ехр~ — в!у(Лх)~. и — .сп(Лт) У 4. — + Л[вЬ(Лх)у — яЬ~(Лх)] = О. ах вр Главный интес рал: ехр[ —. сй(2Лх)! Б = ' ' + Л / яЬ(Лх) ехр[.'у с!у(2Лх)] г!х. и — сб(Лх) — -]- ((а яЬа(Лх) — Л]д — а вЬа(Лх) + Л вЂ” а) — = О. дх др Главный интеграл: Е /[ л 1 Е = + а — Еу!х, Е = ехр[ — с!у(2Лх)~. вп(Лх) [яб(Лх)у — с1у(Лу))] У Е япв(Лх) 1 ~ 2Л 6. яЬ(Лх) + а вЬ(гхр) = О.

Вх вр 1лавный интеграл: Б = пд !п]ГЬ( у Лх)] — Л !п]С!у( у !уу)[. 7. вЬ(гхд) + а яЬ(Лх) = О. вх вр ! лавный интеграл: Б = ЛсЬ(ру) — арсЬ(Лх). дуе ду» 1. — + асЬ(Лх) — = О. вх ар Главный интеурал: Е = п вЬ(Лх) — Лу. 2.4.2. Козффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 24. Урпененпя, еодерехпюие гипербошчеекие Сдунклии 2. — + а сЬ(Лу) — = О. дю дю ах ар ! званый интеграл: Б = аЛх — 2 атс!8(е ").

— + ([асЬа(Лх) — Л]у — асЬа(Лх) + Л+ а] — = О. а* ду Главный интеграл: Е + [и — ., 1Ес!х, Е = ехр(~ — сй(2лх) . л ( о сь(ЛХ)[сь(Лх)у — нь(Лх)],l ( сьа(Лх) ! ' (2Л 1 4. 2 + ([а — Л+ асЬ(Лх)]у + а+ Л вЂ” асЬ(Лх)] = О.

дх ар ! лавный интсграл: Я + — у! [а — Л -!- и сй(Лх!] Е Ух, !' у — ГИ(л-Лх) 2,/ 2( — Л! Е = [с!г(+Лх)] л акр[а / сй(Лх) сй(+Лх) с)х~. аи1 н дю 5. (ах +ЬхсЬ у) — +у — =О. дх ду Главный интеграл: Б = х' "Е -!- (и — 1)а / у Ег)у, Е = ехр[Ь(п, — 1) / у с11" уЫу1. 6.

(ах + ЬхсЬ у) + сЬ (Лу) = О. дх др Главный интеграл: 7. (ах"у + Ьх) — + сЬ (Лу) — = О. дх др Главный интеграл ) !'у Еду :ьн(лу) ' Е = ехр [Ь(и — 1) / дю аю 8. сЬ(!ну) — + а сЬ(лх) — = О. дх ар Главный интеграл Б = !лией(Лх) — Лай(ру). 1. + аЕЬ(лх) = О.

о ар Главный интеграл: Б = Лу — а 1л[с!1(лх)]. 2. — + аСЬ(Лу) — = О. дю дю дх ар Главный интеграл: Б = аЛх — !и[ай(Лу)[. З. — -]- [у -1- ал — а(а+ Л) ЕЬ (Лх)1 — = О. дх ар [сй(Лх)! ' р в !л Главный интеграл: Б = н- / [сй(лх)1 у — а!и(лх) 2.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс Лннвйныв ггввнвниа вняв 1(х,у) а +У(х,у) в 38 4.

— + [Уа+ ЗаЛ вЂ” Ла — а(а+ Л)11т (Лх)1 — = О. ах ар Главный интсграл: [сн(Лх)) ' )' [с11(Лх)1 ,Ьа(Л ) [р — тн(Лх) -'г Лсгн(Л .)),( Ьа(Лх) Ою в ах 5. (ах + ЬхйЬ у) — +у — = О. Ох Оу Главный интсгран: = = х' "Е -~ (п — Ци/ у Еду, р[Ь( — Ц / р ЬЬ уг!р! . "+ Ь ВЬ у) О +ЬЬ"(Лу) О = О. вх Оу Главный интсграл: Б = х "Е -'г (гг — Ца Гв (Лр) Е = ехр [Ь(п — Ц / 1лавный интсгрхн Б=х "Ен-(и — Ца( гн"(Лр) ' Е = схр[Ь(и — Ц / Ох Ор 1*. Главный инте~рхг нри Ь ф 1: Б = х' "Е+(и — Ца / у Есй уеду, 2'.

! лавный интеграл нри Ь = 1: Б = (ху )' " т (и — Ци / у!" '! '1Ь'" ус!у. 1. + а стЬ(Лх) = О. в ар Главный интсгрхн Б = Лу — а!гг~вй(Лх)[. 2., + асФЬ(ЛУ) = О. Ох Оу Главный интеграл: = = аЛх — !и [сЬ(ЛУ)). 3. -(- [Уа -(- аЛ вЂ” а(а+ Л) сСЬ (Лх)1 = О. а* ар 1Я.тл Главный интсгргнн Е = ' + [вй(Лх)) Их. у — а ссн(Лх) р 4, — + [у + ЗаЛ вЂ” Л вЂ” а(а+ Л) сЬЬ~(Лх)1 — = О.

вх Ор 1завный интеграл; [вн(Лх)) ! Г [вн(Лх)1в"'" сна(Лх) [р — всгн(Лх) -1- Л 111(Лх)),! с11а(Лх) 2.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 25 Уроонолил. содеухгощае логорог)тинлесане рулевое 2.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции 1. + а вЬ(Лх) сЬ(!ту) = О. Ох Ор Главный интеграл Б = 2Лагстй(соа) — сусЬ(Лх). 2. + а сЬ(Лх) вЬ(!ту) = О. Ох Оу ! лавный интеграл: = = Л!и !ГЬ( —,', ру) ~ — а5гвЬ(Лх). 3. + [у — 2Л ЕЬ~(Лх) — 2Л сеЬ~(Лх)] = О.

Ох Ор Главный интеграл: вЬ~(Лх)сЬ~(Лх) /' а( р — Л г!г(Лх) — Л с!Ь(Лх) 4 ~ + [у -1- Л(а.(-6) — 2аЬ вЂ” а(а+ Л) !Ь (Лх) — 6(6+ Л) сЕЬ (Лх)] — = О. Ох Оу Главный интеграх Е [.1(Лх)] ! Ь(Лх)] °, У[,Ь(„)]+,Ь„.)] л- „. р — ог!г(Лх) — Ьсгй(Лх) аЬ(Лу) + а сЬ()3х) = О. Ох др Главиьсй интеграл Е = !Ос!г(Лу) — иЛв!г(,Зх). [ах" сЬ (Лу) + Ьх] + аЬ ()Зу) = О. Ох Ор Главный интег рал: = = хг "Е+ (и — Ца / р и, Е = ехр[Ь(п — !) ! ви (Лр) I 8Ь (Лр) 2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 2.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 1. — + [а!п (Лх) + Ь] — = О.

дх Оу ! лавный интеграл: Б = у — Ьх — л /!и (Лх) г(х. др Главный интеграл: Б = х — 5! 5 о! ь(Лр)+Ь Ото и Ото 3. — + а 1п (Лх) 1п (!ау) — = О. Ох Ор Главный интеграл: Б = ар! 1и (Лх) Ох — 5! ор ! "(ир) 4. — +а1п (х+Лу) — =О. Ото и Оою Ох Оу 1лавный интеграл: ос Б = х — 5! х=х+Лу. 1.1- еЛ!ль х линвйныв ттявнвния виль ~(х,у) с"', +р(х.,у) с = О 4О 2.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции дю а Вю 1.

— + ах 1п (Лу) — = О. ах др и „ус 1' сГр Главный интеграл: Б = х" и-1-1 !п (Лу) Главный интеграл: Е = у "— и с 1п (Лх) с!х. 1 — и, — + [у + а 1гг(сЗх)у — аб!п():'1х) — б ~ — = О. дю в дю а* ду 1лавный интеграл: е1вв ! Е Б = + / е! ~ '1*Ее!х, Е = ехр[их!п(стх)). у — Ь вЂ” + [у + ах!и (Ьх)у + а!п (Ьх)1 — = О.

дю а дю ах ду 1'лавный интеграл: Ес!х, Š— сир[и / х!п (бх) с!х~ х(ху -~- 1) + (ах уа — абх +'у 1пх+ Ып х+ Ь) — = О. ах ду 1лавный интеграл; Б = + и / х"Ейх, Е = ехр~ х" (1пх — )). 7. — + [а(1пх) у + ах 1;гавгсый интеграл; Е у — ах Ьгпх™ г — аб х (1пх) 1 — = О. ар -и и / (1п х) " Е с!х, Е = ехр[2иб / х (1пх)" с!х~. — + [а(1п х) у — абх(1п х)"т~у+ Ыпх+ Ь~ — = О. дх ду Главный интеграл: +и /(1пх) Ес!х, Е = ехр[иб/ х(!пх) ~'с!х~. р — 6х 1п х — + [а(1п х) (у — Ьх — с)в + Ьпх ~ — = О.

дх ду 1 Главный интеграл: Б = + а, 1 (1пх) исх. р — бх" — с + [а(1пх) у + Ь(1пх) у+ Ьс(!их) — асв(!пх) ~ = О. ах ар !'лавный интеграл; Е = + и /(1пх)" Ес!х, Е = вхр( /[Ь(1пх)"' — 2ис(1п я ) "] с!х). у ус 10. — — [(и+ 1)х у — ах ~ (1пх)™у+ а(!их) 1 — = О. ах ду Главный интеграл; х в!+О Б =, — (и Н-1) / х Ес!х, Е = ехр[и /х"+'(!пх) с!х~.

у — х 2 5 Ууоинснии. содерхпгиие иогирифхииесние фуннрии 11. х — + (ау+ Ь1пх) — = О. а и Ою Ох ду !":!авный интеграл лг Е =!пх — ! ., и = иу+ Ь!пх. ииг -1-6 ' 12. х -!- [ху — Аих 1пп()Зх) + А~ = О. а Оу Гланный интегрхч: Е = ' ' + / е. ч Ес)х, Е = ехр[2Ах)п(ах!). у — «11п(ах) Главный интеграл х = ' -1- / Ес)х, Е = ехр[2А / 1п (~Зх)г)х1.

р — А1и (дх! 14. х — +(ах у +Ь вЂ” аЬ х 1п х) — =О. Ою 2 в Очо ах ау Главный шпеграл: Е = ' +а ! х ' ЕНх, Е = ехр[, (п!пх — 1)~. у — 6 !п х,/ пи 15. х + Ох [а1п (Лх)у + )ау+ аЬвхв" 1п (Лх)1 — = О. ау интегрхн Б = асс!8( ) — и6 / х 1п' (Лх) г!х. ~Ьхг / Главный 16. х — + [ах (у+ Ь!пх) — Ь) ах 1 !"лавный интсграч; Б = у -1- 6!и х Ою — = О. ар и -1- — х П 17.

х — + [ах (1пх)у + (Ьх" !пх — п)у+ с1пх| — = О. дх Оу ! лавный интеграл: — 1п х с!х, l верин / 18. х — + (ау 1п х+ Ьу1п'х) — = О. и дю Ою дх ду Главный интеграл: Л (!пх)" +сЛ1 =О ау 28. (а1пх+ Ь) + [(1пх)"у + су— Ох Главный интегрхч: Е !' (1пх)нунх уЧЛ р Ьл +Ь [/' с — 2Л(!и х)и и1пх -1- Ь Б = у' Е-6 (и — Ци / х Е!п хс!х, Е = ехр[6(гч — 1) (' иг '!пнхс!х~. 19. (а1пх+ Ь) + [у + с(1пх) у — Л + Лс(!пх) 1 = О.

Ох ау Главный интеграл: Е /' Еих + рфл г' и!их+6' динвйные вявнения вняв )(х у) а +д(х у) 'т = О еу 21. х 1п(ах) — — [х у 1п(ах) + 2~ — = О. ах ар х г!х Главный интеграл: а = !п(ах) [хр!п(ах) — 1) „/ !п»(ех) 22. 1п (Лх) — + (ау + Ьу!п™ х) — = О. а ар Главный интеграл: а=у' "е-!-(и — Ца ) У„,„.О 23. 1п (Лх) — + (ау 1п х+ Ьу) — = О.

а дю дх ду Главный интеграл: а = р вЕ -!- (п — Цп, ( Ц ',/ ! "(Л ) Е = ехр[Ь(и — Ц / Е = ехр[Ь(п — Ц / — + [а яш (Лу) + Ь1 — = О. Ою в Ою ах ар Ор 1'лавный интеграл; а = х — ) ав1п (Лу) -!- Ь дю . я . Ою — + а вш (Лх) вш (!»у) — = О. дх ду 1*.» Г ду !"лавный интеграл; = = а ( яп (Лх) дх — [ » в1п" (ру) дю . в дю — +ая(п (х+Лу) — =О. дх ар 1лавпый интеграл: е» а=»в 1 + аЛ я!па» ' »=х+Лу. + [у — а +аЛя!п(Лх) + а в!п~(Лх)~ = О. дх Оу Главный интеграл: Е -В ! ЕОх, р -!- е сов(Л»:) 1 2а Е = ехр [ — — в!п(Лх)) . Л Ь, -1- [у + ая!п(!Зх)у + аЬвш()Зх) — Ь ) = О.

Ох ду Главный интеграл; е р+Ь Е = ехр[ — 2ьх — — соя(!»х)~. ,3 — + [у + ах яп (Ьх)у+ аяп™(Ьх)1 — = О. ах ар Главный интеграя а = -Ь / х»Едх, Е = ехр[п / хйпх(Ьх) Ох~. х(ху+ Ц 2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 2.6.1. КоэФФициенты уравнений содержат синус 1. + [аяп" (Лх) + Ь~ = О. Ох др Главный инте!реп " = у — Ьх — и / яп (Лх) Их. 2нй Уравнению содержал!не тригиниметринесние фрниуии 8.