В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 7

К Ха!аеп (1996) х — + (ау + (и + Ьх )у + сх ~ — = О. дх Ву 1'. Главный интеграл при и ~ О: пс 1 — — х, ю=х, у. ппгн-Ьпн-с п 2*. Главный интеграл при и, = О: — !и )х!. пУг туп+ с Оп Пимерпгптра: А. В. Ро1уапт, У. Р. 2ауаеъ (1996). 21 — +(ах у +ЗаЬх ~ у +сх у — 2аь х т~ +Ьсх ~ — Ьтпх ) — =О. ах ау 1'. Главный интеграл при й ф — 1, и -1- 2т, ф — 1; Е 2с яч ~ бпуг „.~.гп,х|т Ч-2ау! ХпЕдХ, Е = ЕХР( — Х " — т (у-1-Ьх )г l ' ( Ь-~-1 и+2тп-~-1 2'. Главный интс~рт! при )с = — 1, и + 2ти ~ — 1: + 2пу! хпт 'Егт)х, Ег = ехР( — х ' + ). (у Х бх'")г,l ' т и, и'2пг -Р 1 ) 3'.

Главный интеграл при Ь ф — 1, и+ 2т = — 1: (.+ х")г+ "/' 4'. Главный интеграл при Ь = и + 2т = — 1, с ф Зпу + ии г и г! ггаг х ' (у Ч- Ьси)г с — ЗпЬг — гп 5'. Главный интеграл нри й = и -Р 2пг = — 1, с = Зпьг -Р пи хг Б =, -1- 2а,!п ~х~. (у '- Ьхт)г 22 Уравнения, содержащие сп7епениые срункаии 22. х — + (ах у + Ьу+ сх ) — = О. 0 г дга Вх др Главный интегринл: йи — 1пх, аиг + (б -7- п)и -Ь с 23.

х +(ах"у +ту — аЬ х"" ) =О. дх Ву 1'. Главный интеграл при гп, + и ф О: — ./ ' т+и 2 . Главный интеграл при гп = — и: хг и(у+ бх"') 2Ь(у — бх ) 24. х — + (х~ у + (ти — п)у+ хг ~ — = О. 0 др 1'лавный интеграл: = = агссй(х у)— иут Ои ай77п7ерап7 ура: А. Р. Ро7уапаи Ч. Р. 2айвси (1996). 25. х + (ах~ у + (Ьх — п)у+ с~ = О. дх др Главный интеграл: ди аиг .7- бс У с 4 Еп аиг + Ьи -7- и. и -~- 7п 7!=х у, 2'. 1лавный и77теграт нри и+ т = О: 477 — !и х, и = х." у. аиг -7- Ьс -7- с 27. х + (ау + ЗаЬх у — Ьпх — 2аЬаха ) = О. д Ву Главный интеграл: Е + 2а27 х Ег)х, Е = ехР( — ' х "у7.

— 7 7' Забг (у -7- бха)г и 28. х — + (ах~ +гу + (Ьх — п)у+ схт Вх ду 1 лавный интеграл: ай7 а,от -~- би -7- с и = х" у. 29. х — + [ах +гу + (Ьх — 1)у+ сх д, ду Главный интегрхн 77и 1 аиа -7- би -7- с и 26. х — + (ах~"+ у + (Ьх ~ — п)у+ сх ~ — = О. дх Ву 1'. Главный н7пеграл при и+ пп ~ О: линвйньх п явнения вила 1(х, у) а + 9(х, У) и 28 х ти -(- (у -)- ах" у + Ьх" "у") — = О. Ох Ор 1'. Главный инте!рал при п ~ 1: аи х" аи -!- Ьие п — 1 2', Главный интеграл при п = 1: — !и !2(, аи Х Ьи" 30 31. у + (х [(1+ 2п)х+ пп)у — пх (х+ Ох Главный интеграл: Б = (х" -Ь ахи — у) Н- ( а)) = О. Оу ) — г! и = х(х" + ах" / пиа — Ьи — с тле е=ехр( к/ 2 ) ° и=в у — ах, 33. х(2аху+ Ь) — (а(т+ 3)ху + Ь(т+ 2)у — сх Ох ар Главный интеграл х = схи'~ (сх — 2(ш+ 1)у(аху+ Ь)1.

34. х (2аху+ Ь) — — (4ах у + 3Ьху — сх — Ь) — = О. 2 Ою 2 2 2 ах Оу Главный интеграш х = (сх' + Ь)~ — 4схту(аху+ Ь). Ь" ах +Ьу а* ар 1'. Главный интеграл 35. при ш ~ 1, и ф 1: Б = Ь(п — 1)х1 — а(ш — Цу! при ш = 1, п ф 1: 2*. Главный интеграл Б = Ь1п[2~ -1- у' 3'. Главный интеграл при гп ф. 1, и = 1: х = х -Ь а!и!у!. ш — 1 4'. Главный интеграл при ш = 1, п = 1 см.

в 2.2.1.4. Ои Лихеримури: Э. Камки (!966). 36. ах — + (Ьу+ сх ) — = О. Оиг аиг Ох ар 1'. Главный интеграл при п ~ 1: р с Г г а,l Ь х а(1 — п) 2'. Главный интеграл при и = 1, аш ф Ь: — и = =х 'у — х апг — Ь 3'. Главный интсграт при п = 1, аш = Ь; с 1п [х!. 32. у + ([а(2п+ Ь)х + Ь)х" ту — (а пха" + аЬх" — с)ха т) = О. ах ар Главный интеграл: 29 2.2 Уриененчя, еодерзкаи!не степенные функинн ах — +(у +Ьх у) — =О, пФ1. дх ду 1'. Главный инте! рал нри т ~ )е — 1: 37 — г ! — » и — 1 1 — г — ь (1 — п)Ь вЂ” н-И 9=с у н-1- 2! е х 'ь(х, Е= х ' а и (гп -Ь Ь вЂ” !) 2'. Главный интеграл нри гп = Ь вЂ” 1, (п — 1)Ь | та: ! -Оь — !"- '!'- " Б=х ° у' "'-Ь "' х (и — 1)6 — ив 3'. Главный интеграл нри т = Й вЂ” 1, (п — 1)6 = та; п — 1 Б = х у ' -!- 1л)х!.

а 38. х(ах + Ь) + (тех~у + (Д вЂ” апх )у+ ух ) = О. д ду !'лавный ннтеграт Б=х Е-Ьйа -ь Еле апв -Ь (да- Ьпь1о -!-7 ,/' 4п где Е = ехр ЬЬ ! .1 асв -г (д-66п)п-ь 11 39. (у+ Ах" + а) — (пАх" ту+ Ьх + Ь) = О. д* ду а 26 Главный интеграл: = = у + х '~ -62(Ах у-ьау-ЬЬх). и -'- 1 40.

(у+ ах +! + Ьх ) — + (апх + сх" г)у — = О. дх ду Главный интеграт !Е— Е дп пев — (Ьп + с)ю + Ьс ~-1 сан где Е = ехр— ,! псв — (Ьп -Ь с)п -~- Ьс 1 п=х "у+Ь, 42. (ах" + Ьх + ху) + (сх" + Ьху+ у ) = О. дх ду Главный интеграл: Б = (ау — сх)н -Ь /(с+6)(аи — с)" аг(с, и — 2 у и=— х 43. (ау" + Ьх + сху) + (Ьу" + Ьху+ су ) = О. д ду Главный интеграл: (Ь вЂ” аю)" (Ь -1- сс) ((ех — ау) и — 2 е (ах + Ьх + с) — + (су — Ьх у+ ах )— дх ду 1'лавный интеграл: Е Их хЕ 9=с +, Е=ехр~ — I =-= /' „', =. [-/' ах" -Ь ахи -!-с ху-!-1 ' 44 (Ьх -~- 2с) лх х(сх" -~- Ьх"' -!- с) 1 41.

х(2ах у+ Ь) — — !а(Зп+ гп)х у + Ь(2п+ та)у — Ах — Сх ~ — = О. дх ду Главный интеграл: Б = (Ах"т'" + С)е — 2А(п+ т)х'"е" у(ат у+ Ь). линейньх ггввнения виль ~(х, у) л, + У(а',У) л (их л- Ьх + с) — + (ах у + Ьх у+ с) — = О.

дх Оу Главный интеграл х ЯЕ42; Е Я=а ах" -~- Ьх'" -1- с у — т, /' (2ах" -~- 6х'") Нх Е=ехр / 2 х(ах -!- 6х'" -!- с) ] Е=. [/ (ах + Ьх + с) — + (тех~у + )лх'у — аЛ~х~ + )лЛх') — = О. Ох ду Главный интеграл: яхЕ лх Е Я=о ах" ЬЬх ес уеЛ 46 Е !'/ Ух — 2аЛ' 47. х(ах + Ьх + с) — [вх"у — (ах™ + Ьх + с)у — вЛх"+ ] = О. Ох Оу у — хъ'Л г .— Г хг лх Главный интеграл: Б = ехр(2вь'Л/ увхъЛ ( ./ ах" 46х ест' 49. (ах +Ьу +х) — +(Ох у +)лх у +у) Ох Ор Главный интеграл: 1 г /' Е Нс и — 1 л ас "-6~3ю" — 6с Ял — ас [ /' (6с -~- а) дс где Е = охр (1 — и'! / /' ( ] с= —, у х' Главный интеграл: (Вс + А)Е Ис а — 2 я' ас" "ЕДс '" — Ьс я~ — ии ' (Ьс" Е а) Ос где Е = ехр (2 — и) У ас 1 -~- Ос" "' — 6с" Я' — аю ] у х е1. (ау™ + Ьх" + а) дх Главный интеграл: (ах" + Ьих" 'у+)3) = О.

Ор = аср(У) + сгх(х) -Ь Ьх' У -Ь вр -Ь Дх, где ха гг ф(х) = 641 !п]х] 'т(У) = т-~-1 !п ]у] при т ~-1, при т=-1, при Ь~-1, при Ь= — 1 ( "у +х) О +(6 ву"+--"+у) О' Ох Ор !'данный интеграл: 1,, / ЕНВ и -!- ги — 1 У с"'(Ьс" а — ас) Ис где Е = ехр [а(1 — и — ги) Ьс" " — аэ 1 у и= х' 48.

(ах" +Ьх" +с) — +[(ах"-(-Ьх"-1-с)уа — аи(и — 1)х" а — ЬЬ(Ь вЂ” 1)х" а] О'л =О Ох Ор Главный интеграл: 1 /' лх + (ах" Г Ьха Е с)[(ах" + ух" + с)у+лис" ~ + бух" ~] у (ах" +ух~ + с) 2.1 Уринненик еонероетцие ькгнонениикльнае функции 53. х(ах у + а) — — у(Ьх у + 13) — = О. а ау Главный интеьргнл: (у, ь)л (у 0)в + гььД вЂ” па где А= а11 — ьа гпь — па аа — Ьа 54. х(апх у ~ + в) — у(Вьпх. 4 у + в) ах ау ! лавный интеграл: = = оду' -~- Ьйх'~ — в(ху) дх ау Главный интеграл: 1 л, в Г (де -~- А)Ели гь4гп — 2 й н (Ьип "— ае) ' Ио где Е = ехр ~а(2 — и — та) ьь 1. /', „1. 56. (ах у + Ьху ) — + (ееу" +,3) = О.

дх ау !"лавный интеграл: Е = ехр ~Ь(гь — 1) / х "Š— а/ ь(у, 1 — и ад' -~- 11 ага л ан 1. — +ае — =О. дх ду ! лавный интеграл: Б = Лу — аел'. Главный интеграл: Б = Л(Ьх — у) -1- ае е. 3. — +(ае н+Ь) — =О. дто днь дх ду Главный интегрхн Б = Л(Ьх — у) + !гг~Ь-1- аел" ~. 4. +(ае "ЬВ +Ь) =О. дх ау ьл — лу оЛ Ьдуьл> Главный интеграл: = = е "+ еь 0+ 6Л ано + ( ли-Нз ах +Ье' ) =О. ау — лу а=е "Е+аЛ 1 е Едх, где Е=ехр! — ет ).

Г 6Л 7 ! лавный интеграл: 6. ае — + Ье — = О. „а „а ах ду 1 -ну 1 -л 06 Ла Главный интегрхл 2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 2.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные функции линайнью ттьанения виль ~(х, р) а",', +д(х,у) а = О 32 7. (ае + Ь) — + (се + г1) — = О. а ар сел' -~- н Главный интеграл: Б = р — ( г)х.

/ „л +Ь Главный интеграл: Б = ЛДг)х — Ьр) — г)а1гг~не ' -1- Ь| + ЬЛ!н(се "+ г)!. 9. (ае "+ Ь) — + (сел" + г)) — = О. дх др Главный интеграл: Б = аЛ(ах — Ьр) + сЛе ' — аДе~т. ах ар Главный интеграл: Б = ае " "— е а — 1 11. (ае +Нн + с1ь) — (Ьет тии + сЛ) = О. дх ар Главный интеграл: Б = е~ "1Я -1- е~т 1 — се л — р 7 — л' 1. — +(р +аЛе — а е ) — =О. дю л а ах дю дх др Главный интеграл: Е= -~-/Едх, е у — ать* Е = ехр( — е "). дю+(~а+ + (,,) л а ал) а Главный интегры: е р — ать дю — = О.

др Е = ехр( — е ' -~-Ьх). Главный интеграл: е -1- 1 Еах, и — 6 Е = ехр(2Ъх я- — е '). дю г л а 4. — (р — ахе р+ ае ) = О. дх ар Главный интеграл: е ~ е х(хр — 1),/ х~ Е = ехр ~ — (Лх — Це '~. 5. — +(ае р +Ье ) — =О. дх др Главный интеграл: аи — х, н = е 'р. ,I ата -1- Лн -1- Ь 2.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 33 23. Уракнснин, соскрхсои)ик экспоненлиссн ные фупкрии Е = вхр[ еС "" с]. л+и Главный ивтеграл: оо оог -~- (Ь -Ь Л) о -~- с )су — аь е 2 Ьл-Ь го) ~ — = О. др о=с 'у.

л. 8. — +[ае у + дх ! лавный интеграл; Е -Ь а( е Ес(х, у — бен — + [ел у + ае" у+ аЛебн л) 1 — = О дх др Главный интеграл: Е = ' +/."сЕ (*, р -)- Ле — — [Ле у — ае у+ ае ~ — = О. дто Л 2 <н л). Ви> д др Главный интеграл: Е = ехр( — е — 2Л:с) . ра Р 10 Б = — Л/ ел"Ес(х, р с — Л: дол, г лв г, . Ьлрр)о . и ~ дно +[ае у +аье — Ь)ке д* ду Главный интеграл; Е = ехр( — еи'' — 2Лх). (р „Ь .

Л)* сог т бо -'с с р -Ь Л ) 1 л* Главный интегрсен а = + — е у — Ьеи. Л +( ел '+Ь "-' — аЬ'ел х'") д =О Главный интегрсен о =е у. л* 14 Е = ехр(2аЬ / х" е ' с(х) . — + (ел у +ах у+аЛх е ) — = О. дх др Главный интеграл: Е = + / слвЕйх, у -~- Ле 15 6. — + [ае у + Ь)ге' — аЬ е1Л+ ") ) д Главный интеграл: Е -Ь а~ е Ейх, р — Ь. ° Е = -Ь а / елкЕс(х, р -Г беи" Впо [ 12л-,'-с ) 2 ( (1 блан) Л) дх Главный ннтстрал: Е = ' +а / е Ес(х, р — бх" 3 В. ел Звадвв, А д. Попяяян Е = ехр[ е~" 'и)*-Ьух]. л, !х Е = ехр[ — аЬ салон) ] лир + ееи") = О, ду Е = ехр( хо~~ — 2Лх). линейные а лвненил внял 1(х, У) а + У(х, У) с 16.

— +(Ле~ у +ах е у — ах е ) — =О. д др Главный интеграл: гл*,; Б = л -ЬЛ / е "Ейх, Е =еяр(и /х"е "гЬх). 17. — + (ае у — аЬх е у+ Ьах ) — = О. днг л г л дгс д. ду Главный интеграл: -Ь и / е"л Ейх, Е = ехр(аб/ х" е Нх). у — Ьхл 18. — + (ах"у + ЬЛе — аЬгх ег ) — = О. дх др Главный интеграл: х = -Ь а / х"Е г1х, Е = ехр (2аЬ / х ел' с1х). у — Ьел 19. — + (ах, у + Лу — абгх ег ) — = О. дх др Главный интеграл: Б = -Ьа / х" Ейх, Е = ехр(Лх -1-2аб / х"е *г1х).

у — Ьел 1 панны й интсграч: Е = -на / х Едх, Е = ехр(аб /х"г и йх). у — Ьх Главный интеграл: Е +а/х Еах, у — Ьел ' — с ехр ( ' х " -Ь аб / х"е " сКх) тле Е = х" ехр(аЬ / — гбх) при пф — 1, при и = — 1. 23. — + [ае (у — Ьх дх — с) + бах л1 — = О. др 1 а л -Ь вЂ” е у — Ьх" — с Л Главный интеграл Б = 24. — +(у +2аЛе — а е ) — =О. дх ду Главный интеграл: + / Ейх, Е = еяр(2а / е гЬх). 22. + [ах егл у + (Ьх" ел — Л)у+ сх 1 — = О. дх Вр Главный интеграл: ас — уг х"е йх, н=е У.