В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 6

2 анг Х рс + б~/~ Ох Ор 1 Главаый интеграл: х = — — —. бу ах 14. (ахг + Ь) — (у~ — 2ху+ (1 — а)хг — Ь) — = О. Ох др дх 1 Гланный иатеграл: х = — 21, + ахг -~- б у — х 15. (а,х + Ьгх+ ст) + (агу + Ьгу+ сг) = О. Ох др лх ду Главный интеграл: Б = агхг -!- б х 4 сг „~ агУг -~. бар+ сг линейнык вгввнениЯ виля 1(х,у) а +д(х,у) а 20 16. (х — а)(х — Ь) — — [у + Й(у+ х а)(р+ Вх 1'. Главный игпеграл при а ~ Ь: у Й Й(у Й х — а) 1' х — а '1 "' р+Й(р+х — 6) Г х — 6/ 2'.

Главный инте3 рал нри а = Ь: (х — а) Й [р Ч- Й(у + х — а)[ [у -~- Й(у -\- х — а)[(х — а) х — Ь)~ — = О. дю вр Й~ О, Й~ -1. Й ф. О, Й ф. -1. 12. (агу + Ьту+ сг) + (агх + Ьгх+ сг) в Главный интегРал: Б = — 'а3У + г 6~У + с3У Вю вр 3 3 16.3 — агх — —.вгх — сгх. 3 3 1В. р( +Ь) — +( р — ) — =О. в. г Вю Вх вр (ах -~- Ь)3 1'ванный интеграл: Б = схг -~- Ьуг 19.

(ау + Ьх) — — (сх + Ьу) — = О. г Вю г Вю Вх ву 1лавный интеграл; Е = 3 ау + — сх -1-6ху. 20. (ау +Ьх ) +2Ьх =О. в вр Частный случай уравнения 2.9.1.2 при 1(х) = Ьх, д(р) = ау . 21. (ау + Ьх ) + 2Ьху = О. Вх вр Ьх — ауг Г лавный интеграл: Б = у 22. (ау +х ) +(Ьх +с — 2ху) =О. Вх вр 3 3 г Главный интеграл: = = ау — Ьх + 2(х у — сх). 23.

(Ауг+Вхг — а В) — +(Су +2Вху) — = О. Вх вр Главный ин геграл: Б = (х — а)Е+ 2аВ / Е нв / (А г-Вв — В) ' и (.4вг 4 В) ав тле Е = ехр У в(Авг — Св — В) 1 у в= х — е 24. (ау + Ьх + су) + 2ьх — = О. в вр Частный случай уравнения 2.9.1.2 нри 1(х) = Ьх3, д(у) = ауг + су. р вв Е = х)в+Й (А — В)вг Й ( — Е)в — В и (Ав Й В) вв где у = ехр (А — В) 'Й( — Е) — Е1 р в= — ' х' 25. (Аху + Вхг + Йх) + (Ру + Еху + Ех~ + Йу) = О.

Вх вр Главный интеграл: 2.2 Урсзненза, содсрлсищвс стсясмлыс функлкк 26. (Аху+ А!су+ Вх + Вйх) — + [Су + Рху+ Ь(Р— В)у] — = О. дх др Главный интеграл: Б = (х Ч- И)Е 4- ЬВ ! Е ас ,/ с((С вЂ” А)сч  — В] ' [/' (Ах -'; В) Ис где Е=ехр ! У с [(.4 — С)с -1-  — Л] 1 у с= х -1- Ь 27. (Ау + Вху+ Сх + )сх) + (Ру + Еху+ Гх + йу) = О. дх Ор Главный интеграл: У ас :- = х1' -1- Ь Асз Ч- ( — Л)сз ч- (С вЂ” Е)с — Р /' (.4зр т Вс -1- С) Фс где )г = ехр ! У Асз -1- ( — В)из Ч- (С вЂ” Е)с — Г 1 ~/' = р с= х ' 28. (Ау + Вху+ Схз) — + (Руз + Еху+ Гхз) — = О.

Ох др Главный интеграл: (Асз -1- Ве -1- С) с!с -!- 1п !х), Асз + ( — Д)сз -1- (С вЂ” Е)с — Е 29. (Ау + 2Вху+ Рх + а) — (Ву + 2Рху — Ех — Ь) = О. Ох ду 1лавный интеграл: = = Ауз — Ехэ -1-3(Вху -1- Рх р -1- ар — Ьх). 30. (у — 2ху+ х + ау) + ау = О. г з дю дю Ох Ор а Главный интезраш Б = -1-!п]у]. х — у дю да~ дю — ч- дз — ч- дз — = О, дбз дбз дбз где д„= п„Ь~ -> Ь„бз 4- с„Ьз (и = 1, 2,3). О решении этого уравнения см.

6.2.1.21. ® .7имсраюурх Э. Качке (!966). 2.2.3. Коэффициенты уравнений содержат целые степени х и у 1. — +(у +Ьх у — а — аЬх ) — =О. 3 3 2 дю Ох Ор Частный случай уравнения 2.8,1.3 при Г(х) = Ьхз. 2. — +(ах у+Ьх +с) — =О. дю з з Ою Ох др Частный случай уравнения 2.8. !.! при 2(х) = ахз, д(х) = Ьх Ч- с.

Частный случай уравнения 2.8,1.2 при !с = 3, 2(х) = ахз, д(х) = Ь. 31. (хзт — зз) + (ууг — зз) = О, 2' = а + Ь х+ с у. Ох Ор Уравнение Хассе. Введение олнороднык коорлинат х = ЬзДы у = Ьз/Ьз приводит к следуюшему уравнению с тремя независимыми переменнычи для ю = ю(ры Ьз, Ез): линейные згьвнвния виль 1(х,у) и"' +д(х,У) и = О 22 а ,а 4. — + ( р+ ь)р — = о. ах ар Главный интеграл дн — !ьь !х~ь и = ху. ь(инг 9 Ьн -1- 1) — + А(ах + Ьу + с) — = О. дю 3 дю а ду Частный случай уравнения 2.9.2.1 при Д(2) = Агз.

х + (ах у + (Ьх — 1)у+ сх~ = О. дх ар Главный интеграл: ин х ань -1- Ььь -1- с 2 дю + Ьху+ с) — = О. ар 7. х — +(ах у дьи г г дх Главный интеграл: — 1п (х), йн =-=1 анг -1-(6+ Цн+ с 8, (ах у + Ь) — — (аху + с) — = О. 2 аьи дю а ар Главный интеграл: х = — их у Ч- Ьу -1- сх. 9. (ах+ Ьу ) — (сх +ау) = О. дх др Главный интеграл: Б =ахун- ь Ьу -6 ь сх . > Сьь. также уриенения из ризд. 2.2.5 нри целнгх зниченинк степеней.

и = ху г. +(аь/ р+ь /р) =о. ах ду Частный случай уравнения 2.8,1.2 при Ь = 2, /(х) = иь/х, д(2:) = Ь. 3. +(ан/ху+Ьхн/у) =О. дх ар Частный случай уравнения 2.8.1.2 при Ь = —,', 2" (х) = и ь/х, д(х) = Ьх. "ььД*нььь '"' =ь. дх ар Частный случай уравнения 2.9.2,! при / дю г — н ! „ь ь/Е С'Р! — = ах ар 1'. 1"лавный интеьрат при а ф 1: Е = !п!х!— з (и— 2'. Главный интеграл при и = 1: (2) = А „/г. О Ци -ь- 61~ иь + с ' х = !х~ (у Ч-,Я~+ схг).

2.2.4. Коэффициенты уравнений содержат дробные степени х и у Главный иььтегран " = уехр( — 3 их ) — Ь ( ехр( — —., их ) ь!х. 2,3/2 2,3/2 2.2 Уриененгт, садерлсиизие степенные фуняпии 6. (ах + Ьргу ) — — (сь/х + ау) — = О. а а ах ду 1'лавный интеграт: = = аху+ з Ьу + —., сх г зуг г, згг 4 5(Ь) = ~ ~а Ь". УРУ(х) + 977(у) = О, =о Главный интеграл: Б = ~ ' ' 1 — ап(х -Ь У) — аз(х У У).

х — р ОЯ Литеритура: Э. Камее (19бб). Ь Ст. также уравнения из рагс). 2.2.5 при йрибпвьт значениях степенен. дог ь днг 2. — + (ах у+ Ьх") — = О. дх ау а птг1 Г / а Главный интеграл: Б = уекр( — х г1 — Ьрг х ехр( — — х ) с(х. ,) / Главный интегреш Е = Е(х,у), где Е(х,у) = С вЂ” — обшее решение специального уравнения Риккати у'„= ау + Ьх". Об этом уравнении см. справочники ек Камке (1976) и В. Ф.

Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). — +(у +пах — а х ) — =О. дог — 1 2 2 дх ар 1', !'лавный интеграл при и ~ — 1; Б= -У /Ег)х, р — ах" 2'. Главный интеграл при а = — 1, а ф- — ф: хр-!-а б1 (2а ч- 1Кхр — а) 3', Главный интеграт при и = — 1, а = — —,'„: 2 -!- 1п (х(.

2хр-! 1 Ое Литература: Гк Ф. Зайпев. Л. Д. Поляннн (!996). Е = ехр( хп~ ). 1'. Главный интеграл при и. ~ — 1: х(хр+ 1) Е= " + ! х Едх, Е=екр( хн~'). и -1- 1 2'. Главный игаеграл при и = — 1, а ф 1: ху-~-а (а — 1Нхр Х 1) 3'. Главный интеграл при гг = — 1, а, = 1: 1 -1- !п )х!. ху -!- 1 2.2.5. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у ах " ар !лавный интеграш Б = уе "' — Ь / х е '"' Их. линейньх тгьвнения виль Г(х,у) и +У(г',У) и д г д — +(у +ах у — абх — Ь ) — =О.

дх ду 1'. Главный интеграл при и ~ — 1: Б = — ехр(2Ьт, Р х"~') -!- / ехр(2Ьт, -1- т"") е)х. 2'. Главный интеграл при и = — 1: легь Е = + /х'е ие!х. у-Ь Главный интеграл: аи Б = 1п(х(— аиг -~- (и + 1)с -~- Ь вЂ” +(ах у +Ьтх — аЬ х ) — =О. деп г дт дх ду 1'. Главный интеграл при и Р гп ~ — 1; Е -1-а 21 х Ег)х, у — Ьх'" 2'. 1"лавный интеграл при и+ т = — 1, ги 4 2аЬ. х + а гьх у — Ьх 2аЬ вЂ” т 3'. Главный иптеграт при и -Р ие = — 1, т.

= 2аЬ: х , + а!их. у — Ьх Оь Литература: А. Э. Ро1уаят, т'. Р 2а)гвеч (1996). — ((и+1)х у — ах + + у+ах ) =О. Главный интеграл: Е =, ' — (и+ 1) / х гЕеГх, х" игу — 1 е=х у. ег — +(ах у +Ьх у+Ьсх — ас х ) — =О. дии г г дне Вх ду 1'. Главный интеграл при гпя и ~ — 1: Е Г , Г Ь т~ 2ас +а ( х Ег!х, Е =ехр( х + — г: + ). у-!-с т-Ь1 и-~-1 2', !'лавный интеграл при и = — 1: Б= ехр( хт )-Ра/х ' ехр( х ' )Йх.

3'. Главный интеграл при т = — 1: ь Е = ехр( — х,"т') -Р а/ х"еь ехр( — хие') г1т. дх + Гах у — ах (Ьх™ + с)у+ Ьтх 1 = О. ду 1'. Главный интеграл при и ~ — 1, т -Р и ~ — 1: 2'. Главный интеграл при и = — 1, ггь ф О: — Ь "' — ехр( х ) на/ х ехр( 3', Главный интеграл при гь ~ — 1, ги = — 1 — и: ехр( х ) + а / х ехр( х )г!х. 2.2 Уриененггн, содерзгсаигие степенные г)гункиигг + (ах + Ьх 'у+ с!сх — Ьсх У вЂ” ас х ~ ) = О.

1'. Главный интеграл нри пг ф — 1, и + Й ~ — 1: Е / 2 „унуг Ь -Уа/1 х Ег(х, Е=ехр( х + ~ -У х'+ ). у — схг и -!- Й -~- 1 т -1- 1 2*. Главный интеграл при т, = — 1, и + Й ф — 1: / 2ас егегт Б= ' ' +а ( х Еагх, Е=ехр( ' х у — сх" и -!- Й -1- 1 13 3'. Главный интеграл при т ф — 1, п -!- Й = — 1: Б = „ехр( х ~~) + а / х~"'~" ехр( х~~~) г(х. 4'. Главный интеграл при ги = — 1, и + Й = — 1, 2ас -!- 6 р' Й: ау+ (ас+ Ь вЂ” Й)хг в„,уь г х (2ас -!- 6 — Й)(у — сх") 5'.

! лавный интеграл при т = — 1, и + Й = — 1, 2ас+ 6 = Й: х -У а1пх. у — сх !4. — +( '"" '+Ьх " ') — =О. О " Оу Главный иггтегрхг: с!с — 1п)х~, аиг 4 (и -1- Цс -1-6 .г- г е=х у. 15. — + (ах у + ЗаЬх У у — Ьтих — 2аЬгх т "") — = О. Ох Оу 1'. Главный интеграл при гг+ 2т ф — 1: и'а ег) -г 1 е, г г бдаг -1- 2а ( х" Е с(х, Е = ехр(— (у-1-Ьх )г,l ' (. п -!-2т 2'. Главный интеграл при и = — 2т — 1: х а га гге х (у -Г ахи*)г Заьа У 3*.

Главный интеграл при и = — 2т — 1, т = — Забг: Е = + 2а,!и!х~. (у -У Ьх"')г 12. — — гатгх" 'у — сх (ах" + Ь) + сх ~ — = О. а Оу 1*. ! 'ленный интеграл при т, ~ — 1, т, -У и ф — 1: Е ( х" гЕ ( асх 'т"тг Ьсх '+г — ап I г, с(х, Е=ехр( + (ах -у 6)((ахп -!-6)у — 1),1 (ахп -!-Ь)г ' т+ и-!-1 т-!-1 ) 2'. Главный интеграл нри т = — 1, и ф О: г ( ас (* ( ас „') х"'у" (ах -?-6)((ахп 1-Ь)у — 11 ' п /,1 ( и / (ахп -!-Ь)г 3'. Главный интеграл при и ~ — 1, ги = — 1 — и: х" ( Ьс —.') (ахп -!- Ь) ((ах -!-Ь)г/ — 11 ' п / / (ах" -г-6)г ', и лннвйныа июавнвння виля Г(х,у) и +9(х,у) и 16 Е1 =ехр( х ) — + (ау + Ьх "- ) — = О. а. ду 17. ! ванный интЕграл; и = ух"-' .

— 1н(х), ппп -~- —, и -~- Ь 13. д +( -"--"у +Ь -) д =О. ах ау Главный интеграл: Б = 1п)х!— пс" — (т+!)и -~ Ь ' дю а а + (ах у + Ьх™у) = О. ау Частный случай уравнения 2.8,1.2 при Г(х) = Ьх., у(х) = пх'*. дю г „агп х — + (ау + Ьу+ сх ) — = О. д:с ду 1*. !лавный интеграл ври ас ) О: о = ух 19 атсьй (~/ — т гу) — х 2*. Главный интеграл при ас ( О: Ь х-'у —,У: ' 1п — т 2т/ — пс пх Ьу -~- т/ — пс Оп Липератррп: А. О. Ро1уатп, У.