Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка

В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 12

DJVU-файл В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 12 Уравнения математической физики (УМФ) (2618): Книга - 4 семестрВ.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка: Уравнения математической физики (УМФ) 2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 12 - страница

Линвйнъы ззхвнвнил ВиЛл 7(х У) З '! У(з' У) Вз — (* У) 3.1.1-4. Использование вспомогательного однородного уравнения. Пусть С = Г(х, у, ш) интеграл вспомогательнозо линейного однородного уравнения с тремя независимыми переменными 1 (х, у) — + д(х, у) — + )з(х, у) —, = О. д( д( д( (7) дх ' ду ' дю Тагла интеграл щ(х, у) исхолного неодноролного уравнения (1) можно получить путем разре- шения алгебраического (трансцендентного) уравнения Д(х., у, ш) = 0 (С, ~ 0) относительно нь О решении уравнений вида(7) см.

равд. б.!. 3.1.2. Задача Коши 3.1.2-!. Формулировка задачи Коши. 1'. Кшссическая задача Коши. Требуется найти решение ш = щ(х, у) уравнения (1), уловле- творяющее начальному условию ш=зэ(у) цри х=О, (8) где щ(у) — заданная функция. 2'. Обобщенная заоача Коши. Требуется найти рецзение и = щ(х, У) уравнения (1), уловлетво- ряющее начатьным условиям х = Ьз(с), у = Ьэ(ь), ш = 1зз(ь), где б параметр (о < б <,д), а Ьь(б) заданные функции.

Геометрическая интерпретапия: требуется найти интегразьную поверхность уравнения (1), проходящую через линию (9), заданную параметрически. Классическую задачу Коши (1), (8), можно представить в виде обобщенной задачи Коши (!),(9), записав начальное условие (8) в параметрическом виде: х = О, у = б, 3 р(б). (10) 3.1.2-2. Решение задачи Каши. Процедура решения задачи Коши (1), (9) состоит из нескольких агапов. Сначала опрелеляются лва независимых интеграла (4) характеристической системы (5).

Затем для определения постоянных интегрирования Сз и Сз в интегралы (4) подставляются начатьные данные (9): из(6~®,)зз(б),Ьз(0) = См нз(Ьз(Я),Ьз®,Ьз(Д) = Сз. Исключая из (4) и (11) постоянные С~ и Сз, имеем из(х.ргш) = из(Ьз(б),Ьэ(б),Ьз(б)), из (х, у, ш) = из(Ьз (Ц, Ьз(б), Ьз(б)). (12) Эти формулы представляют собой параметрическую форму решснив залачи Коши (1), (9). Исключив из формул (! 2) параметр б, можно получить решение в явном виде.

3.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмоэрим неоднородное уравнение ди дш а:г — -1- Зу — = с. дх ду Частное Рещение этого уравнении щ ищем в вида функции, зависящей только от переменной х. В резулыате имеем с л = — !и!хй (!3) 3.2 Уравнения, спдпржкпщнп гшепеппме фупкппзг о — -- Ф(!р~ !хГ ), (14) где Ф =- Ф(и) произвольная функция. Общее решение исходного неоднородного уравнения с частными производными дается суммой решений (13) и (14): ю =- — !п)х!-'г Ф(!р(~~х! ).

а Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю аег — -1- Ь вЂ” = сел*у. дх ду Частное решение соответствующего однородного уравнения црн с .= О определяется формулой (см. пример 2 из равд. 2.1. 1): и =- ау -1- бе Переходя в исходном уравнении от х, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований для функции ю = ю(х, и) получим дю с Ьс дх аз аз Интегрируя это уравнение (и рассматривается как параметр). имеем с Ьс ю = — с*и — — х -1- Ф(и).

аз аз где Ф = Ф(и) произвольная фуикдия. Учитывая зависимость и = ау+ Ье *, находим резпение исходного неоднородного уравнения с Ьс ю =- — е*р -1- — (1 — х) + Ф(пу -!- Ье '). а аз Пример 3. Рассмотрим задачу Коши шзя уравнения дгп диг — -!- а — =- Ь дх др (15) с начальными условиями х=(, у=!, гп=б Два независимых интезрвла соотвеютвующей харакщрисзической системы дх бр дю 1 а Ь (! 6) имеют вид у — ох =- Ст, ю — Ьх = Сз. (17) Подставив в (!7) начальные данные (!6), получим (1 — а)6 = Сг, б~ — Ьб = Сз. Исключая из этих алгебраических уравнений параметр С найдем связь между постоянными С! и Сз.

Сз ЬС Сз (1 — а)з 1 — а Заменив здесь Сг и Сз на левые части равенств (17), после выделения ю получим решение задачи Коши (15), (16) в явном виде: р — ах; у — ох )з ю = Ьх — Ь 1 — а 1 — а 3.2. Уравнения, содержащие степенные функции 3.2.1. КоэфФициенты уравнений линейны по х и у Вю дтп 1. а — +6 — = е. дх ду Уроппенип имшндрической поверх!гости. Две формы представления общего решения: с с ю = — х + Ф(бх — ау), ю = — у + Ф(бх — ау). а Ь Ов Лпюсрппззрп. Э. Камке (!966). Общее решение юо соответствующего однородного уравнения при с = О, полученное с помощью характеристического уравнения (см. Равд, 2.1.1), дается формулой линейные гвввнвннв вида ((х,у) в +д(х,у) г",' = Ь(х,у) а о 2.

а — + Ь вЂ” = ах + )ЗУ + т. ах ву г т В г Общее решение; ю= — х + — х+ — 'У Фф(бх — ау). 2а а 26 3. ах +Ь = ах+)ЗУ+7, о о Ох Оу Общее решение: ю = — х+ — 1п(х~ Ф вЂ” у + Ф(ау — 61п ~х~). а т В г и а 26 ' Ою О ах — +Ьх =с.

Ох Оу с Общее решение: ю = — 1п ~х~ + Ф(Ьх — ау). а 5. (ах+ Ь) + (су+ с1) = ах+)Зу+ у. Ох оу Общее решение: ю = — х -1-, 1п )ах -~- 6| -~- — у — — ', 1п (су + 4! -~- ф (|ах -1- Ь~"')су -~- д! ) . а ау — Ьа уа а аг с сг дю Ою б. ау — + Ь вЂ” = + )ЗУ + т. Ох Оу В ах-1-1 аа в г Общее решение; гв = — х+ У вЂ”, . У -6 Ф(26х ау ). а 6 ' ЗЬг 7. ау +Ьх =с.

Ою аю а оу Общее решение: ю = 1п~ггсибх+ау)+ Ф(ау — Ьх ) ъ'а~ 8. ау + Ьх = сх+ йу. Ою дю Ох Ву Ьбх -~- асу г,г Общее решение: ю = ' ' Ф Ф(ау — Ьх ). аб 3.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 1. а — + Ь вЂ” = сх + ау + 1сху + а. Ою Ою г г о* ау Общее решение: ю = (6(2ас — Ыс)хе+ 2а с1ув -ббабх(Мху-62п)) + Ф(бх — ау). багб 2. ах +Ьу =сх +с1У +уху+и.

Ою О г а оу Общее решение; ( Ьсх -6асбу ) + — 1п ~х(-6 — ху-6 Ф(~х! ~г "гд) при а, + 6 ~ О, 2аЬ а а -~-6 — (сх — дгд ) -1- — (Йху Ф и)!п !х! Ф ф(ху) г г при а,-~-Ь=О. 2а а Вю Оха ау — + бх — = сху+ д. Ох Оу Общее решение: ю = — х + !п~ /ибх -6 ау(-1- Ф(ау — бх ). и г,г 2а ъ'аб 3.2 Уравнен~а, евдераеви!ие еювнемные фуннвви 4. ах — +Ьу — = сх +е4у + !еху+ пх+ тпу+ з.

гдю гдю г г ох ар Общее решение: с з дуг Йху ! ах ! и щ Гох — Ьу! зо = — х — — — ' + 1п( — (-!- — 1и (х(-б — !п!у! -1-Ф! в. в,х а:в — Ьу ах — бр р а б * ху 5. х +аху =Ьу . г дю в дх ар Общее решение: ю — -!- Ф(~х( у) при а, ф +, 2а — ! х уг Ь вЂ” !п(х! -б Ф()х! ~ р) при а = ф. ,а ,а ах ор Частный случай уравнения 38.!.!4 при Дх) = а, д(х) = Ьхг, Ь!х) = схг -1-4. ау +6ху =ох +ебу. г дю дю г г дх др Общее решение: ас Ф Ы с ау- — бхз 6 г,г н! = х — — асс!а! х, ) + Ф(ауг — Ьх ). аб 6 у' — Ьхг,) 3.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции а е'хг ! уг дю аю о* о, = Общее решение; ю = а~/х~ -1- уг -1- Ф( — 'Р 1!. нх) 2.

ах +Ьу =сху +ебх у+6. дю а а вр Общее решение: ю = + ' + — 1п!х)+ Ф(!х! ~!" у). а-!-26 2ахб а Вю дто г 3. ау — + Ьх — = сх у + !4. вх ' ар с з 4 г,г Общее решение: ю = — 'х + !з!!раба+ау!+ Ф!ау — Ьх ). Зв, и'аб (ах + 6) + !су + д) = Ьх~ + пу". дх ау Общее решение: бг! з Ь Ьг бз ю = — ! — х — — х + —,х — — 1п)ах -б 6!)+ а 3 2а аз аз и ! , 4 , Ыг Дз + — ! — у — — х + — у — — 1и!ау+ ~Ц + Ф((ах+6)е~!су -ЬН) ). с !Э зс .' .з х +ху = у (ах+ Ьу).

гаю дю г дх др (ах и Ьу)рг Общее решение: ю = ' + Ф( — ). 2х !хl вано заю б. ах — + Ьу — = ох+ е4. дх ву 2сх -1- Н l ахг — Ьрг Общее решение: ю = — Ф Ф) '' ' ). 2ахз х р лннвнныв тт1внвння виля ((х, у) в"' + д(х,у) 2", = 6(х у) Общее решение: ю = Ф(Ьх — ау) -!- х -!- у с тч-1 а(п+ Ц ь( ФЦ аю д а — +Ь вЂ” =сх у. дх др Общее решение: с(а(п -!- 2)у — Ьх)х" щ + Ф(бх — ау) ая(п и Ц(п и 2) Ьс с —,х(1 — !и !х!) + — у !и !х! + Ф(Ьх — ау) ая а Ьс су — (1 Ф!п(х!) — — Ч- Ф(бх — ад) ат а,х при 22~ — 1,— 2; при и= — 1; при и = -2. х +у — =а(х +у) . а дю а* др Общее решение: ю = — (х -!- у ) Ф Ф( — ' 2.

Я Я 2 I У 2!2 х ан2 ая» ах +Ьу =сх у а др Общее решение: х"у + Ф()22!')х( ) при апн-Ьт ф О, ап -1- Ьт — х" у"' !и !х! ч- Ф(!у!" (х! ) при ап ч- Ьт = О. дю дю ах + бу = сх" + с!у а ар Общее решение: п2 = — х" Ф вЂ” У"' -!- Ф(У'х ). ап 62п тх +пу = (ах +Ьу )в. дх др Общее решение: ш = (ах" + Ьу"')~ + Ф(у х "). тпб аю дю 7. ах — + бу — = сх + 2!у'. дх ду Частный случай уравнения 3.8.2.4. Общее решение: а(6 — и-1-Ц Ь(в — тФЦ' дю дю 8. ах +Ьх у =сх у +21. дх ар Частный случай уравнения 3.8.4.3 прн Д(х) = ах", д(х) = Ьх~, 6(х, у) = сх" у 9.

ах + (Ьх у+сх ) = ахнув+21. дх др Часяный случай уравнения 3.844 при 1(х) = ах", д1(х) = Ьх, дс(х) /2(х, У) = вх У -; — 22. 10. ах — + (Ьх у + сх у) — = вх"у" + 22. а ар Частный случай уравнения 3.8.4.5 при 1(х) = ах"', д1(х) = сх2, дс(х) 6(х у) = вхпр~ + 2(. дх др Частный случай уравнения 3.8,1. 14 при т(х) = а, д(х) = Ьх", 6(х) = сх -!- 2!.

х " у 1 — » 1— и= а(! — п) Ь(! — т) Ьх", 3.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у д* др 3.3. Ураспспыи, содсрлсопа2с экспонспигкаиныс фупкппк З.З. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 3.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции Ох Ор Общее решение: 2ю = — е -~- — е ' + Ф(Ьх — ау). В нк аЛ Ьд О, В а +Ь =се Ох Вр Общее решение: ~ ~ ~ ~ с ~ ~ с ~ а ~~ ~ э ~ ~ ~ | в с '~~к + Ф(Ьх — ау) при аа + 613 ~ О, аа Ф ЬВ ш= — хс пад" + Ф(Ьх — ау) при аа+ ЬД = О. 3.

ае — + Ьедп = с. Ох Оу Общее решение; ш = — — 'с '+ Ф(и), где и = Ис "* — аЛс дк. аЛ ае ' — +Ье — =с. „,в д.в Ох Ор Общее решение: ш = с(Вх — Лу) -!- Ф(и), где и = о,,бе " — ЬЛее'. и Дч Оз" зы-Дп ае — + Ье — = се дх Оу Введем обозначение: и = — е — — е 1 дк ! ВЬ аа Общее решение: „Ою, и Вго „зд. ае + Ье = се Ох Оу Введем обозначение: и = — е — — е ! ду ! (36 аа 1'. Общее решение при у ф а, у ~ 2а, у ~ За: го = с Г зд~ 26В3 —,— д„26!В [е е ' + 2..1 Гп .у. а( у — а) а( у — 2а) аз(.у — 2а)( у — За) 2'. Общее решение при у = а: 62 Вз ш = — [хе "" — (ах-61)е ' '" Ф ' (Уах+ — Л)е "к! -~- Ф(и). 3'.

Общее решение при -у = 2ес го = — ' [е * д" + (ах — 1)! е ' " + Ф(и). аа оа 4'. Общее решение при у = Зес н а( у — а) с( дк Г * — дк аа ЬВс "!*[с "+ ! +Ф(и) при у ~ а, 2а, о(у — 2а) (ах+1)е ! + Ф(и) при у = а, ааз 6В + — (ах — 1)! + Ф(и) при у = 2а. аа Линейные ттлвнення внял ((х, у) О + д(х, у) л = Мх у) 7. ае — +Ье — =се +ве дю ня дю т ня дх ду Частный случай уравнения 3 В 2 4 при 1(х) = пе ', д(у) = Ьее", 61(х) = сео', 6 я(у) = ее"". 8.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее