А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 10

А', Сравнивая первые два уравнения с двумя последними. полу- чаем А, = Вн Ат = Ва. Из первых двух уравнений следует — ЯЬ ай я,з ' Решение задачи будет иметь внд и = — и (и, + и,) = — А, сп к,г+ Ае =- 1 а Ь ~Ф, 1 1д Ь (си й3Ь си А 1г) 1 (1.22) — Н = — [я, — иг) = — — я — Л з'и д г = т„, 1 дя Лт Ь да Д, айДЬ = — — е+ — ай Й а. $11 движение вязкой электеопговодной жидкости 63 х Если в (1.22) перейти к безраамерной переменной -- . то Ь решение булст зависеть только от безразмерной комбинзцни Ноз ы = йР=:~== — .

Эта комбинация, называемая числом 4внкн Гарглмана, характеризует соотношение между вязкими и магнитными силами. Качественный внл профиля скоростей и магннтных силовых линий представлен на рис. 4. Рнс. 4. Будем изменять напряженность магнитного поля Н,, оставляя Р и — постоянными.

При этом меняется величина др дх г Н~ 1 др л1 = — , а величина лг = — — — остается неизменной, с' ' н дх Нетрудно убедиться, что если А,-+ О при л =сопя(, то профиль скоростей стремится, как и следовало ожидать, к пуазейлевскому ио (я): л — ьло= 2 лг(" я). 1 у — о(Š— — Но). (1.23) Если л,— «сю при ля= сопз1, то и — »О при всех х. Из равенств (1.22) видно, что при увеличении л, профиль скоростей становится все более и более плоским и при достаточно большом А, основное изменение скорости происходит в узком пристеночном слое. Для того чтобы понять это явление, рассмотрим закон Ома: движения несжимаемой жидкости 1гл.

и Так как ~ у г1х=+ ~ д гс =4 1Н (+с) Н ( 3))=О то, интегрируя (1.23), получим /Е ах= — ' / иди, или, так как Е =сопз1 (что следует из уравнения го1 Е=О). Б Н, 1 Г Е = — — иг ис(х= — Н. Р с 2З,/ с -6 (1.24) При этом из закона Ома (1.23) следует, что ток течет в одну сторону, если и ) и,р, и в другую, если и и,р, В первом случае поток замедляется, а во втором ускоряется. Это приводит к уплощению профиля скоростей. Чтобы показать, что по сравнению с немагннтным случаем, при том же градиенте давления, скорость всюду падает, рассмотрим баланс импульса в объеме, заключенном между плоскостями г =- + д(д < 6) и имеющем единичную длину в направлении осей х и у.

Так как количество движения в этом объеме не изменяется. то силы. действующие на него вдоль оси х, должны уравновешиваться: ар аи 1 ди ! 2й — = — р — ~ +р — ~ + дх ас 1с ь дх 1с„ !й! !Ф (1.25) Члены, связанные с магнитным полем, представляют собой х-е составляющие магнитных напряжений, приложенных к плоскостям х = + й. Из последнего равенства, учтя знаки входящих в него членов, получим, что при налиди чин магнитного поля величина ~ — ~в каждой точке г меньше, дх ди чем ~ — ~ при отсутствии магнитного поля дс $ !) движения вязкой элвктгопговодной жидкости 65 Исключение составляют точки г= =' 5 и я=О, где Н = О и наличие магнитного поля не оказывает влияния на велиди чину производной ~ — ~ и на величину вязкого трения.

Из дз неравенства (1.25) следует, что наличие магнитного поля приводит к уменьшению скорости в каждой точке з по сравнению с немагнитным случаем: (1.26) Заметим, что, кроме задачи Гартмана, можно было бы рассмотреть и другие задачи, когда жидкость приводится в движение перепадом давлений, и степки неподвижны. При этом на стенках необходимо задать величины х-х составляющих напряженностей магнитного поля (которые в задаче Гартмана равны нулю) или напряженность электрического поля и величину х-й составляю~пей магнитного поля на одной из стенок. 2.

Рассмотрим теперь следующий пример [ы). Пусть — =- О (й, = О), а жидкость приводится в движение верхней др степкой г=3, которая движется со скоростью У (течение Куэтта). 1!а нижней неподвижной стенке я= О задано Н,= Н, д11х Н„= Н„з, д — — О. Верхняя стенка считается диэлектриком. Прежде чем переходить к решению задачи о течении Куэтта, остановимся несколько подробнее на ее постановке. Течение Куэтта может рассматриваться как некоторое приближение к задаче о пограничном слое. При этом неподвижная стенка может трактоваться как обтекаемое тело, а движущаяся стенка — как внешний поток. В отлично от задач пограничного слоя, в задаче о течении Куэтта можно выписать решение в конечном виде, и это решение может служить для выяснения рааличных закономерностей, присущих пограничному слою.

Отметим, что, как будет видно из дальнейшего, решение залачи Куэтта, полученное для несжимаемой жидкости, верно также и для газа, так как плотность илн ее производные не входят в уравнения. Если тело обтекается газом с большой сверхзвуковой скоростью, то газ вследствие его нагревания на ударной волне и в пограничном слое ионизуется и стзновнтся проводником. При этом появляется возможность повлиять на движение газа и получить полезные 5 зак ы А. Г. Куи|ыооския, Г А Любимов 66 движвния несжимаемой жидкости 1гл. и Так как Е= 0 на бесконечности, то Е =О. Далее на неподвижной степке и = О, следовательно, 4з .

дНл 4я / 1 — / = — ' = — '" а ( Е + — и Не)~= О. с г да с т г с Таким образом, граничные условия на нижней стенке связаны с теи, что магнитное поле создается только токами, текущими внутри тела. После этих предварительных замечаний приступаем к решению задачи. Граничные условия имеют внд при г= — О, (1. 27) при я=3. Подставляя в эти равенства общее решение (1.20), получим: А, — В, + А, — В, = 2 Нае ~I —,1 — — =- 2С, — й,А, — й,В, =О, 4 +В +Аз+ Вт= 0 А,е-а "+ В,еа" + Аа+ Вт = 2У. (1. 28) Из второго и третьего равенств (1.28) следует А, = — В,, Аа= — Ва, эффекты, создавая вокруг тела магнитное поле.

В ряде случаев можно считать, что газ является проводящим только вблизи тела, так как этот газ прошел через участок ударной волны наиболыпей интенсивности и подвергается дополнительному подогреву за счст диссипативных процессов в пограничном слое. Поэтому в рассматриваемой задаче верхняя стенка считается диэлектриком. Гели электромагнитное поле создается источниками, заключенными внутри тела, то вдали от тела Н=О и Е=О в системе координат, связанной с летящим телом. В этой системе координат дзнжспис стационарно и электрическое поле, согласно равенствам (1.21), постоянно: Е = Е = сопз1. У в 1] движение вязкой элвктгопеояодной жидкости 67 а иа первого н четвертого получим — 2В, — 2Ва — — 2С, 2В, зН й,й = 2У, или У Ж Итак, решение задачи имеет вид и = — „- — зй А,г.

В (1.29) Качественный вид профиля скорости и магнитных силовых линий представлен на рис. 5. Заметим, что если магнитное Рис. 5, поле отсутствует, то распределение скоростей в течении Куэтта линейно: ив= У вЂ” . !1аличие магнитного поля при- з' водит к торможению потока и ( и, а также к тому, что ди напряжение трения -.

= Р— па верхней стенке возрастает, да а на нижней падает. Однако на нижнюю стенку, которая считается источником магнитного поля, кроме силы трения. действует еше магнитная сила. Чтобы найти суммарную силу, действующую на нижнюю стенку, заметим. что ее следует считать равной и противоположной по знаку силе, действующей на верхнюю степку, Так как верхняя пластинка является 68 движение несжимаемой жидкости [гл. ди ~ лиэлектриком, то эта сила равна силе трения -. =.[~ в ~ д» ~ которая при усилении магнитного поля возрастает. Физически увеличение силы, действующей на неподвижную степку, свяаано с тем, что необходимо прилагать дополнительные усилия, чтобы заставить проводящую жидкость двигаться через магнитное поле.

Пользуясь полученным решением, найдем распределение температуры Т(») в течении Куэтта. Если днсснпатианые коэффициенты постоянны, то уравнение энергии в течении Куэтта будет иметь вид Отсюда иу л, — — ' [спт л,» + зпа я,»[ = зва л,ь (гала — — сп 2м», ава л,з 4 в да н2ь-' »+~~ +1 и (1.ЗО) ИТ Если стенка теплоизолнрована, то на ней — = О и С, = О.

Полставив в (1.ЗО) » = В, получим ПУ~ сь 2Л,В са — — ЙТ + лТ=йТ,+ 4» (сп 2/г~ — сп 2й~г). (1.31) Температура стенки при этом равна (1.32) то есть температура стенки не зависит от величины магнитного поля, Аналогично можно показать, что если задана где через Т обозначена температура движущейся стенки »=3. Таким образом, Ч !! движение вязкой элвктгопговодной жидкости 69 тейпература неподвижной стенки Т! ', то тепловой поток ца степку равен т., — т !я„в и!." и также не зависит от величины приложенного магнитного поля. Если результатьь полученные при изучении течения Куэтта, считать применимыми к задаче о пограничном слое, возникающем на поверхности летящего тела, то их можно сформулировать следующим образом: а) Магнитное поле оказывает тормозящее воздействие иа течение в пограничном слое.

Можно ожидать, что это торможение приведет к утолщению пограничного слоя. б) Тепловой ноток при ааданной температуре стенки и заланной толщине пограничного слоя не меняется при наложении магнитного поля. Как видно из формулы (!.33), утолщение пограничного слоя приведет к уменьшению теплообмена, в) Наличие магнитного поля приводит к уменьшению вязкого трения на поверхности тела и к увеличению полного сопротивления летягнего тела. Правда, последний эффект может несколько умею шиться за счет утолщения пограничного слоя. Отмеченные свойства остаются качественно справедливыми и при рассмотрении течения Куэтта для газа, у которого диссипативные коэффициенты являются функциями термодинамических параметров, а также для точного решения задачи о пограничном слое на пластине. 3.

Пусть полупространство г ) О, занятое вязкой электро- проводной жидкостью, ограничено плоскостью, движущейся со скоростью и в направлении оси х. Найдем движение жидкости и распределение магнитного поля в ней, предполагзя. что при г-+ сю все функции огрзничены и и-ьи, Н„- Н„. Кроме того, будем считать, что изменение давления вдоль оси х отсутствует: 1 др и дх Отметим. что соответствующая задача при Н,=О имеет только тривиальное решение и = и . 7О движения нгсжнл!ламой жидкости (гл.