А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 11

и Используя ограниченность решения при г — >со, получим из соотношений (1.20) и (1.21) решение задачи для рассматриваемого случая и = — 2(л,е-"'+Ля+В,), 1 4- Н,= 2 (Л,е *+Аз — Оз). -=Ф 4вн Константы Лп Ам Ва можно определить по условиям па бесконечности и на плоскости г = О; при этом решение аадачи примет вид и — и =-(из — и ) е "', ,à —;=, — — (Нг — Н )=(ис — и )е ьл.

(1.34) Положив в этны решении а=О, получим следующее соотно- шение, связывающее полное измспснне скорости и магнитного поля в полупрострзнстве: г,„ из «сс $' 4- (Ню — Нх ). 1 4ви (1.35) Из решения (1.34) следует, что основное изменение скорости и магнитного поля происходит в слое, ширина которого ! Нв имест порядок — .

В пределе, при )г, = — -»со, этот д,' г' 4вт н слой превращается в разрыв, причем предельная форма уравнения (1.35) представляет собой соотношение, которое должно выполняться на поверхности этого разрыва ['а). Это соотно>,ь шение зависит от предела отношения —, который может Р быть нулем, конечным числом илн бесконечностью.

В част~я ности, если > — > О и р —.» О, и при этом — — >:ю. то Ш Р Нхз = Нк В дальнейшем при изучении задач об обтекании тел идеальной жидкостью или газом предельная форма соотношения (1.35] будет использована в качестве граничного условия на поверхности тела. $2) стхционагпые движения вдоль мхгсснтиого поля 71 5 2. Стационарные движения вдоль магнитного поля Если жидкость пгсжимземая (р=сопз!), то уравнения магнитной гидродинамики в этом случае имеют вид: дН вЂ” +(еч) Н = (Нр) е — го! (» го1Н), дг р ~ д„+(ер)е~ = — атас! (р+- н ) + + — (Нч) Н+рое, 1 (2. 1) с!!че=О; с)!чН=О.

Н=Ке. Из двух последних уравнений (2.1) следует (2.2) с!! ч Н = с! )ч Ке = К с)!ч о+ е игас) К = е ° атас! К = О. Таким образом, атас)К не имеет составляющей вдоль скорости, и К принимает постоянное значение на каждой линии тока. Ьудем в дальнейшем считать, что К= сопя! всюду. При этом уравнения магнитной гидродннамики при- мут внд го!(ч го!е)=О, Ка К2о2 Р(1 — — — ) (еч)е= — дгас)(р+ „)+рбе, с(!ч е = О.

(2. 3) Последние два уравнения могут быть приведены к виду уравнений обычной гндродннамики. Действительно, введем обозначения В ряде случаев интегрирование уравнений магнитной гидродннамики может быть сведено к интегрированию уравнений обычной гидродннамики. Одним из таких случаев является случай стационарного дан>кения, когда магнитное поле и скорость параллельны друг другу[' ' и 'з) У2 движюнш несжимаемой жидкости 1гл. и тогда два последних уравнения (2.3) примут внд уравнений движения жидкости с плотностью р', давлением р* и вязкостью йс р' (нр) тг = — втаб р" + р Ьп, б!чтг=О. (2.4) Тензор потока импульса прн течениях с Н=Кн имеет внд Пы — Рого + Рйы+ — йы — — Н,Н вЂ” Р! — -г- Н' 1 /де~ доят ( дог доя 1 =р о!оа+р 3ы Р)д + ! ).

(2 5) Следовательно. поток импульса при течениях с Н=Кп оказывается равным потоку импульса жидкости с плотностью р', давлением р' и вязкостью р, текущей с той же скоростью ю при отсутствии магнитного поля. Можно указать два случая, когда первое уравнение (2.3) удовлетворяется тождественно: 1. Потенциальные движения в=гггабэ. При этом, кзк известно из гидродинамики, первое уравнение (2.4) служит только для определения давления, а второе уравнение (2,4) служит для определения потенциальной функции б!ям= = б!тачайте = бр = О при заданных граничных условиях.

Таким образом, любое потенциальное течение несжимаемой жидкости является решением уравнений магнитной гндродинамики, если Н=Ктг. 2. Движение бесконечно проводящей жидкости ч =О. Рассмотрим прежде всего частный случай [4 "], когда КЯ т = р = О и ! — — = О. В этом случае в уравнениях (2.3) 4яа первое удовлетворяется автоматически, з из второго следует соотношение Ня Кт„г р+ — „-..

и+ =-: сопэй служащее для определения давлений по известному полю скоростей. которое должно удовлетворять только условию иесжимаемости б!ям= О. э 2] стлпионлгпьш движения влоль магнитного поля 73 р,(п, Ч) е, = — ягаб р, +рйчгн с('1 ч яг, = О. (2.6) В рассматриваемом классе решений можно находить решение ззлзч об обтекании тел, Вели и с. пл, то скорость и градиент давления в магнитогндродннамическом течении противоположны по знаку скорости и градиенту давления в течении жидкости с плотностью р, = — р* ) О.и вязкостью р при отсутствии магнитного поля.

Так как в обычных течениях зз обтекаемым телом имеется вязкий след, то при наложении достаточно сильного магнитного поля (чтобы о с.о,, или Ка ) 4пр) этот след будет обращен вперед. Можно ') См. также следующий параграф этой главы. Пусть ноле скоростей удовлетворяет этому уравнению Н и на бесконечности скорость постоянна (эт = сопзг= †. ). Тогда, если псрейтн к системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится, то получим, что при отсутствии внешних сил некоторая конфигурация.

образованная магнитным полем и полем скоростей, движется со ско- Н„ ростью чэл = ~ — -' =. Эти движущиеся конфигурации 'г' 4йр можно рассматривать как волны. Они называются волнами Альфвена '). Рассмотрим теперь движения вязкой жидкости (рчьО). В этом случае задача об отыскании поля скоростсй сводится к интегрированию уравнений обычной гидродинамики вязкой жилкости (2.4). г(э Если 1 — — —. О, то течение жидкости с плотностью р 4кр и с коэффициентом вязкости р в магнитном поле Н совпадает с тсчением жидкости плотности р" с коэффициентом вязкости р при отсутствии магнитного поля. К2 Н Однзко если ) 1, нли, что то жс самое, о с.

— = =ол, 4пр р 4кр то р' с, О, В этом случае, введя величины Я р, = — р', ю, = — а, р, = †. — р*.+сонэ(, получим, что они удовлетворяют уравнениям гидродинамики с положительной плотностью р,: движения несжимАемОЙ жидкОсти [гл.

и Так как,Ч=Ктг, то на внешней стороне поверхности тела имеем Н„=О н Е,=О. Тогда из (2.7) сд дует, что на внутрсипеГ стороне поверхности тела должны выполняться условия и Е,=О, (2.8) которые служат для определения электрического н магнитного полей внутри тела, где онн удовлетворяют уравнениям 4и го1 Н= — ",7', г[(ч Н= — О, с го1 Е = О, Й(ч Е = 4ир,, (2.9) причем 7' и о, следует считать известными функциями, так как распределение токов и зарядов внутри тела может быть задано. Электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям (2.9) и граничным условиям (2.8), определяется однозначно. В этом нетрудно убедиться, рассматривая разность двух решений системы (2.9), удовлетворяющих условиям (2,8). Найдем теперь силу, действующую на тело при обтекании с Н= Каь Рассмотрим проиавольную поверхность Х, содержащую внутри себя обтекаемое тело. Из закона сохранения импульса следует, что сила, дсйствуюпгая на тело, равна Е=- — ~1[г и е,.дХ.

(2.10) Так как поток импульса Пд в магнитогилродинамическом течении совпадает с потоком импульса в гндроднначическом течении жидкости плотности р', с коэффициентом вязкости р, со скоРостью в пРи О Ол и пРотивоположен по знакУ потоку импульса при тсчепнн жидкости плотности рп с коэф- предположить, что возмущения персносятся в этом случае альфвеновскими волнами [гь "[. В задачах об обтекании тел гидроднпамнческне граничные условия непротекания и прилипания удовлетворюотся при нахождении поля скоростей, подчиняющегося гидродинамическим уравнениям (2.4) илн (2.6).

Кроме того, необходимо удовлство(нть эл ктродннамичсским граничным условиям на поверхности тела: [.".'„[ =- О и [Е„[ =- О. (2. 7) $ 3) волновые движения идеальной напакости 76 фициентом вязкости р, со скоростью и, = — о при о ( ол, то аналогичное заключение верно н для снл, действующих на тело со стороны жидкости хе= Р* илн хе= — хч>. Если жидкость невязкзя, то поле скоростей не будет меняться при наложении магнитного поля, так как после исключения давления нз уравнений (2.4) или (2.6) при р =- О получаются уравнения, не зависящие от величины магнитного поля'). Из уравнений (2.4) илн (2.6) следует, что давление пропорционально а" илн р,.

Прн атом тензор (2.5), а следовательно, и силз, действуюшзя на тело, пропорциональны р' или рн т. е. — = — = — — ' =- (1 — 4 ), (2.12) Га где 7>а — сила, действующая на тело со стороны жидкости плотности р при отсутствии магнитного поля. В 3. Волновые движения идеальной жидкости В предыдущем параграфе было покааано, что в несжилгаел>ой жидкости при ч=чм=О существуют волны с конечной амплитудой, которые распространяются по покоящейся жидкости со скоростью Н А= —. ~г4 -. Рассмотрим подробнее плоские волны такого типа (з 'з). В плоских волнах все величины зависят от одной пространственной координаты н времени.

Выбирая ось х перпендикулярно к фронту волны, получим из уравнений д)то =- О и б)ч И=О ди дН дх дх Будем считать, что на бесконечности Н = Н„ и и = О. Тогда из последних равенств вытекает, что всюду и=О и Н„=Н (3.1) >) Решения с Н = Ко в невязной жидкости использовались в работах 1'>! для изучения магнитно-вихревых колец.

76 движгния несжимаемой жидкости (гл. и д (Р+ 3 ) =-О. или Н' р+ — = сопз(. Вв (3.2) Проектируя уравнения индукции и движения па плоскость, перпендикулярную к оси х, получим — =Н дН- до до Н» дН дт г дх ' дт 4вр дх (3. 3) где Н, = Н,е +Н,д,. Исключая перекрестным дифференцированием Н, и о из уравнений (3.3), получим, что каждая нз величин Н, и тг удовлетворяет волновому уравнению Нг д Нт 4 ар дх' ГР2 да 4вр дх' ' д'Н дГа (3.4) Этот факт указывает на то, что изучаемые движения носят характер волнового процесса, причем скорость распространения волн в направлении х равна проекции скорости рас- Н, пространения альфвеновских волн на ось х ол —— 'гг4 р Так как волны плоские, то можно считать скоростью их Н распространения вектор альфвеповской скорости ол —— )Г4вр Сами эти волны являются частным случаем альфвеновскнх волн. рассматриваемые волны являются поперечными, так как приращения векторов тр и Н леркат в' плоскости, перпендикулярной к направлению распространения полны.

Общее решение уравнений (3.4) имеет внд Н., =Н„(х — ол„р)+Н,т(х ( — Ол Г), ю = о1 (х — ол гр)+па (х+ олкг). (3.5) При этом проекция уравнения индукции на ось х превращается в тождество, а из проекции уравнения движения на ось х получим, используя равенства (3.1). $ 3) волновые дзижания идвлльной жидкости 77 Подставляя эти выражения в уравнения 13.3), получим — 'ол Иа+ел Иа — = Н (гт~+тгт), ~хл~ + ~~Ра 4-, Ф + ~д Отсюда следует, что Н„ Нл илн — егг = (3.6) 1'4еа У 4.~ В последних равенствах векторные констаптьн которые появляются при интегрировании, включены в з, и мз. Таким образом, общее решение (3.5) содержит две произвольные Функции Н„и гт,, которые в каждой конкретной задаче определяются из начальных или граничных условий.