А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 14

Рассмотрим, как изменяется профиль простой волны с тсчспнем времени. Скорость движения фазы равна ).у, (р)=а(р)+а„, (р). Покажем, что (2. 27) если о+ — '>О или ( ~а) >О, (2,28) но 1 г(а В самом деле, используя уравнение неразрывности, получим ау, аи «и,, а, + аа.., 1 а(еае, ) га ао гго р г(о р ар 7 Зин Ы А.

Г. куликовские, Г. А Любимов и'Ли = 2А„, 1 = — (1 11 -г — 1г' — АУ + (У (1+6 +Я") — 4ДУ! ИУ А Йг й 1 Аг 17У- г сИ 17Ае, Л 98 пвостые волны и малые возмещения (гл. !и причем Ра., = 2 (У(аер)'+(ЬР) +2азРЬРсоза+ + Р (азР) +(ЬР)г — 2а РЬРсоза).

(2.29) где а — угол между направлением магнитного поля и осью х, который для определенности будем считать острым, Как видно из формулы (2.29), величины ра и ра представляют собой соответственно полусумму и полуразность сторон параллелогРамма с днагопалЯми 11 и 1г длины 11 =аеР и )г=ЬР, составляющих между собой угол а (рис. 8).

Значит, 1 1 Ра+ = 2 А+ гг) Ра- = 2 (11 1г) где 1.1 и Ц вЂ дли сторон ВС и СО этого параллелограмма. Пусть в простой волне плотность увеличилась на бр. с',, д С Рнс. 8. При этом из (2.28) и равенства Ьр==~ р р следует, что — р.ан длина обеих диагоналей увеличится. Если рассматриваемая волна является быстрой, то происходит увеличение а; в медленной волне а уменьшается. Изменение величин ра ь и ра при бесконечно малом изменении плотности можно представить в виде (Р е) 2~(д + гГ(ра ) = 2 ~( д '— 1 дЬ, 99 б 2) пРОстые Волны причем, согласно предыдущему, в первом равенстве необхо- димо считать 1(п > О, а во втором о(а < О. Частные произ- водные по а, !1 и (1 берутся при фиксированных значениях двух из этих переменных.

Из геометрических соображений легко получить следующие выражения для входящих в этн равенства производных: д —— - — 2 ! 5!па = — — !151пР1, д — — 2-! 5!пае= — !151пР5, д11 ! дЛо 1 д — = 2 СО5Й1. — = — СО5 Яз. дало ! дно 1 — ' = — — СО5'Р, д!1 2 — ' =- — СОВ Рз, д!о 2 причем а1<а <и — а1 и р,<р1<п — р1. ч в Так как а, < — и ~)1 < —, то 2 ' 2' Отсюда следует, что при о!Р>0 имеют место следующие неравенства: 0((ра,) > 0 и 1!(Ра ) > О.

Таким образом, справедливость неравенств (2.27) доказана. В газодинамической простой волне (Н = 0) имеет место соотношение дн а, ОР Р и. следовательно. условие (2.28) запишется в виде Хао ао д ПЛо + о — - (О+л) — о >О ДР Р =ДР 0 ' ХР где Ле=ае+и — скорость движения фазы в простой волне при Н=О. ПЛ Если — > О, то более плотные части простой волны др движутся быстрее менее плотных. Таким образом, неравенства 100 пгостыа полны и малые возмюцзния (гл.

ш (2.27) и (2.28) оаначают, что в средах, в которых при отсутствии магнитного поля более плотные части простых волн движутся быстрее менее плотных, это свойство простых воли сохранится и при наличии магнитного поля. При этом фронт волны сжатия становится все круче и круче, пока не образуется сильный разрыв, а фронт волны разрежения становится все более и более пологим (рис. 9). г,<гг (,,<г, Рнс. 9. Система (2.17) — (2.29) может быть проинтегрирована в квадратурах, если в качестве новой переменной ввести а., д = +' [и).

Однако это решение ие упрощает качествен- а ного исследования поля интегральных кривых. ф 3. Малые возмущения Если считать, что отклонения всех величин от некоторого равновесного состояния о„= О, рс, йм Не(Н,зР - О) малы, то простые волны обращаются в малые возмущения, распространяющиеся по покоящемуся газу [э 'з ш ж). В этом случае для каждого типа волн можно написать конечные соотношения, связывающие искомые величины. Отклонения величин от равновесного состояния будем обозначать через Ь, яг, р и р и квадратами этих величин по отношс- малые Возму!пгння й 3) 1О1 нию к ним самим будем пренебрегать. Рассмотрим различные типы малых возмущений. являющиеся пределом соответствующих простых волн.

1. Энтропийная волна (а = а,). Так как тор †Πи а, = О, то эта волна не распространяется в пространстве и представляет собой произвольное малое отклонение в распределении энтропии от значения энтропии в равновесном состоянии. В энтропийной волне а = о = О, а = О, р = р (х), (3.1) где р(х) — произвольная функция.

2. Вращательная или альфвеновская волна (а = ал). Так как в простых волнах этого типа плотность и давление непрерывны, то и в малых возмущениях этого тина имеем грхо Д„.= р= р=О, а„=- 1' 4вро (3.2) Кроме того, из равенств (2.!5) при Н, =О, по=О получим для случая малых возмуоцений: и =О, о=и=О, У Ь, = Ь, (х + ало), по = Ло г' 4лрр (3.3) (3.4) Эта величина является постоянной для всех точек профиля волны, поэтому в рамках линейной теории профиль звуковой волны не меняется с течением времени, Из уравнений (2.17) — (2.19) получим следующие выраокения, связывающие величины в быстрой и медленной где а,(х+ алр) — произвольная функция.

3. Быстрая н медленная магнитозвуковые волны (а=аэ ). В линейной теории скорость распространения фазы волны будет совпадать со скоростью звука, вычислеощой по невозмущенному состоянию 1О2 пгостыв волны и мллыз возмтщзния )гл. ш магнитозвуковых волнах: ~" Й+, — ао) то а„ Р Н (аз, — азо) Р (3.5) Роа~ — Н о И,=О, о, Р= аоР.

т ао ~ Нто Нлю г и а, = — И, — а., о= — И, ) лгао т* ' ' Лчо, (3,7) а., р — а,, И =Н,оо — Нои, и= +* Ро Чтобы наглядно представить себе изменение скорости в каждой из этих волн, проделаем некоторое геометрическое построение Я. Для этого сделаем некоторые предварительные преобрааования аэ = — ('а'+ Ьз) + — 'Р' аз+ Ь4+ 2а'Ьт — 4аоЬэ = 1 1 э,— 2( о 2 О о ох = 2 ( а„+ Ь') + —, !' а'+ Ь'+ 2а'Ь' ( ! — 2 соз' а) = 2~ о ) 2 о о = — г па+ Ьт! + — 'т' а" + Ь4 — 2атбт соя 2а, Равенства (3.3) и (3.5) справедливы для волн, распространяющихся в положительном направлении оси х.

Связь величин в волнах, движущихся в противоположном направлении, получается путем замены в равенствах (3.3) и (3.5) И, на — И, и а,, на — а„, . В дальнейшем, кроме соотношений (3.5), будет использоваться соотношение а И = — Но+Н и. (3.6) Это соотношение в рамках линейной теории является интегралом последнего уравнения (2.16) и поэтому представляет собой линейную комбинацию из соотношений (3.5), что можно проверить и непосредственно.

Уравнения (3.5), (3.6) можно преобразовать к виду 103 МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ где Ь==, Ь =Ьсоза. Кроме того, исключая Ь из Н первого и третьего равенств (3.7), получим и а+ ( — ) и 1 Ну, Н и — Н и ич, — ) чаго ач, или и(аг — и — Ьгв1ьги) = — Ь'в(па сов и о. о Исключая Ь„из второго и третьего равенств (3.7), получим Нхв О или (а' — Ьг созга) о = — Ьг сов а в(п а и. Составим отношение (а+ — ио — Ь Мп а) г г г г а — Ь сова 2 2 2 Отсюда следует, что соз 2ф, 1+ гав Ф ио — Ь сов «+Ь Мп а 2 2 2 2 ° 2 ао — Ь сов 2а г х Уа~~+ ЬΠ— 2а~~агсов 2а 2а — ио — Ь 2 2 2 Пусть ОО и Ох (рис.

10) представляют соответственно направление поля Оо в невозмущенном состоянии и направление распрострзнеиия волны. Отложим на Ох отрезок Ьв "о ОВ = — и отрезок ВА = —. Построим равнобедренный 2 2 треугольник ОВЕ и соединим точки А и Е. Тогда ОА= — (и'+Ьг) и АЕ= — )г аво+ЬΠ— 2а'Ь'сов2и. 1 1 2 о 2 Если теперь из точки А провести окружность радиуса АЕ, то точки пересечения прямой Ох и этой окружности определяют на прямой Ох отрезки ОгЫ = аг и ОК = пг . Отрезок ОО(ЕО ) Ох), равный Ьгсовга, соответствует квадрату 1О4 пгостыв волны и малые возмтщения [гл.

ш скорости рзспространення альфвеновской звуковой волны, На рис. 1О непосредственно видно, что а ~ад(а~. — 2 Так как А0=-(а~~ — Ьзсоз2а), АЕ='у' а4+Ьч — 2иетЬзсозаа, то ~ ОАЕ=211т, а ~ КАЕ=-2ф отсюда ~ АКЕ = ф~, а,/ АМЕ = ф . Таким образом, Рис. 10. быстрая и медленная магнитоавуковые волны различаются тем, что изменение скорости в них происходит во взаимно л 4 й я и 4 б Рнс. 11. перпендикулярных направлениях (~ КЕМ ==- — как вписзн- 2 ный и опирающийся на диаметр окружности). 105 й з~ мллые возмгщения Волны малой амплитуды могут быть использованы для построения решения задачи Коши.

Пусть в момент 1=0 аадапы начальные ланные. Будем считать, что все величины прн ~=-0 являются функциями только х, и вне некоторого интервала значений х эти функции принимают постоянное значение. Кроме того, будем считать, что отклонения всех функций от этих постоянных значений малы, так что можно пользоваться линейной теорией. Решение уравнений, соответствующее заданным начальным условиям, можно представить в виде суперпозиции различного типа волн, движущихся в обе стороны. По прошествии достаточно большого времени волны разойдутся и возмущенная область будет иметь вил, представленный на рис. 11.